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高考数学高频考点题型(新高考通用)第16练导数与函数的极值、最值(精练：基础+重难点)【一轮复习讲义】(原卷版+解析)
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这是一份高考数学高频考点题型(新高考通用)第16练导数与函数的极值、最值(精练：基础+重难点)【一轮复习讲义】(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
11．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
2．（2023·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
7．（2023·全国·高三专题练习）的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并求其最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0，,e2B．C．D．
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，函数（是的导数）的图象关于原点对称，若在上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，为的导函数，则（ ）
A．有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线在点处的切线斜率为
C．为偶函数
D．在时值域为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数在定义域内不存在极值点，则实数a的取值范围是______．
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点和，则实数a的取值范围为______.
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求证：.
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第16练 导数与函数的极值、最值（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【分析】（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【答案】（1）；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
11．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【详解】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
【答案】B
【分析】函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.
【详解】解：因为函数，故
又函数在处有极值，故，
解得.经检验满足题意
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得对上恒成立，设，利用导数求得的单调性与最值，分析即可得答案.
【详解】由题意可知，不等式在上恒成立，
则对上恒成立，
设，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取极大值，即为最大值，最大值为，
所以，，
所以的取值范围为
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在内，从而可求出的取值范围
【详解】由题意，得，
当时，在上恒成立，所以在上递增，函数无极值，
所以，
令，则x＝±，
∵函数在（，）上，函数递减，在（，+∞）上，函数递增
∴x时，函数取得极小值
∵函数在区间（0，1）内有极小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】B
【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.
【详解】令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【详解】，
设，则
则为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，
即的最大值与最小值之差为，
当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，所以的最大值与最小值之差为
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，可得，
且在区间上存在最小值，
即在区间上存在，
使得且，，
设，即满足，且，
可得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得，令，求导求最值即可.
【详解】若在上恒成立，则在上恒成立等价于
在上恒成立，令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
故.故选：B.
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
【答案】BD【详解】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据极值点的概念可得，进而判断函数单调性及零点情况，判断各选项.
【详解】由，
得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，
且，
，D选项正确；故选：ABD.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
【答案】BC
【分析】先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，A错误.
【详解】定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：
从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】求得，将题意转化为使得在上存在穿越零点，结合二次函数的性质，列出关于的不等式，求解即可.
【详解】定义域为，，
根据题意可得在上存在穿越零点，
故，且，解得.
故答案为：
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】.
【分析】求导后得到在上恒成立，参变分离后得到在上恒成立，利用导函数求出，从而求出实数的取值范围.
【详解】，，
故只需在上恒成立，
则在上恒成立，
其中在上恒成立，
故，所以，
故答案为：.
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
【答案】
【分析】利用二次求导的方法求得，从而求得，进而求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，令，
所以在上单调递增，
，
所以存在，使，
则在区间上，递减；在区间上，递增，
所以是的极小值点，所以，
所以.
故答案为：
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意参变分离可得在上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，即可得的取值范围.
【详解】解：因为在上恒成立，
即在上恒成立，
取，所以，
因为，所以，而，即，
所以在上，，单调递增，所以，
因为在上恒成立，所以.
故答案为：
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求极值；
(2)利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求的取值范围.
【详解】（1），
令，解得：，令，解得：，
故在上递增，在上递减，
∴的极大值为，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，，则，
∴在上递增，即，∴在上恒成立，
∴在上递增，故，故，即的取值范围是.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
（2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)
【分析】（1），讨论或判断的单调性；（2）由题意可得：对任意恒成立，即，通过导数求的最小值．
【详解】（1），
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则在上单调递增，
，
当时，，即；当时，，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，故的最大值为．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并求其最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值.
(2)
【分析】（1）利用导数解决函数单调性问题并求最值.
（2）当时，不合题意；当时，通过构造新函数，证明 恒成立得到结论.
【详解】（1）对函数求导可得：.
可知当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为，无最小值.
（2）当时，恒成立.
当时，为二次函数，图像抛物线开口向下，，使得，与恒成立矛盾；
当时，，可知恒成立
现证明恒成立，即证：，等价于证明.
构造函数，求导可得：，
设，则，
时，，时，，
可得在上单调递减，在上单调递增.
即在上单调递减，在上单调递增，
且当时，恒成立，.
故可得：当时，，时，，
即可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，从而可得，即有恒成立，所以当时，恒成立
综上实数的取值范围是.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2).
【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；
（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.
【详解】（1）由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.
【详解】由已知得，
记，∵，
∴在上单调递增，
∴，∴当时，当时
∴在上单调递增，在上单调递减，
故有最小值，无最大值.
故选：.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先由题意，可知函数关于点对称，列式求，再根据函数有2个极值点，转化为有两个不相等的实数根.
【详解】圆的圆心为，若函数是圆的太极函数，
则函数关于点对称，则，有，
即，
整理为：恒成立，
解得：，
则函数，
，若函数有两个极值点，则有两个不相等的实数根，
则，解得：.
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】先将化成，再利用函数在R上单调递增得到，进而转化为求的最小值即可．
【详解】解：因为可化成，
又因为函数在R上单调递增，
所以，
所以，
所以，
令，解得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以当时，．
故选：C.
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0，,e2B．C．D．
【答案】A
【分析】分成，两段讨论，分别利用二次函数性质求最值和分离参数，再构造函数利用导数求最值的方法即可求解.
【详解】当时，，
若，必有，解得，所以，
若，满足，
所以；
当时，，即，
令，，
由得，得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
即，
综上所述，a的取值范围为0，,e2.
故选：A.
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，函数（是的导数）的图象关于原点对称，若在上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，借助函数的对称性求出，再由函数的极值点情况列出不等式作答.
【详解】依题意，函数的周期为，则，，，
，因为函数的图象关于原点对称，
则，又，则有，，
当时，，因为函数在上恰有3个极值点，
因此，解得，
所以的取值范围为.
故选：A
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】CD
【分析】证明函数为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数的大致图像，即可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为，时，
，所以为奇函数，则关于点对称，故选项C正确；
当时，，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，，又为奇函数，
画出的大致图像，
由图知选项A错误，选项B错误；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得
，或；
当时，直线是曲线的切线，故选项D正确．
故选：CD．
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，为的导函数，则（ ）
A．有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线在点处的切线斜率为
C．为偶函数
D．在时值域为
【答案】BD
【分析】根据题意，对函数求导可得函数的单调性，再利用数形结合可得出函数的零点和极值点即可判断A；根据导数的几何意义可判断B；利用函数奇偶性的定义可判断C；通过构造函数利用函数单调性即可求得函数值域，即可判断D.
【详解】由得函数的定义域为，则，
令得
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
且当时，；时，；时，；
其图像如下图所示：
即函数有唯一的零点和唯一极值点，且零点大于极值点；故选项A错误；
由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为，即选项B正确；
，
；显然不满足偶函数的定义，故选项C错误；
易得，
令，显然函数在上单调递增；
所以当时，且，
即在时值域为，所以选项D正确；
故选：BD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可.
【详解】，
故恒成立，转化成恒成立，
记，则在单调递增，故由得，故恒成立，
记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
三、填空题
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数在定义域内不存在极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题可得或在上恒成立，然后根据参变分离及二次函数的性质即得.
【详解】函数的定义域为，且，
因为在定义域内不存在极值点，
所以或在上恒成立，
即或在上恒成立，
因为在上不可能恒成立，
所以在上恒成立，即，
所以，
故．
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数在区间上存在最大值的不等式，即可求得答案.
【详解】由得,
当或时,；当时,，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，且，
令，则或，
故要使函数在区间上存在最大值，即时函数取最大值，
需满足，
故答案为：
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点和，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】先求导，再令，令，对判别式分两种情况讨论得解.
【详解】因为，
所以，
令，
则时，，
判别式
当时.，此时，故函数在上单调递增，无极值点，不合题意：
当时，设此时对应方程的两个正根为、，则，
则，所以当，符合题意.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为，所以，所以当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
又，，，
因为，
所以，，
所以，，
则.
故答案为：
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.
【详解】对任意，若存在，使得，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，
①当时，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
，，解得：，
；
②当时，，，
令，解得：，
（i）当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
，解得：，；
（ii）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
，解得：（舍）；
（iii）当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：（舍）；
③当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
当，即时，，
，解得：，；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2），
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）对求导，通过研究单调性，进而求出极值；
（2）求出，对的范围进行讨论，研究单调性，进而求出结果.
【详解】（1）若，则，
且函数的定义域为，
所以．
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增，
所以在上至多有一个零点，不合题意；
②当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以仅有一个极大值点，
且．
要使在上有两个零点，必有，
且，
即，且，
解得，
即实数a的取值范围为．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可知斜率，代入直线的点斜式方程可得切线方程为；（2）由可得，利用函数单调性即可知在处取得最小值，即证明即可，令函数即可得出证明.
【详解】（1）当时，；
则，
所以在点处的切线斜率，又；
切线方程为，即
所以，在点处的切线方程为.
（2）当时，可得 ,
又，令可得；
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
即在处取得极小值，也是最小值，
所以；
要证明，即证明，也即
构造函数，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
所以；即可得，
当且仅当时等号成立；
故.
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可得，并求出，即可确定m的范围；
（2）根据的值域及的最小值为1排除、，构造并应用导数研究函数符号，放缩法求最值，即可得参数值.
【详解】（1）当时，则，令，
当时，递减，当时，递增，，
所以，，
要使恰有两个整数解，则.
（2）若，当趋向时趋向于0，此时最小值不为1，舍去.
由（1）知：时最小值为0，此时最小值不为1，舍去.
所以，则，
令，则，故时，时恒成立，
所以在上递减，在上递增，且，即恒成立，
所以，仅当，即时取等号，
令，则，故时，递减，时，递增，
所以，且时，时，
综上，，即时，成立.
此时，要使的最小值为1，即.
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增
(2)
【分析】（1）求出，继而得出的单调性；
（2）求出，继而得出的零点，再得出，求导判断其单调性，最后得出的取值范围.
【详解】（1）若，则，求导得，
令可得，令可得，
故在上单调递减；在上单调递增.
（2）由题意可得，
令，
故在上单调递增，
当时，，，
故使得，此时
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以由的单调性可知，
函数也在上单调递增，
故当时，，当时，
故的最小值为
易知随增大而增大，故其取值范围为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，然后构造，由导数研究函数的最小值，即可得到结果.
【详解】不等式，即，
所以.设，则，
可知时，，单调递减；时，，单调递增，
所以.
令，则.
当时，，单调递增，则，
则，故满足条件；
当时，则在上单调递减；在上单调递增，则，
设，则，则在单调递减，又，所以，则，
综上所述，的取值范围是.
故选：A
【点睛】解答本题的关键在于，先换元令，然后构造函数，得到其最值，即可得到结果.
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，构造函数，应用导数求函数单调性求出最小值即可.
【详解】设，则，，
由，得，则，，
设函数，，
则，
因为函数在上都是增函数，
所以在上为增函数，
又，
所以当时，，单调递减,当时，,单调递增，
故，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：设，则，，求得是解决本题得关键.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导，根据函数有两个极值点，， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.
【详解】因为，
所以，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以函数在上有两个不等实根，
则，解得，
因为，且，，
所以，且，
所以，．
令函数，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则，即的取值范围为．
故选：A
【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解.
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
令，可得或，不满足等式，
可得，其中且，
令，其中且，则，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，如下图所示：
①当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增.
故当时，函数有两个极值点，合乎题意；
②当时，方程在的根为.
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
当时，，，，此时，单调递增，
此时函数无极值点；
③当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有两个极值点，合乎题意；
④当时，直线与函数的图象无交点，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑤当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑥当时，直线与函数的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有三个极值点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解.
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
【答案】CD
【分析】将式子变形为，构造函数，和，即可利用导数求解单调性，即可求最值.
【详解】依题意，，令，
故问题转化为有解.
设，则，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故，而，所以存在唯一零点，
即在有解，即，
令，则，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，故实数的取值范围为，
故选：CD.
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
【答案】BCD
【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对的讨论分析可得D的正误.
【详解】对于A，∵当时，，无极值，故A不正确；
对于B，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，∴有极大值，故B正确；
对于C，由，得，即，
设，∴；
设，则，，
当时，，为减函数，注意到，时，，不合题意；
当时，，时，，为减函数，
时，，为增函数；
∴；
设，则，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
∴，∴只有当时，才能成立，∴，故C正确；
对于D，由C知，，，，为增函数；
当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，
∵为增函数，，∴此时有两个零点.
同理可得，当时，有两个零点.
当时，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.
当时，为减函数，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.故D正确.故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对的转化，通过换元化为简单的函数来求解；三是零点个数通过拆分函数，由复合函数的零点个数来判断.
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
【答案】
【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．
令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解.
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）当时，对求导，得到的单调性即可求出函数的值域；
（2）①由题知，进而构造函数，研究函数单调性，结合零点存在性定理可得存在唯一，使得，进而得函数的单调性即可证明；②要证，即证，结合题意得，对求导，再根据得，故，即可证明.
【详解】（1）当时，，显然函数的定义域为.
令得，
令，解得：；令，解得：，
在上单调递增，在上单调递减.
.
且当趋近于，趋近于负无穷，当趋近于正无穷，趋近于负无穷，
故函数的值域是.
（2）①显然，定义域为.
，
令，则由可知，
在单调递减，且当趋近于，趋近于.
而
存在唯一的使得，
所以当时，，当，，
于是在上单调递增，在上单调递减，
从而.，
令，
若，可得：；若，可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，当时取等,
由知：
，
，，
（注意：且，则，即递增，故；
且且，则，即递减，故；
所以、在上恒成立.）
在都各有一个唯一零点，故恰有两个零点.
②由题意得，由于，要证，即证.
，由（1）知，
从而，
令，则，且，
令，
令，则；令，则；
则在上单调递减，在上单调递增，
，所以，
故.
于是在上单调递减，故，即，即.
【点睛】关键点点睛：根据不等式对进行放缩得，故，进而证明结论.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【详解】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．
令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为，是的两个不等的实根，
所以，即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
0
1
-
0
+
0
-
递减
极小值1
递增
极大值
递减
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
11．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
2．（2023·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
7．（2023·全国·高三专题练习）的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并求其最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0，,e2B．C．D．
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，函数（是的导数）的图象关于原点对称，若在上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，为的导函数，则（ ）
A．有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线在点处的切线斜率为
C．为偶函数
D．在时值域为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数在定义域内不存在极值点，则实数a的取值范围是______．
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点和，则实数a的取值范围为______.
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求证：.
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第16练 导数与函数的极值、最值（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【分析】（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【答案】（1）；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
11．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【详解】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
【答案】B
【分析】函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.
【详解】解：因为函数，故
又函数在处有极值，故，
解得.经检验满足题意
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得对上恒成立，设，利用导数求得的单调性与最值，分析即可得答案.
【详解】由题意可知，不等式在上恒成立，
则对上恒成立，
设，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取极大值，即为最大值，最大值为，
所以，，
所以的取值范围为
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在内，从而可求出的取值范围
【详解】由题意，得，
当时，在上恒成立，所以在上递增，函数无极值，
所以，
令，则x＝±，
∵函数在（，）上，函数递减，在（，+∞）上，函数递增
∴x时，函数取得极小值
∵函数在区间（0，1）内有极小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】B
【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.
【详解】令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【详解】，
设，则
则为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，
即的最大值与最小值之差为，
当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，所以的最大值与最小值之差为
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，可得，
且在区间上存在最小值，
即在区间上存在，
使得且，，
设，即满足，且，
可得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得，令，求导求最值即可.
【详解】若在上恒成立，则在上恒成立等价于
在上恒成立，令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
故.故选：B.
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最小值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
【答案】BD【详解】，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据极值点的概念可得，进而判断函数单调性及零点情况，判断各选项.
【详解】由，
得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，
且，
，D选项正确；故选：ABD.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
【答案】BC
【分析】先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，A错误.
【详解】定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：
从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】求得，将题意转化为使得在上存在穿越零点，结合二次函数的性质，列出关于的不等式，求解即可.
【详解】定义域为，，
根据题意可得在上存在穿越零点，
故，且，解得.
故答案为：
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】.
【分析】求导后得到在上恒成立，参变分离后得到在上恒成立，利用导函数求出，从而求出实数的取值范围.
【详解】，，
故只需在上恒成立，
则在上恒成立，
其中在上恒成立，
故，所以，
故答案为：.
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
【答案】
【分析】利用二次求导的方法求得，从而求得，进而求得正确答案.
【详解】的定义域为，
，令，
所以在上单调递增，
，
所以存在，使，
则在区间上，递减；在区间上，递增，
所以是的极小值点，所以，
所以.
故答案为：
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意参变分离可得在上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，即可得的取值范围.
【详解】解：因为在上恒成立，
即在上恒成立，
取，所以，
因为，所以，而，即，
所以在上，，单调递增，所以，
因为在上恒成立，所以.
故答案为：
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求极值；
(2)利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求的取值范围.
【详解】（1），
令，解得：，令，解得：，
故在上递增，在上递减，
∴的极大值为，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，，则，
∴在上递增，即，∴在上恒成立，
∴在上递增，故，故，即的取值范围是.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
（2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)
【分析】（1），讨论或判断的单调性；（2）由题意可得：对任意恒成立，即，通过导数求的最小值．
【详解】（1），
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则在上单调递增，
，
当时，，即；当时，，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，故的最大值为．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并求其最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值.
(2)
【分析】（1）利用导数解决函数单调性问题并求最值.
（2）当时，不合题意；当时，通过构造新函数，证明 恒成立得到结论.
【详解】（1）对函数求导可得：.
可知当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为，无最小值.
（2）当时，恒成立.
当时，为二次函数，图像抛物线开口向下，，使得，与恒成立矛盾；
当时，，可知恒成立
现证明恒成立，即证：，等价于证明.
构造函数，求导可得：，
设，则，
时，，时，，
可得在上单调递减，在上单调递增.
即在上单调递减，在上单调递增，
且当时，恒成立，.
故可得：当时，，时，，
即可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，从而可得，即有恒成立，所以当时，恒成立
综上实数的取值范围是.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2).
【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；
（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.
【详解】（1）由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值
C．有最小值，无最大值D．无最小值，无最大值
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.
【详解】由已知得，
记，∵，
∴在上单调递增，
∴，∴当时，当时
∴在上单调递增，在上单调递减，
故有最小值，无最大值.
故选：.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故选：C
方法二：令，，则，，
所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以，解得.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先由题意，可知函数关于点对称，列式求，再根据函数有2个极值点，转化为有两个不相等的实数根.
【详解】圆的圆心为，若函数是圆的太极函数，
则函数关于点对称，则，有，
即，
整理为：恒成立，
解得：，
则函数，
，若函数有两个极值点，则有两个不相等的实数根，
则，解得：.
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】先将化成，再利用函数在R上单调递增得到，进而转化为求的最小值即可．
【详解】解：因为可化成，
又因为函数在R上单调递增，
所以，
所以，
所以，
令，解得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以当时，．
故选：C.
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．0，,e2B．C．D．
【答案】A
【分析】分成，两段讨论，分别利用二次函数性质求最值和分离参数，再构造函数利用导数求最值的方法即可求解.
【详解】当时，，
若，必有，解得，所以，
若，满足，
所以；
当时，，即，
令，，
由得，得，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
即，
综上所述，a的取值范围为0，,e2.
故选：A.
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，函数（是的导数）的图象关于原点对称，若在上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，借助函数的对称性求出，再由函数的极值点情况列出不等式作答.
【详解】依题意，函数的周期为，则，，，
，因为函数的图象关于原点对称，
则，又，则有，，
当时，，因为函数在上恰有3个极值点，
因此，解得，
所以的取值范围为.
故选：A
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数则（ ）
A．没有极值点
B．当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】CD
【分析】证明函数为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数的大致图像，即可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为，时，
，所以为奇函数，则关于点对称，故选项C正确；
当时，，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，，又为奇函数，
画出的大致图像，
由图知选项A错误，选项B错误；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得
，或；
当时，直线是曲线的切线，故选项D正确．
故选：CD．
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，为的导函数，则（ ）
A．有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线在点处的切线斜率为
C．为偶函数
D．在时值域为
【答案】BD
【分析】根据题意，对函数求导可得函数的单调性，再利用数形结合可得出函数的零点和极值点即可判断A；根据导数的几何意义可判断B；利用函数奇偶性的定义可判断C；通过构造函数利用函数单调性即可求得函数值域，即可判断D.
【详解】由得函数的定义域为，则，
令得
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
且当时，；时，；时，；
其图像如下图所示：
即函数有唯一的零点和唯一极值点，且零点大于极值点；故选项A错误；
由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为，即选项B正确；
，
；显然不满足偶函数的定义，故选项C错误；
易得，
令，显然函数在上单调递增；
所以当时，且，
即在时值域为，所以选项D正确；
故选：BD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可.
【详解】，
故恒成立，转化成恒成立，
记，则在单调递增，故由得，故恒成立，
记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
三、填空题
10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数在定义域内不存在极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题可得或在上恒成立，然后根据参变分离及二次函数的性质即得.
【详解】函数的定义域为，且，
因为在定义域内不存在极值点，
所以或在上恒成立，
即或在上恒成立，
因为在上不可能恒成立，
所以在上恒成立，即，
所以，
故．
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数在区间上存在最大值的不等式，即可求得答案.
【详解】由得,
当或时,；当时,，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，且，
令，则或，
故要使函数在区间上存在最大值，即时函数取最大值，
需满足，
故答案为：
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点和，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】先求导，再令，令，对判别式分两种情况讨论得解.
【详解】因为，
所以，
令，
则时，，
判别式
当时.，此时，故函数在上单调递增，无极值点，不合题意：
当时，设此时对应方程的两个正根为、，则，
则，所以当，符合题意.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为，所以，所以当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
又，，，
因为，
所以，，
所以，，
则.
故答案为：
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.
【详解】对任意，若存在，使得，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，
①当时，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
，，解得：，
；
②当时，，，
令，解得：，
（i）当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
，解得：，；
（ii）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
，解得：（舍）；
（iii）当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：（舍）；
③当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
当，即时，，
，解得：，；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2），
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）对求导，通过研究单调性，进而求出极值；
（2）求出，对的范围进行讨论，研究单调性，进而求出结果.
【详解】（1）若，则，
且函数的定义域为，
所以．
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增，
所以在上至多有一个零点，不合题意；
②当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以仅有一个极大值点，
且．
要使在上有两个零点，必有，
且，
即，且，
解得，
即实数a的取值范围为．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可知斜率，代入直线的点斜式方程可得切线方程为；（2）由可得，利用函数单调性即可知在处取得最小值，即证明即可，令函数即可得出证明.
【详解】（1）当时，；
则，
所以在点处的切线斜率，又；
切线方程为，即
所以，在点处的切线方程为.
（2）当时，可得 ,
又，令可得；
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
即在处取得极小值，也是最小值，
所以；
要证明，即证明，也即
构造函数，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
所以；即可得，
当且仅当时等号成立；
故.
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；
(2)若的最小值为1，求a.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可得，并求出，即可确定m的范围；
（2）根据的值域及的最小值为1排除、，构造并应用导数研究函数符号，放缩法求最值，即可得参数值.
【详解】（1）当时，则，令，
当时，递减，当时，递增，，
所以，，
要使恰有两个整数解，则.
（2）若，当趋向时趋向于0，此时最小值不为1，舍去.
由（1）知：时最小值为0，此时最小值不为1，舍去.
所以，则，
令，则，故时，时恒成立，
所以在上递减，在上递增，且，即恒成立，
所以，仅当，即时取等号，
令，则，故时，递减，时，递增，
所以，且时，时，
综上，，即时，成立.
此时，要使的最小值为1，即.
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增
(2)
【分析】（1）求出，继而得出的单调性；
（2）求出，继而得出的零点，再得出，求导判断其单调性，最后得出的取值范围.
【详解】（1）若，则，求导得，
令可得，令可得，
故在上单调递减；在上单调递增.
（2）由题意可得，
令，
故在上单调递增，
当时，，，
故使得，此时
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以由的单调性可知，
函数也在上单调递增，
故当时，，当时，
故的最小值为
易知随增大而增大，故其取值范围为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，然后构造，由导数研究函数的最小值，即可得到结果.
【详解】不等式，即，
所以.设，则，
可知时，，单调递减；时，，单调递增，
所以.
令，则.
当时，，单调递增，则，
则，故满足条件；
当时，则在上单调递减；在上单调递增，则，
设，则，则在单调递减，又，所以，则，
综上所述，的取值范围是.
故选：A
【点睛】解答本题的关键在于，先换元令，然后构造函数，得到其最值，即可得到结果.
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，构造函数，应用导数求函数单调性求出最小值即可.
【详解】设，则，，
由，得，则，，
设函数，，
则，
因为函数在上都是增函数，
所以在上为增函数，
又，
所以当时，，单调递减,当时，,单调递增，
故，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：设，则，，求得是解决本题得关键.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导，根据函数有两个极值点，， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.
【详解】因为，
所以，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以函数在上有两个不等实根，
则，解得，
因为，且，，
所以，且，
所以，．
令函数，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则，即的取值范围为．
故选：A
【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解.
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
令，可得或，不满足等式，
可得，其中且，
令，其中且，则，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，如下图所示：
①当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增.
故当时，函数有两个极值点，合乎题意；
②当时，方程在的根为.
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
当时，，，，此时，单调递增，
此时函数无极值点；
③当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有两个极值点，合乎题意；
④当时，直线与函数的图象无交点，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑤当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑥当时，直线与函数的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有三个极值点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解.
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于 的方程存在正零点，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．eD．2
【答案】CD
【分析】将式子变形为，构造函数，和，即可利用导数求解单调性，即可求最值.
【详解】依题意，，令，
故问题转化为有解.
设，则，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故，而，所以存在唯一零点，
即在有解，即，
令，则，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，故实数的取值范围为，
故选：CD.
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．有极小值B．有极大值
C．若，则D．的零点最多有两个
【答案】BCD
【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对的讨论分析可得D的正误.
【详解】对于A，∵当时，，无极值，故A不正确；
对于B，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，∴有极大值，故B正确；
对于C，由，得，即，
设，∴；
设，则，，
当时，，为减函数，注意到，时，，不合题意；
当时，，时，，为减函数，
时，，为增函数；
∴；
设，则，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
∴，∴只有当时，才能成立，∴，故C正确；
对于D，由C知，，，，为增函数；
当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，
∵为增函数，，∴此时有两个零点.
同理可得，当时，有两个零点.
当时，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.
当时，为减函数，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.故D正确.故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对的转化，通过换元化为简单的函数来求解；三是零点个数通过拆分函数，由复合函数的零点个数来判断.
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为__________.
【答案】
【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．
令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解.
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）当时，对求导，得到的单调性即可求出函数的值域；
（2）①由题知，进而构造函数，研究函数单调性，结合零点存在性定理可得存在唯一，使得，进而得函数的单调性即可证明；②要证，即证，结合题意得，对求导，再根据得，故，即可证明.
【详解】（1）当时，，显然函数的定义域为.
令得，
令，解得：；令，解得：，
在上单调递增，在上单调递减.
.
且当趋近于，趋近于负无穷，当趋近于正无穷，趋近于负无穷，
故函数的值域是.
（2）①显然，定义域为.
，
令，则由可知，
在单调递减，且当趋近于，趋近于.
而
存在唯一的使得，
所以当时，，当，，
于是在上单调递增，在上单调递减，
从而.，
令，
若，可得：；若，可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，当时取等,
由知：
，
，，
（注意：且，则，即递增，故；
且且，则，即递减，故；
所以、在上恒成立.）
在都各有一个唯一零点，故恰有两个零点.
②由题意得，由于，要证，即证.
，由（1）知，
从而，
令，则，且，
令，
令，则；令，则；
则在上单调递减，在上单调递增，
，所以，
故.
于是在上单调递减，故，即，即.
【点睛】关键点点睛：根据不等式对进行放缩得，故，进而证明结论.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【详解】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．
令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为，是的两个不等的实根，
所以，即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
0
1
-
0
+
0
-
递减
极小值1
递增
极大值
递减
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