人教版选修2（理科）导数巩固练习

这是一份人教版选修2（理科）导数巩固练习，共9页。试卷主要包含了设函数，已知函数，，已知函数，，其中等内容，欢迎下载使用。

题型1 同构型
1.（2025高三·全国·专题练习）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
2.已知函数，
(1)求的最小值；
(2)证明：.
2024届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考模拟预测数学试题
3.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
四川省乐山市高中2022届第一次调查研究考试数学（理）试题
题型2 凸凹翻转型
1.已知，.
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
天津市红桥区2021-2022学年高三上学期期中数学试题
2.（24-25高三·辽宁锦州·模拟）已知函数为实常数，，其中.
(1)时，讨论的单调性；
(2)求的最值；
(3)时，证明：.
3.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考理科数学试题
题型3 三角函数型
1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
2．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)设函数，
①证明：有且只有一个零点；
②记函数的零点为，证明：．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
题型4 数列型证明
1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知．
(1)若时，求在上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)设，证明：．
2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求在上的最小值；
(3)证明：对任意的正整数，都有.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，直线与的图象相切．
(1)求的值；
(2)若方程在上有且仅有两个解，求的取值范围，并比较与的大小；
(3)若，，求证：．
题型5 三角函数与数列型
1．（2025高三·全国·专题练习）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”．
(1)证明： 函数在区间上是一个 “ 函数”；
(2)证明： ．
2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．
(1)求双曲正弦函数在处的切线方程；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．
3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数（为自然对数的底数），.
(1)求函数在区间上的最值；
(2)若对，求证：；
(3)求证：.


题型6 隐零点型
1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数,.
(1)判断的单调性;
(2)若, 求证:,其中e是自然对数的底数.
2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.
3．（2024·广东广州·二模）已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．

题型7 极值点偏移型
1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
2．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.
3．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
题型8 极值点偏移型(混合型）
1．（20-21高三·福建·阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
2．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知函数，其中．
(1)若，求的极值：
(2)令函数，若存在，使得，证明：．
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.

题型9 双变量型
1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，其中.
(1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数；
(2)当时，证明：对于任意的实数，都有.
2．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：．
(1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程有两个不同实数根；且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
3．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数
(1)设函数，不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
(2)若有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
题型10 换元型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若，设分别在抛物线与曲线上，且轴，求的最小值；
(2)设是的两个极值点，证明：．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有且只有一个零点．
(1)求的值；
(2)设函数，对任意的，求证：不等式恒成立．
3．（24-25高三下·山西大同·期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，求证：．
题型11 韦达定理型
1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知．
(1)若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值；
(2)若函数存在两个不同的极值点，，求证：．
2．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当的最大值为0时，求；
(3)当时，正实数满足，证明：.
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围，并证明.

题型12 两个零点与不等式:
1.（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
2.（2024高二上·全国·专题练习）已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由；
（2）若函数恰好有两个零点、，求证：.
题型13 三个零点不等式
1.（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，且，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由．
2.、（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知函数，.
(1)讨论零点的个数；
(2)当时，若存在，使得，求证：.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数，其中.
(1)若函数存在极值，求实数的取值范围；
(2)设存在三个零点，其中.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

结束
同构型不等式证明：
利用函数同等变形，通过构造“形似”函数新形式，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究．
常见的同构函数有：①f(x)＝eq \f(ln x,x)；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝eq \f(x,ex).
其中①④可以借助eq \f(ln x,x)＝eq \f(ln x,eln x)＝eq \f(t,et)，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化．
凸凹翻转型证明不等式思维：
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.
对于含有三角函数型不等式证明：
充分利用正余弦的有界性进行适当的放缩。
数列不等式型：
证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设，
则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
涉及到三角函数型不等式证明，证明思路和基础不等式导数证明思路一致，对于三角函数，主要是正余弦，要充分利用正余弦函数的有界性。
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理.

处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.

利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数

两个零点型求参：
两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“内点型找点”。
在处理数据时，可以适当放缩构造：
1.是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
2.构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.