九年级上册相似三角形课后练习题

这是一份九年级上册相似三角形课后练习题，文件包含专题237相似三角形的经典模型十大题型华东师大版原卷版docx、专题237相似三角形的经典模型十大题型华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18746" 【题型1 A字模型】 PAGEREF _Tc18746 \h 2
\l "_Tc10028" 【题型2 8字模型】 PAGEREF _Tc10028 \h 6
\l "_Tc32279" 【题型3 AX模型】 PAGEREF _Tc32279 \h 11
\l "_Tc7360" 【题型4 母子型】 PAGEREF _Tc7360 \h 20
\l "_Tc13686" 【题型5 三角形内接矩形型】 PAGEREF _Tc13686 \h 29
\l "_Tc12407" 【题型6 双垂直型】 PAGEREF _Tc12407 \h 37
\l "_Tc18042" 【题型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc18042 \h 43
\l "_Tc11274" 【题型8 一线三等角型】 PAGEREF _Tc11274 \h 51
\l "_Tc3709" 【题型9 倒数型】 PAGEREF _Tc3709 \h 61
\l "_Tc20460" 【题型10 旋转型】 PAGEREF _Tc20460 \h 65
模型1：A字模型
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【题型1 A字模型】
【例1】（23-24九年级·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得ADBD=AEEC，则有AFFE=ADBD，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知ADBD=AFEF=12，然后可得AD=23，进而可证AEAB=ADAE=33，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DE∥BC，
∴ADBD=AEEC，
∵AFFE=AEEC，
∴AFFE=ADBD，
∴DF∥BE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，ADBD=AFEF=12，AE=6，
∵AB＝63，
∴AD=13AB=23，
∴AEAB=663=33,ADAE=236=33，
∴AEAB=ADAE=33，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高．
求证：△ADE∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据BD，CE分别是AC与AB边上的高，得到∠ADB=∠AEC=90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：∵BD，CE分别是AC与AB边上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴ AEAD=ACAB，
即AEAC=ADAB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【变式1-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值是（ ）

A．24B．12C．6D．10
【答案】B
【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
【详解】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，

∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=12BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·安徽安庆·期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
【答案】65
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，可证△CGH∽△CAB，由性质得出GHAB=CHBC，由GH∥CD，可证△BGH∽△BDC，由性质得出GHCD=BHBC，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】解：∵AB∥CH，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴GHAB=CHBC，
∵GH∥CD，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴GHCD=BHBC，
∴GHAB+GHCD=CHBC+BHBC=1，
∵AB=2，CD=3，
∴GH2+GH3=1，
解得：GH=65．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
模型2：8字模型
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【题型2 8字模型】
【例2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，
而CD=AB，
∴CM•AB=DM•CN．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
【变式2-1】（23-24九年级·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，由AE∥BC可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得EFBF=AFCF=AEBC=12，然后根据三角形面积公式得SΔAEFSΔABC=16，则SΔABC=6SΔAEF=12．
【详解】∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵AE∥BC
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则EFBF=AFCF=AEBC=HFFG=12，
∴SΔAEFSΔABC=12⋅AE⋅FH12⋅BC⋅HG=12BC⋅FHBC⋅3FH=16，
∵△AEF的面积为2
∴SΔABC=6SΔAEF=6×2=12
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．
【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到DE=CE，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到∠ADE＝∠ECF，再根据∠AED=∠CEF，即可得到△ADE≌△ECF，则答案可证；
（2）先证明△CEG∼△ABG，根据相似三角形的性质得出S△ABG=8，AGGC=ABCE=12，进而得出S△BGC=4，由S△ABC=S△ABG+S△BCG得S△ABC=12，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADE＝∠ECF，
∵点E为DC的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△ECF中
∠ADE=∠ECFDE=CE∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△ECFASA，
∴AD=CF，
∴BC=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴AB//DC，AB=2EC，
∴∠GEC=∠ABG，∠GCE=∠GAB，
∴△CEG∼△ABG，
∵△GEC的面积为2，
∴S△ABGS△CEG=ABCE2=122=14，即S△ABG=4S△CEG=4×2=8，
∵△CEG∼△ABG
∴AGGC=ABCE=12，
∴S△BGC=12S△ABG=12×8=4，
∴S△ABC=S△ABG+S△BCG=8+4=12，
∴S▱ABCD=2S△ABC=2×12=24．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2-3】（23-24九年级·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= ．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝12DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝12DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝12AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
∠EFC=∠AMF∠ECF=∠MEF=AF ，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝12AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴CEBM=EGBG=13 ，
∵BE＝8，
∴GE8−GE=13 ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
模型3：AX模型
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX模型】
【例3】（2024九年级·全国·专题练习）已知如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连结EO并延长交AB于点M，交CD于点N．那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】由CD∥AB可得到△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB．以及△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论．
【详解】相等．理由如下：
∵CD∥AB，
∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB．
∴DNAM=DEAE，CNBM=CEBE，DEAE=CEBE．
∴DNAM=CNBM．
∴BMAM=CNDN．
∵CD∥AB，
∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB．
∴DNBM=ODOB，CNAM=OCOA，ODOB=OCOA．
∴DNBM=CNAM．
∴AMBM=CNDN．
∴BMAM=AMBM．
∴AM2=BM2．
∴AM=BM．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键．
【变式3-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD于点G．
（1）求AGGF的值．
（2）如果BD=43，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【答案】（1）3；（2）△BDA∽△FGE，证明见解析
【分析】（1）先证明△AGE∽△ADC，再证明△GEF∽△DBF，得到DF=2GF，则问题可解；
（2）根据题意分别证明△BDA∽△FDB，△BDA∽△FGE问题可证．
【详解】解：（1）∵D是BC的中点，E是AC的中点，
∴BD=CD，AE=CE，
∵GE//BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴AGAD=GECD=AEAC=12，
∴AG=GD，2GE=CD=BD，
∵GE//BC，
∴△GEF∽△DBF，
∴GEBD=GFDF=12，
∴DF=2GF，
∴AG=DG=3GF，
∴AGGF=3．
（2）当BD=43，DF=4时，
由（1）可得
GF=12DF=2，AG=DG=3GF=6，AD=2AG=12，
GE=12BD=23，
∵BDDF=434=3，ADBD=1243=3，
∴ADBD=BDDF，
又∵∠BDG=∠ADB，
∴△BDA∽△FDB，
∵GEGF=3，ADBD=1243=3，
∴ADBD=GEGF，
∵GE//BC，
∴∠ADB=∠EGF，
∴△BDA∽△FGE．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
【变式3-2】（2024·江苏泰州·二模）如图△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为 ．

【答案】85
【分析】首先证明△EGF~△AGH，求得AGGE=2，再证明ΔAGH∼ΔEGF即可得到结论．
【详解】连接AG并延长交BC于E，连接BG并延长交AC于F，连接EF，如图，

∵G点是重心，
∴BF,AE是△ABC的中线，
∴E，F分别是BC，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=12AB，
∴△EGF~△AGB，
∴ABEF=AGGE=2
∵AB=AC，E为BC的中点
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∵GH⊥AB
∴∠GHA=90°
∴∠GHA=∠AEB
又∠HAG=∠EAB
∴ΔAGH~ΔABE
∴AGAB=GHBE
∵BC=8
∴BE=4
在RtΔABE中，AB=5，BE=4，
∴AE=AB2−BE2=52−42=3
∵AGGE=2，
∴AGAE=23，
∴AG=23AE=2
∴GH=AG⋅BFAB=2×45=85．
故答案为：85．
【点睛】本题考查了三角形重心，三角形重心的性质为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．
【变式3-3】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为352或3142．
【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可；
②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=12AB=92，根据勾股定理CN=BC2−BN2=122−(92)2=3552，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求AM=14AN=98,GM=14CN=3558，EM=AE-AM=3−98=158，根据勾股定理EG=ME2+GM2=(158)2+(3558)2=352，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得GM=12CN=12×3552=3554，AM=12AN=12×92=94，EM=AE-AM=3-94=34，根据勾股定理EG=GM2+EM2=(3554)2+(34)2=3142．
【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，
∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，
∵∠GDH=∠CDA=60°，
∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，
∴∠HDA =∠CDG，
在△ADH和△CDG中
{∠ADH=∠CDGAD=CD∠HAD=∠GCD
△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，
∴∠ACD=∠ADC＝α，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，
∵∠GDH=α=∠ADC，
∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，
∴∠ADH =∠CDG，
∴△ADH∽△CDG；
②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，
∴△AGE∽△CGD，
∴AGCG=AECD=39=13，
∴CG=3AG，
∵AD=AC=12，
∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，
∴AG=3，
∴CG=AC-AG=12-3=9，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=12AB=92，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=BC2−BN2=122−(92)2=3552，
∴GM∥CN，
∴△AMG∽△ANC，
∴AMAN=AGAC=GMCN=312=14，
∴AM=14AN=98,GM=14CN=3558，
∴EM=AE-AM=3−98=158，
在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=ME2+GM2=(158)2+(3558)2=352，
当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵AE∥CD，
∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，
∴△GAE∽△GCD，
∴GAGC=EADC=39=13，
∴GC=3GA，
∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,
∴GA=6，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=12AB=92，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=BC2−BN2=122−(92)2=3552，
∵CN⊥AB， GM⊥AE，
∴GM∥CN，
∴△GMA∽△CNA，
∴GACA=GMCN=AMAN=612=12，
∴GM=12CN=12×3552=3554，AM=12AN=12×92=94，
∴EM=AE-AM=3-94=34，
在Rt△GME中，根据勾股定理EG=GM2+EM2=(3554)2+(34)2=3142，
∴综合EG的长为352或3142．
【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．
模型3：母子型
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【题型4 母子型】
【例4】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图1，∠C90，BC6，tanB=43，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求AB的长．
(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．
(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．
【答案】(1)10
(2)t=125或t=1811时，以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似
(3)t=2或t=4017或t=5031时，△MNA为等腰三角形
【分析】(1)根据三角函数解得即可；
(2)分①当△MCN∽△BCA时和②当△MCN∽△ACB时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；
(3)分①当AM=AN时，②当AM=MN时，③当MN=AN时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°,BC=6,tanB=43
∴AC=8
∴AB=BC2+AC2=62+82=10
（2）解：解：①当△MCN∽△BCA时，
∴MCBC=CNCA，
即6−t6=2t8，
解得：t=125，
②当△MCN∽△ACB时，
∵MCAC=CNBC，
即6−t8=2t6，
解得：t=1811，
综上所述，t=125或t=1811时，以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似，
（3）解：①如图3，当AM=AN时，10−3t=2t，
解得：t=2，
②如图4，当AM=MN时，过点M作MD⊥AC于D，
则∠ADM=90°，AM=MN=10−3t，AD= 12 AN=t，
∵∠ACB=90°，
∴MD ∥ BC，
∴△AMD∽△ABC，
∴AMAB=ADAC，
即10−3t10=t8，
解得：t=4017，
③如图5，当MN=AN时，过点N作ND⊥AB于D，
则∠ADN=∠ACB=90°，AD=DM= 12 AM= 12 (10−3t)，
∵∠A=∠A，
∴△ADN∽△ACB，
∴ADAC=ANAB，
即12(10−3t)8=2t10，
解得：t=5031，
综上所述，t=2或t=4017或t=5031时，△MNA为等腰三角形
【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用．
【变式4-1】（23-24九年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）355．
【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得AFAE=ACAB，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE；
（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC=2AB，
同理可得AF=2AE，
∴ AFAE=ACAB=2，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM=AD2+DM2=32+12=10，
∵△MFC∽△MCA，
∴ CMAM=FMCM，即210=FM2，
∴FM=2105，
∴AF=AM−FM=3105，
∴ AG=22AF=355，
即正方形AEFG的边长为355．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)D为△ABC的理想点,理由见解析
(2)125或94
【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，从而ΔACD∽ΔABC，∠ACD=∠B，可证点D是ΔABC的“理想点”；
（2）由D是ΔABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，ΔBDC∽ΔABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【详解】（1）解：点D是ΔABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，AD⋅AB=8，
∵AC=22，
∴AC2=8，
∴AC2=AD⋅AB，
∴ ACAD=ABAC，
∵∠A=∠A，
∴ΔACD∽ΔABC，
∴∠ACD=∠B，
∴点D是ΔABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，
当∠ACD=∠B时，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=AB2−AC2=3，
∵SΔABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=125，
②∵AC=4，BC=3，
∴AC>BC有∠B>∠A，
∴ “理想点” D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠DBC=∠A，
又∠C=∠C，
∴ΔBDC∽ΔABC，
∴ CDBC=BCAC，即CD3=34，
∴CD=94，
综上所述，点D是ΔABC的“理想点”， CD的长为125或94．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
【变式4-3】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒0