安徽省合肥市肥东县2026届高三上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份安徽省合肥市肥东县2026届高三上学期开学考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z=2i，则1+z=（ ）
A．1B．3C．2D．5
【答案】D
【解析】z=2i=-2i，则z=2i，所以1+z=1+2i=12+22=5．
故选：D．
2．已知集合A=x1x0,b>0)的离心率为3，得a2+b2a=1+(ba)2=3，解得ba=±2，
因为a>0,b>0，所以ba=2.
而双曲线C的渐近线方程为y=±abx，所以C的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0.
故选：B.
4．已知两个单位向量a,b满足a+b=a-b，则4a-3b=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由a+b=a-b，得a+b2=a-b2，所以a⋅b=0，
所以4a-3b=4a-3b2=16a2-24a⋅b+9b2=16-0+9=5．
故选：C．
5．已知q是等比数列an的公比，则“数列an是递增数列”是“q>1”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：若数列an是递增数列，则a11，若a11”的既不充分也不必要条件
故选：D.
6．已知实数x,y满足x-22+y2=4，则3x-4y的取值范围为（ ）
A．-4,16B．-8,12C．-10,10D．-16,4
【答案】A
【解析】设3x-4y=t，依题意，直线3x-4y-t=0与圆x-22+y2=4有公共点，
而圆x-22+y2=4的圆心为(2,0)，半径为2，则|6-t|32+(-4)2≤2，解得-4≤t≤16，
所以3x-4y的取值范围为[-4,16].
故选：A.
7．在△ABC中，AB=3，∠ACB=2π3，以AB为直径的半圆弧和△ABC的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（ ）

A．2π+338B．π+638C．π+238D．π8
【答案】B
【解析】由已知可得图中半圆半径为32，所以半圆面积为12π×322=9π8，
如图，设△ABC外接圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，
由正弦定理，2r=3sin2π3=23，所以r=3，即OA=OB=3．
由余弦定理，cs∠AOB=32+32-322×3×3=-12，
又∠AOB∈0,π，所以∠AOB=2π3，从而sin∠AOB=32，
则弓形ACB的面积为12×2π3×32-12×3×3×32=π-334，
所以月牙形区域的面积为9π8-π-334=π+638．
故选：B．
8．已知fx是定义在R上的偶函数，且fx-1为奇函数，若f0=1，则2026∑i=1fi=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】令gx=fx-1，
由gx=fx-1为奇函数，
得g-x=-gx⇒f-x-1=-fx-1⇒f-x+1=-fx-1，
又fx为偶函数，∴f-x+1=fx+1，
∴fx+1=-fx-1，
用x+1替换x，则fx+2=-fx，
∴fx+4=fx+2+2=-fx+2=fx，即4为fx的周期．
根据f-x-1=-fx-1，
令x=0，得f-1=0，
令x=1，得f-2=-f0，
又fx为偶函数，且f0=1，∴f1=0，f2=f-2=-1，
又fx的周期为4，∴f3=f-1=0，f4=f0=1，
∴f1+f2+f3+f4=0．
∵2026÷4=506余2，
∴2026∑i=1fi=506×0+f1+f2=-1．
故选：A．
二、多选题
9．一组样本数据3,4,4,2,5,3,3,5,7，则该组数据的（ ）
A．众数为3B．极差为4C．平均数为4D．标准差为2
【答案】AC
【解析】这组数据的众数为3，故A正确；
极差为7-2=5，故B错误；
平均数为3+4+4+2+5+3+3+5+79=369=4，故C正确；
由方差公式s2=1nn∑i=1xi-x2，
所以s2=193×3-42+2×4-42+2-42+5-42+5-42+7-42=2，
所以其标准差为2，故D错误．
故选：AC．
10．设m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，且α∩β=n，则下列命题正确的有（ ）
A．若m与α不垂直，则m,n也不垂直
B．若m//α，且m//β，则m//n
C．若m//n，则m//α或m//β
D．若m⊥α，α⊥β，则m//β
【答案】BC
【解析】对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图，取AB1,BC分别为直线m,n,
平面BCC1B1，ABCD分别为α,β，因直线m与平面α不垂直，α∩β=n,但m⊥n，知A错误；
对于B，根据线面平行的性质定理，一条直线平行于两个相交平面，则该直线平行于这两个平面的交线，即由m//α，m//β，且α∩β=n，可得m//n，故B正确；
对于C，因为α∩β=n，所以n⊂α，n⊂β，若m⊄α，又m//n，则m//α；
同理可得若m⊄β，又m//n，则m//β．若m⊄α，m⊄β都不成立，则m⊂α，且m⊂β，
所以α∩β=m．又α∩β=n，所以m与n是同一条直线，这与题设矛盾．
故m⊄α，m⊄β中至少有一个成立，故m//α，m//β中至少有一个成立，故C正确；
对于D，由m⊥α，α⊥β，可得m//β或m⊂β，故D错误．
故选：BC．
11．已知F1,0为抛物线E:y2=2pxp>0的焦点，A,B为E上的两个动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点D的坐标为3,0，则AD的最小值为3
B．若AB=6，则线段AB的中点到y轴的最小距离为2
C．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的最大值为8
D．若直线AB过点F，则OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为定值
【答案】BCD
【解析】已知F1,0，即p2=1，所以p=2，故E的方程为y2=4x，
设Am,n，则n2=4m，所以AD=m-32+n2=m2-2m+9=m-12+8≥22，
所以当m=1时，ADmin=22，故A错误；
如下图，过A,B分别作准线的垂线，垂足分别为A1,B1，
则AB的中点到y轴的距离d=12AA1+BB1-1=12AF+BF-1≥12AB-1=2，
当且仅当AB过点F时等号成立，故B正确；
如上图，AB中点横坐标为3，且抛物线准线为x=-1，
则AB≤AF+BF=AA1+BB1=23+1=8，
当且仅当AB过点F时等号成立，故C正确；
若AB过点F，设其方程为x=ty+1，代入E的方程并整理，得y2-4ty-4=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1y2=-4，所以x1x2=y1y2216=1616=1，
所以kOA⋅kOB=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=-41=-4，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．x-13x8的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】28
【解析】展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-13xr=-1rC8rx8-43r，
令8-43r=0，得r=6，
故展开式的常数项为-16C86=28．
故答案为：28.
13．已知函数f(x)=sinxcsx在区间π3,a上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】3π4,7π6∪5π4,+∞
【解析】fx=sinxcsx=12sin2x，由x∈π3,a，则t=2x∈2π3,2a.
结合y=12sint的图象（如图），当t∈π2,3π2时，函数单调递减；
当t∈3π2,5π2时，函数单调递增，并以2π为周期.
故当2π30，
若01，则f'x=lnx+1>0，所以fx在1,+∞上单调递增，
所以t=9，即a9=9，所以lg3a=19lg39=29．
故答案为：29.
四、解答题
15．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：（1）由2Sn=3an-1，①
得2Sn-1=3an-1-1（n≥2），②
①－②，得2an=3an-3an-1，∴an=3an-1(n≥2)，
又2S1=3a1-1=2a1，∴a1=1，
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n-1.
（2）由（1）得，bn=n3n-1，
∴Tn=130+231+332+···+n3n-1，
13Tn=131+232+333+···+n3n，
两式相减，得23Tn=130+131+132+···+13n-1-n3n=1-13n1-13-n3n=32-2n+32×3n，
∴Tn=94-6n+94×3n.
16．随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表：
（1）完成上述列联表，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联；
（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
解：（1）2×2列联表为：
零假设为H0：是否经常借助AI技术与性别无关联．
根据表中数据，得χ2=20070×50-50×302100×100×120×80=253≈8.333>x0.005=7.879，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以推断H0不成立，
即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005．
（2）解：采用按比例分配的分层随机抽样，男性抽取人数为8×3080=3，女性抽取人数为8×5080=5，
所以随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
PX=0=C30C53C83=1056=528，PX=1=C31C52C83=3056=1528，
PX=2=C32C51C83=1556，PX=3=C33C50C83=156．
所以X的分布列为：
所以EX=0×528+1×1528+2×1556+3×156=6356=98．
17．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F，P(0,-3)是E上一点．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线l交E于A,B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积的最大值．
解：（1）因为P(0,-3)是E上一点，代入椭圆方程解得b=3，
又e=a2-3a=12，解得a2=4，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
（2）由（1）得半焦距c=1，点F(1,0)，显然l的斜率不为零，
设直线l的方程为x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，
由x=my+13x2+4y2=12消去x，得(3m2+4)y2+6my-9=0，显然Δ>0，
则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=36m2(3m2+4)2+363m2+4=12m2+13m2+4，
则△OAB的面积S△OAB=12|OF||y1-y2|=6m2+13m2+4=63m2+1+1m2+1，
令1+m2=t≥1，函数y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，当t=1时，3t+1t取得最小值4，
则当m=0时，3m2+1+1m2+1取得最小值4，(S△OAB)max=32，
所以△OAB的面积的最大值为32.
18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，D为棱A1B1的中点，F为D在平面BCC1B1上的射影，且AC⊥BF．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）若三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的表面上．
（i）求平面ACD截球O的表面所得圆的周长；
（ii）求直线CO与平面ACD所成角的正弦值．
（1）证明：由题意知BB1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以AC⊥BB1，
又AC⊥BF，BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BCC1B1，则AC⊥平面BCC1B1，
又BC⊂平面BCC1B1，所以AC⊥BC．
（2）解：由（1）得CA,CB,CC1两两垂直，以C为原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，B0,2,0，C10,0,2，D1,1,2，
所以CA=2,0,0,CD=1,1,2，
设平面ACD的一个法向量n=x,y,z，则n⋅CA=2x=0n⋅CD=x+y+2z=0，
令z=1，得x=0，y=-2，所以n=0,-2,1，
法1：因为△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以△ABC的外心为线段AB的中点M，其坐标为1,1,0，
故DM//BB1，故DM⊥平面ABC，所以O在DM上，于是设O1,1,c，
由OA2=OD2，得c2+2=2-c2，解得c=12，所以O1,1,12，
所以OD=0,0,32，球O的半径R=OD=32．
法2：设Oa,b,c，由OA=OB=OC=OD，
得a-22+b2+c2=a2+b-22+c2a-22+b2+c2=a2+b2+c2a-22+b2+c2=a-12+b-12+c-22，解得a=b=1，c=12，即O1,1,12，
所以OD=0,0,32，球O的半径R=OD=32．
（i）设点O到平面ACD的距离为d，则d=OD⋅nn=325=325，
所以截面圆的半径r=R2-d2=322-3252=355，
故截面圆的周长为2πr=65π5．
（ii）CO=1,1,12，则csn,CO=n⋅COnCO=325×32=55，
所以直线CO与平面ACD所成角的正弦值为55．
19．已知函数fx=3sinx+sin3x．
（1）求曲线y=fx在点π6,fπ6处的切线方程；
（2）求fx的值域；
（3）若关于x的方程fx=aa∈R在0,π2内有两个根x1,x2x1π2．
（1）解：f'x=3csx+3cs3x，所以f'π6=3csπ6+3csπ2=332，
又fπ6=3sinπ6+sinπ2=52，
故所求切线方程为y-52=332x-π6，即63x-4y+10-3π=0；
（2）解：法1：fx为以2π为周期的函数，所以fx在-π4,7π4上的值域即为fx在定义域R上的值域．
由（1）知f'x=3csx+3cs3x，
cs3x=cs2x+x=cs2xcsx-sin2xsinx=2cs2x-1csx-2csx1-cs2x=4cs3x-3csx，
f'x=3csx+34cs3x-3csx=6csx2cs2x-1=12csxcsx-22csx+22．
①当x∈-π4,π4时，csx>0，csx-22>0，csx+22>0，所以f'x>0；
②当x∈π4,π2时，csx>0，csx-220，所以f'x0；
当x∈π4,π2时，cs2x0，所以f'x