专题22.2 一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册同步试题（华东师大版）（含答案）

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专题22.2 一元二次方程的解法【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3683" 【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc3683 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22373" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc22373 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc21955" 【题型3 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc21955 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26216" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc26216 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2409" 【题型5 十字相乘法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc2409 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc30986" 【题型6 用适当方法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc30986 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23023" 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc23023 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc15064" 【题型8 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Toc15064 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5253" 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 PAGEREF _Toc5253 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15542" 【题型10 配方法的应用】 PAGEREF _Toc15542 \h 9知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，得2x－1= ，即2x－1＝ 或2x－1＝ ，所以x1＝ ，x2＝ ．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(  )A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程x-52=m-7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程xx+4=6．解：原方程可变形，得：x+2-2x+2+2=6．x+22-22=6，x+22=10．直接开平方并整理，得．x1=-2+10，x2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x+5x+9=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x+a-bx+a+b=5．x+a2-b2=5，∴x+a2=5+b2．直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x-5x+7=12．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．3x2-52=12x．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x2-16x=56．配方，得_________________________________，即(x-112)2=121144．两边开平方，得__________________，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-56．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是（    ）A．x-32=9B．x-32=10C．x+32=8D．x-32=8【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得x=-6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是 ．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．  解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b= ，c=10．Δ=b2-4ac= -4×3×10=1>0．方程 实数根．x= = ，即x1= ，x2=53．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程-ax2+bx-c=0 (a≠0)，下列代入公式正确的是（    ）A．x=-b±b2-4a×(-c)2×(-a)B．x=b±b2-4ac2aC．x=b±b2-4a×(-c)2×(-a)D．x=-b±b2-4ac2a【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根互为相反数，则（    ）A．b=0B．c=0C．b2-4ac=0D．b+c=0知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）关于x的一元二次方程xx-2=2-x的根是（    ）A．-1B．0C．1和2D．-1和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得xx-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22-2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为（    ）A．都为10B．都为0C．0或10D．5或-5【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程（1）4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x+c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为（  ）A．(x-2)(6x+5)=0B．(2x+2)(3x-5)=0C．(x-5)(6x+2)=0D．(2x-5)(3x+2)=0【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得（    ）A．x1=-3m，x2=4mB．x1=3m，x2=4mC．x1=-3m，x2=-4mD．x1=3m，x2=-4m【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；   示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：x2+3x+2= ；x2-5xy+6y2+x+2y-20= ；（2）若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)xx+3=5x+15.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0（用配方法）(2)3x2-11x=-9（用公式法）(3)5x-32=x2-9（用因式分解法）(4)2y2+4y=y+2（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用指定的方法解方程：(1)12x2-2x-5=0（用配方法）(2)x2=8x+20（用公式法）(3)x-32+4xx-3=0（用因式分解法）(4)x+23x-1=10（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解下列方程：(1)x2=8x+9（配方法）；(2)2y2+7y+3=0（公式法）；(3)x+22=3x+6（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是（　　）A．-3B．1C．-3或1D．3或-1【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）若a+5ba+5b+6=7，则a+5b= ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2（舍去）；②当x