重庆市巴蜀科学城中学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市巴蜀科学城中学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出其渐近线方程.
【详解】双曲线的渐近线方程为.
故选：C
2. 已知函数的导数为，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.
【详解】由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
3. 5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A. 18B. 36C. 48D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可.
【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法，
所以共有种站法，
故选：B
4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质，利用勾股定理来求得正确答案.
【详解】直线l：，即，
所以直线过定点.
圆的圆心为，半径.
则当时，弦长最小，，
所以弦长的最小值为.
故选：C
5. 用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字三位数，其中偶数共有（ ）
A. 24个B. 26个C. 30个D. 42个
【答案】C
【解析】
【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求.
【详解】若0在个位，则可组成个偶数；
若2在个位，则可组成个偶数；
若4在个位，则可组成个偶数；
所以偶数共有个.
故选：C
6. 我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意可知：，故，
若，则，
由于故使得不等式 成立的正整数 的最小值为5，
故选：B
7. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.
【详解】由题设中圆心，半径，
中圆心，半径，
根据双曲线方程知其左右焦点为，连接，
所以，
所以
，
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，
故的最小值为30.
故选：C.
8. 已知抛物线：的焦点为F，点P是C上的一点，点，则周长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作C的准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义及三角形的性质有求周长最小值.
【详解】由题知，准线方程为，过点P作C的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知，又，
所以，
当且仅当M，P，三点共线时取得最小值，
故周长的最小值是.
故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 设函数，则（ ）
A. 当时，上单调递增
B. 当时，有两个极值点
C. 对，点是的对称中心
D. 当时，直线不是的切线
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A根据可判断；选项B根据极点的定义判断即可；选项C由可判断；选项D，根据斜率为0求得切线为可判断.
【详解】由得，
选项A：当时，，故在上单调递增，故A正确；
选项B：当时，，可得，
当时，，当时，，
当时，，
故有两个极值点，故B正确；
选项C：，，
故的对称中心为，故C正确；
选项D：当时，，得
由得，，
故斜率0时切线方程为，即，故D错误，
故选：ABC
10. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是15
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；由可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.
【详解】解：因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确；
，，
故成立最大自然数，D错误．
故选：ABC．
11. 如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点在椭圆上，则下列条件中能使的离心率为的是（ ）
A. B.
C. 轴，且D. 四边形的内切圆过焦点，
【答案】ABD
【解析】
【分析】逐项由条件列关于的方程，结合的关系及离心率的定义求出对应的离心率，判断结论.
【详解】由题意知，，，，，，
设椭圆离心率为，
对于A，，即，
同除整理得，解得，
又，故，A正确；
对于B，，即，
即，即，由上知，B正确；
对于C，轴，由，解得，故，，即，
即，解得，则，故离心率，C错误；
对于D，易得内切圆半径为斜边上的高，即，
若内切圆过焦点，，
则，整理得，
同除得，解得，
又，则，
故，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数来判断函数在区间的单调性，再由分离参变量求参数的取值范围即可.
【详解】由已知求导得：，
因为函数在区间上具有单调性，
所以或在上恒成立，
则在区间上，或，
因为在上递增，在上递减，
且，
所以的最大值为，的最小值为，
所以或.
故答案为：
13. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出．
【详解】由等差数列的性质可得：．
对于任意的都有，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，利用椭圆、双曲线定义可得，且，再应用余弦定理可得，进而求目标式的值.
【详解】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，
则，则，且，则，
所以，且，
又，则，
所以，则，即，
所以.
故答案为：4
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在前项和为的等比数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式.
(2)根据，得出的通项公式，错位相减得出.
【小问1详解】
设数列的公比为，
由，得，所以，解得或，
若，则由，得，所以，与矛盾，所以，
若，则由，得，所以，，符合
，所以，，所以.
故数列的通项公式为：
【小问2详解】
由，
两边乘以2得
，
两式相减得：，
故数列的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
取中点，连接.
在中，分别为的中点，
所以，
因为，
所以.
所以四边形为平行四边形，因此.
又因为平面平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面平面，
所以.又因为，
所以建立如图空间直角坐标系.
由题意得，
，所以.
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，所以平面一个法向量为.
易知为平面的一个法向量.
设二面角为，则
所以，
因为为钝角，所以.
17. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4.
（1）求的方程；
（2）设过的另一直线交于两点，且点在直线上.
（i）证明：直线过定点；
（ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）或.
【解析】
【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可；
（2）（i）设直线方程：.
直曲联立.另外，由前问求出.进而得到直线方程，化简得到.即可求出定点.
（ii）先求出和直线方程，还求出点到直线的距离，根据面积公式计算出点坐标，即可求出直线方程.
【小问1详解】
设直线方程：，代入中，消去得.
设，则.
当时，有的最小值为.
，故的方程为.
【小问2详解】
（i）设直线方程：.
由消去得.①
又由（1）知，同理.
当的斜率不存在时，的斜率不存在时，不妨设
此时，；
当的斜率存在时，直线的斜率.
直线方程为，化简得②
由①②得，即.
由得，直线过定点；
所以直线过定点；
（ii）由（i）知，
直线方程为：，点到直线的距离，
，解得或6.所以点坐标为，或.
且，或.
直线方程为或.
【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k），
（2）利用条件得到有关k与x，y的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至找到定点，
①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，让系数等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数.
18. 已知函数，曲线在处与直线相切.
（1）求、的值；
（2）求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
【答案】（1），
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）由题意可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，即可求出该函数在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
【小问2详解】
由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
19. 若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”.
（1）若1，，，8为“差增数列”，写出所有可能的，；
（2）若“差增数列”满足：，，求的最大值；
（3）对所有可能的“差增数列”，记（表示数集中的最大值），求的最小值.
【答案】（1）或或或
（2）65 （3）511567
【解析】
【分析】（1）根据“差增数列”的定义可列不等式，结合正整数解，即可得解，
（2）利用迭代法可得，进而得，即可结合二次函数的性质，代值求解，
（3）根据可得，又结合取值得求解.
【小问1详解】
依题意，因为数列1，，，8为“差增数列”，则
注意到，故所有可能的，为
或或或
【小问2详解】
由题意知，当时，
，
即，，
当时，，当时，，
则当时，，
故正整数的最大值为65.
【小问3详解】
令，由题知，，
则，
此时有
，
故，
另一方面，当，，…，，，，…，时，
取，则，，，
且，
综上，的最小值为511567.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.