高中数学人教版选修2（理科）导数同步达标检测题

这是一份高中数学人教版选修2（理科）导数同步达标检测题，共12页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 二阶导与函数单调性（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 二阶导解决函数零点问题（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 二阶导解决不等式证明（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 利用二阶导解决其他类型问题（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 洛必达法则（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 11
一、二阶导函数
1、前言
导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。
2、二阶导的用法
判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，则把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导继而求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示：
一阶导数最小值大于等于0
一阶导数最大值小于等于0
一阶导数无法判断单调性
我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导
通过二阶导数求出一阶导数的最值
通过二阶导数求出一阶导数的最值
原函数单调增增
原函数单调递增
3、解决这类题的常规解题步骤为
①求函数的定义域；
②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；
④找到的变化关系表；
⑤解答问题.
4、函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
5、二阶导“失效”，结合隐零点思路
如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下：
若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的，例如确定出在某数之前或某数之后，但是所设的满足=0，通过这个式子可以得到一个关于的等式，然后所设的点肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合这个等式，有的时候能求出一个不包含的最值或者含有一个很简单的数或式子.
二、洛必达法则
1、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
2、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
3、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
（1） 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3），则：.
3.法则3（型）：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
（3），则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立.
（2）洛必达法则可处理型.
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则.
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.
4、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：；
（3）、型的转化：幂指函数类.


题型一 二阶导与函数单调性
【技巧通法·提分快招】
1．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·辽宁大连·月考）已知函数，讨论函数的单调性.
3．设，函数，讨论在的单调性.
4．（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．

题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
2．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
3．若函数在单调递增，则实数m的取值范围为 .
4．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
5．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点.
6．已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数，为的导函数且.
(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；
(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.
8．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，对任意的，恒成立．

题型三 二阶导解决函数零点问题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
3．（23-24高三下·山东淄博·月考）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.
(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；
(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设是函数的两个零点，求证：．
6．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数.

题型四 二阶导解决不等式证明
1．已知函数.
(1)设为的导函数，求在上的最小值；
(2)令，证明：当时，在上.
2．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
3．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知函数，为的导数．
(1)若曲线上的动点P到直线距离的最小值为，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求证：．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
5．已知函数，．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求b的值；
(2)若，且，，求证：．

题型五 利用二阶导解决其他类型问题
1．已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有解，求的取值范围；
(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
2．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
3．（24-25高三上·北京·月考）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由．
4．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.

题型六 洛必达法则
1．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2B．1C．0D．-2
2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
3．恒成立,求的取值范围
4．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．设实数，那么的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·江苏南通·月考）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川南充·模拟预测）若函数在上单调递增,则和的可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3B．，
C．函数在上没有零点D．函数的极值点有2个
5．（2024·云南·二模）函数的单调递增区间为 ．
6．（23-24高三下·河南南阳·月考）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 .
7．已知函数的图象过，，若，则 .
8．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
9．已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
10．已知，函数，．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，当时，求证：．
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
12．已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．
(1)求的最小值；
(2)证明：当时，．
参考数据：，．
13．已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
14．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
15．已知函数．当时，求的取值范围．
16．已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
17．已知函数.
(1)不等式在上恒成立，求实数的最小值.
(2)记函数，记在上的最小值为，证明：.
18．（2024·吉林长春·模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 ．
3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
4．（24-25高三上·云南·月考）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.
5．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数．
(1)求出的所有零点，并求出函数在零点处的切线方程；
(2)设，，证明：，；
(3)若函数有两个解，，且，证明：．
6．设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
方法
二次求导
使用情景
对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
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