安徽省江南十校2024_2025学年高二数学下学期5月阶段联考试卷含解析

这是一份安徽省江南十校2024_2025学年高二数学下学期5月阶段联考试卷含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．直线l经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
2．在的展开式中，常数项为( )
A.B.40C.D.80
3．已知等比数列中，，，设数列的最大项为M，最小项为m，则( )
A.6B.8C.12D.24
4．已知随机变量，随机变量，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
5．已知双曲线两焦点为，，直线与双曲线C的交点在以为直径的圆上，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．在平行六面体中，，，，M为的中点，N为上靠近的三等分点，则线段的长度为( )
A.B.5C.D.
7．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，M为线段上的动点（含端点），当截面的周长最小时，平面与平面的夹角为( )
A.B.或C.D.或
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，数轴上的点A，B分别对应实数2，，质点从原点O出发，每次随机地向左或向右移动1个单位长度，移动了4次.以下结论正确的是( )
A.质点移动过程中每次离点O的距离都不超过1个单位长度的概率为
B.质点最终移动到点A的概率为
C.质点在经过点A的条件下，最终回到点O的概率为
D.质点在经过点B的条件下，最终回到点O的概率为
10．曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为( )
A.0B.C.1D.
11．已知t与p都是大于零的常数，经过点的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A.的面积有最大值
B.的面积有最小值
C.为锐角的充要条件是
D.若，取的中点M，则
三、填空题
12．在之间的正整数中，所有能被3整除的数的和为________；
13．在1，2，3，4这四个数中任取两个不同的数作为点的横、纵坐标，再在这些点中任取三个点作为三角形的顶点，可以得到不同的三角形的个数为________；
14．已知线段的长度为3，动点P满足，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，求n的最大值.
16．已知一道数学多项选择题有4个选项，其中有3个是正确选项，每选对1个得2分，全选对得满分6分，但是有选错的得0分.学生甲对这4个选项都无法判断是否正确，故其只能猜答案.他有3个方案：（1）猜1个选项；（2）猜2个选项；（3）猜3个选项.若甲猜每一个选项都是等可能的，请你根据得分期望的大小帮他确定哪一个方案最好.
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面、都与底面垂直.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求与底面所成角的大小.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）在曲线上，是否存在三个不同的点，，，使得，，成等比数列，且的图象在点B处的切线与直线平行？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.
求椭圆的切线方程有以下结论：
已知椭圆的左右焦点分别为，，为C上一点，则C在M点的切线l的方程为.
椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点M处，被切线l反射，反射光线一定经过点.
（1）证明椭圆的光学性质；
（2）如图，过的直线交椭圆C于A，B两点（非左右顶点）.
（i）求面积的最大值；
（ii）求证：椭圆C在A，B两点的切线的交点D在定直线上.
参考答案
1．答案：A
解析：因为直线的倾斜角为，
所以直线l的方程为，
即，选A.
2．答案：B
解析：该常数项为，选B.
3．答案：D
解析：由，解得，，
所以，，
，，，选D.
4．答案：C
解析：因为，
所以，
，
，
，
5．答案：C
解析：设C与直线的交点坐标为，
与联立得，，
以为直径的圆的方程为，所以，
即，，，选C.
6．答案：B
解析：设，，，则，
所以线段的长为5，选B.
7．答案：C
解析：展开侧面，后，连得：
当M为的中点时，截面的周长最小.
如图，延长，交于点D，平面
与平面的交线为，，
平面，所以平面，为截面与平面的夹角，选C.
8．答案：D
解析：，，，
设，则，
所以在上单调递增，
，，选D.
9．答案：ABD
解析：选项A：每次从点O离开，下次必须回到点O，概率为；
选项B：质点最终移动到点A的概率为；选项C，D：
由A，B两点关于点O对称可知两个选项的答案相同，
记质点经过点A或点B为事件M，质点最终回到点O为事件N，
求条件概率，选ABD.
10．答案：ABD
解析：，，切线方程为，即，
当时，，切线与曲线只有一个公共点；
当时，代入得，
由解得或，选ABD.
11．答案：BCD
解析：11.设，代入得，
设，，则，，
，
当时，的面积取最小值，当时，；
因为O、A、B三点不共线，所以为锐角，
当时，，
所以.选BCD.
12．答案：4950
解析：这些数是以102为首项，3为公差，198为末项的等差数列，
共有33项，它们的和为.
13．答案：206
解析：这样的点共有个，如图，
其中三点共线的有10组，四点共线的有1组.
所以可以得到不同的三角形共个.
14．答案：
解析：点P的轨迹是阿波尼斯圆.
如图，点C在上，点D在延长线上，且，，
点P的轨迹是以为直径的圆，半径为2.
当与圆相切时，最大，因为，，
所以的最大值为.
15．答案：（1）；
（2）98
解析：（1）设的公差为d，则，
解得或（舍去），
即的通项公式为；
（2），，
由，即，解得
n的最大值为98.
16．答案：选择方案（2）最好
解析：设方案（1），（2），（3）的得分分别为随机变量X，Y，Z，
（1）X的所有可能取值为0，2，
，，，
（2）Y的所有可能取值为0，4，
，，，
（3）Z的所有可能取值为0，6，
，，；
，
选择方案（2）最好.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：平面平面，平面平面
，平面
平面，同理，.
又，平面
平面；
（2）以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设，，得，，，
，，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
则，，取，，
，解得，
因为平面，所以与底面所成角为，
，得，
即与底面所成角为.
18．答案：（1）；
（2）不存在，理由见解析
解析：（1），
曲线在点处的切线斜率
该切线方程为；
（2）假设这样的点A，B，C存在，则，，
，，
，
不妨设，令，得.
设，则，
，，所以在上单调递增.
，即，在上单调递增，，
所以方程无解.
这样的点A，B，C不存在.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：（1）证明：当时，，，性质成立；
当时，，，，
因为点在椭圆C上，所以，，
设l与直线，的夹角分别为，，
则
同理，，.
该性质成立；
（2）（i）设，，，
l代入C得，
，，
令，则，.
当时，，
当且仅当，即时取等号，
得，的最大值为；
当时，在上单调递增，
时，取最大值，的最大值为.
当时，面积的最大值为；
当时，面积的最大值为.
（ii）证明：两条切线的方程分别为，，
消去y得：，
，
因为，所以.
点D在定直线上.