圆的方程专项练习【16个题型】-2026年高三数学二轮复习

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一．圆的标准方程（共3小题）
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
五．圆的切线方程（共1小题）
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
【知识总览】
1.点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
d=|Ax0+By0+C|A2+B2
2.圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
3.根据圆的几何属性求圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
4.根据圆的几何属性求圆的一般式方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（−D2，−E2），半径r=12D2+E2−4F．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
5.圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
6.过圆上一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为：
(x1−ℎ)(x−ℎ)+(y1−k)(y−k)=r2
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式．
2．简化方程：得到切线的方程形式．
7.过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：
(x−x0)2+(y−y0)2=R2
其中R是与圆外切的圆的半径．
8.直线与圆相交的性质
【知识点的认识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
9.直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由Ax+By+C=0x2+y2+Dx+Ey+F=0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10.圆上的点到定点的距离及其最值
【知识点的认识】
﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径．
【解题方法点拨】
﹣最值计算：
1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值．
2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围．
11.圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
12.两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
题型分类
知识讲解与常考题型
一．圆的标准方程（共3小题）
1．（2025•西安模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，H（m，4）是抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线x=p2相切于点T．若sin∠HFT=35，则圆H的标准方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9B．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9
2．（2024秋•邢台期末）已知直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2B．（x+4）2+（y+1）2＝2
C．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4D．（x+4）2+（y+1）2＝4
3．（2024秋•长宁区校级期末）已知点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2），则△ABC外接圆的方程是（ ）
A．x2+（y﹣3）2＝5B．（x+3）2+y2＝5
C．x2+（y+3）2＝5D．（x﹣3）2+y2＝5
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
4．（2025•海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
5．（2024秋•重庆期末）已知圆C经过O（0，0），A（2，0）两点，且圆心C在直线l：x﹣y＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
6．（2025•南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x﹣y+1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为 ．
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
7．（2025•安顺模拟）已知抛物线C：y2＝8x的顶点和焦点分别为O，F，则以线段OF为直径的圆的方程是 ．
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
8．（2025•济宁二模）若圆x2+y2﹣2ax﹣2y﹣1＝0关于直线x+by﹣2＝0对称，其中a＞0，b＞0，则1a+4a+1b的最小值为（ ）
A．2B．52C．4D．2+25
五．圆的切线方程（共1小题）
9．（2024秋•武汉期末）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣32B．﹣3C．3D．32
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
10．（2025•顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y−3）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．42
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
11．（2025•泰安模拟）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（ ）
A．22B．32C．2D．3
12．（2025•济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）csθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcs2θ+ysin2θ＝2cs2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1B．2C．πD．4π
13．（2025•晋中模拟）若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则csθ＝（ ）
A．813B．913C．1013D．1113
14．（2024秋•南平期末）过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（ ）
A．2B．6C．10D．15
15．（2024秋•邢台期末）已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
16．（2024秋•衡水期末）若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．x+y=12B．x+y=13C．x+y=14D．x+y=15
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
17．（2025•南岗区校级三模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0，直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A．12B．−12C．0D．﹣1
18．（2025•景德镇模拟）动圆M经过直线l：y＝x与⊙C：（x﹣6）2+y2＝20的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若PA→⋅PB→＞λ恒成立，则实数λ的最大值是（ ）
A．82−12B．20−122C．202−30D．32−242
19．（2025•西城区校级模拟）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆C上存点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
20．（2024秋•苏州期末）直线csθx+sinθy+1＝0交x轴于A，交y轴于B，点C在圆O：x2+y2＝1上，且距离直线csθx+sinθy+1＝0距离最远，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．22B．2C．4D．2
21．（2024秋•广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则MN→⋅MC→的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．22
22．（2025•射阳县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，过（0，1）的直线l与圆O交于M，N两点OM→⋅MN→=−325，则直线l的方程为（ ）
A．y=±12x+1B．y=±32x+1C．y=±14x+1D．y=±34x+1
23．（2025•黑龙江一模）已知M，N是圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5上的两个动点，且|MN|＝2，P为直线3x﹣4y+12＝0上的动点，则PM→⋅PN→的最小值为（ ）
A．3B．4C．15D．16
24．（2025•重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(43，2]B．(43，4]
C．[−2，−43)∪(43，2]D．(43，+∞)
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
25．（2025•汕尾校级模拟）已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
26．（2025•郑州模拟）已知P点坐标为（2csθ，sinθ），直线l：(m+2)x+(m+1)y−3m−23=0与圆M：x2+y2−23x+2=0交于A，B两点，则PA→⋅PB→的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．[﹣4，4]
C．[6−43，6+43]D．[7−43，7+43]
27．（2025春•广东期中）已知点A在圆C：x2+y2﹣10x﹣4y+29﹣m2＝0（m＞0）上，直线l：6x+y+12＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，若存在点A使得AM⊥AN，则m的取值范围为（ ）
A．[4，16]B．[10−37，10+37]
C．(0，10+37]D．(0，10−37]
28．（2025春•昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
29．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则|AB→+AP→|的最大值为（ ）
A．3B．13C．5D．22+1
30．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝23，点P在直线3x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
31．（2025春•观山湖区校级月考）已知直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则|AB|≥23的一个充分不必要条件是（ ）
A．b∈[﹣3，﹣1]B．b∈[﹣3，0]C．b∈[−3，2−2]D．b∈[﹣3，1]
32．（2025•龙岗区校级一模）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与图C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
33．（2025•南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cs∠PCA的最大值为（ ）
A．24B．34C．54D．74
34．（2025•锦州模拟）设直线l：y＝x+5与x轴交于点A，圆O：x2+y2＝10，过l上一点P作圆O的两条切线PC，PD，C，D为切点，CD中点为M，则|AM|的取值范围是（ ）
A．[17−2，17+2]B．[13−2，13+2]
C．[3，5]D．[4，6]
35．（2025春•宝山区校级月考）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2＝1上运动，则yx的取值范围是（ ）
A．[3，+∞)B．(−∞，−3)
C．[−3，3]D．(−∞，−3]∪[3，+∞)
36．（2025•池州模拟）已知直线l：xcsθ+ysinθ+1＝0（θ∈R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为82的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0D．19x+23y﹣129＝0
37．（2025春•黄浦区校级月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC＝BC，顶点A（0，1），B（2，﹣1），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，则下列结论错误的是（ ）
A．题中的“欧拉线”方程为x﹣y﹣1＝0
B．圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小距离为22
C．若圆M与圆x2+（y﹣a）2＝8有公共点，则a∈[﹣4，4]
D．若点（x，y）在圆M上，则yx+1的最大值是34141
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
38．（2024秋•仓山区校级期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．25
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
39．（2025•南京校级二模）若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．(−26，26)
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．(−26，0)∪(0，26)
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
40．（2024秋•龙岗区校级期末）若圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0相交于A、B，则AB所在直线方程是（ ）
A．4x﹣4y+1＝0B．4x﹣4y﹣1＝0C．x+y﹣1＝0D．x﹣y+1＝0
41．（2024秋•丰城市校级期末）已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=16，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x+4y﹣5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝﹣1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x+4y﹣5＝0的距离为2
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
42．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）有3条公切线，圆C覆盖圆C1，C2，则圆C面积的最小值为（ ）
A．9πB．12πC．16πD．18π
43．（2024秋•赫章县期末）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度为42，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x+12y+20＝0的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
44．（2024秋•泰安期末）已知圆O1：(x−a)2+(y+1)2=9与圆O2：(x+2a)2+y2=4有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞， −263)∪(263， +∞)
B．(−263， 263)
C．(−263， 0)∪(0， 263)
D．(0， 263)
45．（2024秋•宜春校级期末）已知动圆C的方程为（x﹣csθ）2+（y﹣sinθ）2＝θ，其中θ为常数，θ∈[π，2π），有下列两个命题：
①存在θ∈[π，2π），使圆C与圆C1：(x+csθ)2+(y+sinθ)2=1相切；
②对任意θ∈[π，2π），直线l：xcsθ+ysinθ+1＝0上都存在点P，圆C上都存在两点A、B，使PA⊥PB．则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
46．（2025•长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A．2B．22C．3D．23
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
47．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A．21B．29C．±29D．±21
48．（2024秋•泰州期末）已知圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1与圆x2+y2＝3相交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为45°，则实数a的值为 ．