重庆市巴蜀科学城中学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版）

这是一份重庆市巴蜀科学城中学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数的导数为，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A. 18B. 36C. 48D. 60
4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A 24个B. 26个C. 30个D. 42个
6. 我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D.
7. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 32
8. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 设函数，则（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，有两个极值点
C. 对，点是的对称中心
D. 当时，直线不是切线
10. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是15
11. 如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点在椭圆上，则下列条件中能使的离心率为的是（ ）
A. B.
C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是________.
13. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为_________.
14. 已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在前项和为的等比数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，求二面角的余弦值.
17. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4.
（1）求的方程；
（2）设过另一直线交于两点，且点在直线上.
（i）证明：直线过定点；
（ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程.
18. 已知函数，曲线在处与直线相切.
（1）求、的值；
（2）求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
19. 若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”.
（1）若1，，，8为“差增数列”，写出所有可能的，；
（2）若“差增数列”满足：，，求的最大值；
（3）对所有可能的“差增数列”，记（表示数集中的最大值），求的最小值.