2025_2026学年辽宁省葫芦岛市第六初级中学上册九年级开学考数学试卷

这是一份2025_2026学年辽宁省葫芦岛市第六初级中学上册九年级开学考数学试卷，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
六中 2025-2026 学年度第一学期期初测试
九年级数学试卷
（本试卷共 23 小题试卷 满分 120 分 考试时间 90 分钟）
第一部分 选择题
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A ．2 ，4 ，5 B ．5 ，4 ，4 C ．32 , 42 , 52 D ．5 ，13 ，12
3 ．某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15 名学生，他们的决赛成绩如下表 所示：则这15 名学生决赛成绩的中位数和众数分别是( )
A ．95 ，97 B ．95 ，95 C ．95 ，86 D ．90 ，95
4 ．下列说法中错误的是( )
A ．对角线互相平分的四边形是菱形
B ．对角线相等的平行四边形是矩形
C ．菱形的对角线互相垂直
D ．对角线长为 a 的正方形的面积是 a2
5 ．若一次函数y = 3x + 4 的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是( )
A ．向左平移 4 个单位 B ．向右平移 4 个单位
C ．向下平移 4 个单位 D ．向上平移 4 个单位
6 ．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接 CE ．若上BAE = 53° ,则 Ð CEF 的度数为( )
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
A ．13° B ．14° C ．15° D ．16°
7 ．关于一次函数y = x + 1 ，下列说法正确的是( )
A ．图象经过第一、二、三象限 B ．图象与 x 轴交于点(0，1)
C ．函数值y 随自变量 x 的增大而减小 D ．当x > -1 时，y < 0
8 ．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° , AC = 12cm ，BC = 5cm ，以顶点 A 为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AC 、AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 的长为 半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边BC 于点 D，则CD 的值为( )
A ．1 B ．2.4 C ．3 D ．2.5
9 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点 O，过点 D 作DE 丄 BC 于点 E，连接 OE ，若 OA = 3 ，S菱形ABCD = 9 ，则OE 的长为( )
A ． ·、 B ．2 C ． D ．
10 ．如图，矩形ABCD 中，AB = 6 ，AD = 4 ，点 E ，F 分别是AB ，DC 上的动点， EF Ⅱ BC ，则 BF + DE 最小值是( )
A ．13 B ．10 C ．12 D ．5
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．计算 - 的结果是 ．
12 ．已知函数y = (m + 1)xm2 -3 是正比例函数，且y 随 x 的增大而减小，则 m = .
13 ．已知在 △ABC 中，AC = 6cm ，点 D、E 分别是 AC、BC 的中点，连接 DE，在 DE 上有 一点 F，EF = 1cm ，连接 AF，CF，若 AF 丄 CF ，则 AB = .
14 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(-3,3) ，点 B 是 x 轴负半轴上的动点，点 C 是y 轴负半轴上的动点，上BAC = 90° ,则 OB - OC = ．
15 ．如图，将正方形纸片ABCD 对折，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，
再一次折叠纸片，使点 A 的对应点 A¢ 落在正方形内部，并使折痕经过点 B，得到折痕BM ， 延长MA¢ 交CD 边于点 N，若 AB = 8cm ，FN = 1cm ，则 AM 的长为 cm ．
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分）
16 ．计算．
2
(2) ( +1) - + 1- - ．
17 ．已知 A，B 两地相距 120km，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出发匀速运动到 B 地，先 到 B 地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个 过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开 A 地的时间 x（h）之间的函数关系如图所示．
(1)乙比甲先出发______小时，甲开轿车的速度是______，第一次相遇的时间在乙出发______ 小时；
(2)求线段PQ 对应的函数表达式；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距 30km 时，求此时乙行驶的时间．
18．如图，在四边形ABCD 中，上BAC = 90° , E 是BC 的中点，ADⅡBC ，AE Ⅱ DC ，EF ^ CD 于点F ．
(1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若AB = 6 ，AC = 8 ，求 EF 的长．
19．某校七、八年级各有400 名学生，为了了解疫情期间线上教学学生的学习情况，复学后， 某校组织了一次数学测试，刘老师分别从七、八两个年级随机抽取各50 名同学的成绩(百分 制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
a. 七、八年级的频数分布直方图如下(数据分为5 组：
x < 60,60 ≤ x < 70,70 ≤ x < 80,80 ≤ x < 90, 90 ≤ x ≤ 100 )．
b.七年级学生成绩在80 ≤ x < 90 的一组是：
80 80 81 81 81 82 82 82 83
85 85 86 86 88 88 88 90 90
c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 m 的值为 ；
（2）在这次测试中，八年级80 分以上(含80 分)有 人；
（3）小江说：“这次考试没考好，只得了79 分，但年级排名仍属于前50%,”请判断小江所 在年级，并说明理由；
（4）若85 分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
20 ．在 △ABC 中，BC = a, AC = b, AB = c ，且 c ≥ b ≥ a ．
(1)当△ABC 是锐角三角形时，小明猜想：a2 + b2 > c2 ．以下是他的证明过程： 小明的证明过程
年级
平均数
中位数
七年级
80.3
m
八年级
78.2
76
如图。，过点 A 作AD 丄 CB ，垂足为 D ．设CD = x ．
其中，①是______ ；②是______．
(2)如图②,当△ABC 是钝角三角形时，猜想a2 + b2 与c2 之间的关系并证明．
21 ．在四边形ABCD 中，上A = 上C = 90° .
(1)如图 1，若 AB = 1 ，AD = ，CD = ，求四边形 ABCD 的面积；
(2)如图 2，若 BC = CD ，连接 AC ，AB = 3 ，AD = 5 ，直接写出 AC 的长度为______；
(3)如图3，在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的周长______．
∵在Rt△ADC 中，AD2 = b2 - x2 ， 在Rt△ADB 中，AD2 = ① ,
: b2 - x2 = ① .
化简得，a2 + b2 - c2 = 2ax ． Qa > 0, x > 0, : ② > 0 ．
: a2 + b2 - c2 > 0.
: a2 + b2 > c2 .
22 ．建立模型
如图 1，等腰 Rt△ABC 中，上ACB = 90°, CB = CA ，直线 ED 经过点 C，过点 A 作AD 丄 ED 于点 D，过点 B 作BE 丄 ED 于点 E，可证明得到 △BEC≌△CDA
模型应用
(1)如图 2，直线l1 : y = -2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，经过点 B 和第一象限点 C 的直线l2 ，且l1 丄 l2, BA = BC ，求点 C 的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线l2 的表达式；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点P(-3,1) ，连接OP ，在第二象限内是否存在一点 Q，使得△OPQ 是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标：若不存在，请说明 理由．
23 ．（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 N、M 分别在边BC 、CD 上，连接AM 、AN 、
MN ，上MAN = 45° , 将 △AMD 绕点 A 顺时针旋转90° , 点 D 与点 B 重合，得到 △ABE ，易 证： △ANM≌△ANE ，从而得到 DM 、BN 与MN 之间的数量关系______．
【实践探究】
（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E，F 在对角线BD 上，且上EAF = 45° ,请你猜想线段 BE ，EF ，FD 之间的数量关系，并证明．
【拓展】
（3）如图 3，正方形 ABCD 的边长为10 ，点 P 为边CD 上一点，PE 丄 BD 于 E，Q 为BP 中
点，连接CQ 并延长交BD 于点 F，且 请求出PD 的长．
1 ．D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断， 准确分析计算是解题的关键．根据最简二次 根式的定义逐个判断即可．
解 不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D.
2 ．D
【分析】算出每组数每个数的平方， 然后看看较小的两个平方和是否等于较大的平方，若相 等，则可组成直角三角形，若不等，则不能组成直角三角形．
【详解】解：Q22 + 42 = 4 +16 = 20，52 = 25，:22 + 42 ≠ 52 ，A 错误； Q42 + 42 = 16 +16 = 32，52 = 25，:42 + 42 ≠ 52 ，B 错误；
Q (32 )2 + (42 )2 = 81+ 256 = 337，(52 )2 = 625，:(32 )2 + (42 )2 ≠ (52 )2 ，C 错误； Q52 +122 = 25 +144 = 169，132 = 169，:52 +122 = 132 ，D 正确；
故选 D．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用，正确计算边长平方并判断两较小边长的平方和与 较大边长平方的大小关系是解题关键．
3 ．B
【分析】根据中位数和众数的定义判断即可． 【详解】解：由题意得共有15 人进入决赛， :中位数为第8 人的成绩，为95 分；
:数据95 出现了8 次，最多， :这组数据的众数为95 分．
故选：B ．
【点睛】此题考查了中位数和众数， 熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位 于最中间的一个数 或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是 解题的关键．
4 ．A
【分析】本题考查了正方形的性质， 平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的 判定，解题的关键是掌握特殊四边形的判定与性质，根据正方形的性质，平行四边形的判定 与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 错误，符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故 B 正确，不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，故 C 正确，不符合题意；
对角线长为 的正方形的面积是 ，故 D 正确，不符合题意；
故选：A．
5 ．C
【分析】本题考查了一次函数平移的问题，掌握一次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：要平移后经过原点，只需将函数 y = 3x + 4 的图象向下平移 4 个单位． 故选：C．
6 ．D
【分析】先证明 △ABE ≥△CBE ，得到＋ 上BCE = 53° ,可得到 上ECF = 90° - 53° = 37° ,再 根据平行线的性质得到上AFD = 53° , ,根据三角形外角和性质即可求解．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = CB ，AB∥CD ， ∵ BD 是角平分线，
: 上ABE = 上CBE = 45° , ∵ 上BAE = 53° ,
: 上AFD = 53° ,
在 △ABE 和△CBE 中，
:△ABE≌△CBE (SAS) ， : 上BAE = 上BCE = 53° ,
: 上ECF = 90° - 53° = 37° ,
∵ 上AFD = 上ECF + 上CEF ， : 上CEF = 53° - 37° = 16° , 故选：D ．
【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是 解题的关键．
7 ．A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式y = x + 1逐一判断选项，即可 解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可得k = 1 > 0, b = 1 > 0 ，
: 图象经过第一、二、三象限，故 A 正确；
函数值y 随自变量 x 的增大而增大，故 C 错误； 当y = 0 ，可得 0= x +1，解得 x = -1 ，
: 图象与 x 轴交于点(-1, 0) ，故 B 错误； Q 函数值y 随自变量 x 的增大而增大，
: 当x > -1 时，y > 0 ，故 D 错误， 故选：A．
8 ．B
【分析】作 DE TAB 于E ，根据勾股定理求出 AB ，证明 △ACD @△AED ，根据全等三角形 的性质得到AE = AC = 12 ，DE = DC ，根据勾股定理列式求出 DE ，根据三角形的面积公 式计算即可.
【详解】解：作 DE TAB 于E ，
∵ 上C = 90° , AC = 12 ，BC = 5 ，
∵ DE TAB ，上C = 90° : 上ACD = 上AED
由基本作图可知，AD 是7CAB 的平分线， 则上CAD = 上EAD
在 △ACD 和△AED 中，
: △ACD @△AED （ AAS ），
: AE = AC = 12 ，DE = DC ，
: BE = AB - AE = 1 ，BD = 5 - CD = 5 - DE ，
在Rt△DEB 中，DE2 + BE2 = BD2 ，即 DE2 +12 = (5 - DE)2 ， 解得，
故选：B.
【点睛】本题考查的是勾股定理， 角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，基本尺规作 图，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么 a2 + b2 = c2 .
9 ．C
【分析】本题考查了菱形的性质， 直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三 角形斜边上的中线性质求得 ，由菱形的性质得出 OA = OC = 3 ，OB = OD ，
AC 丄 BD ，则 AC = 6 ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 再由菱形的面积 求出BD = 3 ，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， : OA = OC = 3 ，OB = OD ，AC 丄 BD ，
: AC = 6 ，
∵ DE 丄 BC ， : 上DEC = 90° ,
∵菱形的面积 : BD = 3 ，
故选：C．
10 ．B
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，延长 AD ，取点 M ，使得 AD = DM ，连接MF ，根据全等三角形的判定得到 △ADE≌△DMF ， 得到DE = MF ，故当 B ，F ，M 三点共线时，BF + DE 的值最小，即为BM 的值．
【详解】延长 AD ，取点 M ，使得 AD = DM ，连接MF ，如图
∵ EF Ⅱ BC ，四边形 ABCD 是矩形
:四边形AEFD 和四边形EBCF 是矩形
∵ AD = DM ，AE = DF ， ∠EAD = ∠FDM = 90° : △ADE≌△DMF
: DE = MF
: BF + DE=BF + FM
∵点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点
故当B ，F ，M 三点共线时，BF + DE 的值最小，且BF + DE 的值等于BM 的值 在Rt△BAM 中
故选：B．
11 ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 解：原式
故答案为： 、/3 ．
【点睛】此题考查了二次根式的加减运算， 属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的 化简及同类二次根式的合并．
12 ．-2
【分析】根据正比例函数定义可得 m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得 m+1＜0，再解即 可．
【详解】解：由题意得：m2-3=1，且 m+1＜0，
解得：m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k 是常数，k≠0） 的函数叫做正比例函数，当 k＞0 时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大而减小．
13 ．8cm
【分析】根据直角三角形斜边上的中线即可求得 ，根据三角形中位线的性质即可 求得AB 的长．
【详解】解：Q AF 丄 CF ，点 D 是 AC 的中点，
Q AC = 6cm
:DF = 3cm
∵点 D 、E 分别是 AC、BC 的中点，
Q EF = 1cm
:DE = EF + FD = 4cm
: AB = 2DE = 8cm
故答案为：8cm
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握 以上知识点是解题的关键．
14 ．6
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等 三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作AE 丄 x 轴于点E ，AF 丄 y 轴于点F ，连接 BC ，证明 △ABE≌△ACF (ASA) ，得到 BE = CF ，拆分线段即可求解．
【详解】解：作 AE 丄 x 轴于点E ，AF 丄 y 轴于点F ，连接 BC，如图，
∵ A (-3, 3)，
: AE = AF = 3 ，上FAE = 90° , :四边形AEOF 为正方形，
: OE = OF = 3 ，
又∵ 上BAC = 90° ,
: 上BAE + 上EAC = 上FAC + 上EAC = 90° , 即上BAE = 上FAC ，
在 △ABE 和 △ACF 中，
: △ABE≌△ACF (ASA) ， : BE = CF ，
∵ BE = OB - OE ，CF = OC + OF ， : OB - OE = OC + OF ，
: OB - OC = OF + OE = 3 + 3 = 6 ．
故答案为：6．
15 ． 或
【分析】如图，当N 在F 的上方时，由正方形与折叠可得： AB = BC = CD = AD = A¢B = 8 ， 上A = 上BA¢M = 上C = 上D = 90° , CF = DF = 4 ，AM = A¢M ，证明 △BCN≌△BA¢N ，
A¢N = CN = 5 ，设AM = A¢M = x ，当N 在F 的下方时，如图，再进一步结合勾股定理可得 答案．
【详解】解：如图，当 N 在F 的上方时，
由正方形与折叠可得：AB = BC = CD = AD = A¢B = 8 ，上A = 上BA¢M = 上C = 上D = 90° ,
CF = DF = 4 ，AM = A¢M ， ∵ FN = 1 ，
: CN = 4 +1 = 5 ，DN = 3，
: 上BA¢N = 上C = 90° , ∵ BN = BN ，
: △BCN≌△BA¢N ， : A¢N = CN = 5 ，
设AM = A¢M = x ， : DM = 8 - x ，
: (5 + x )2 = (8 - x )2 + 32 ，
解得： 即 ， 当N 在F 的下方时，如图，
同理可得：(3 + x )2 = (8 - x )2 + 52 ，
解得： 即 ，
综上：AM 为 或 cm ．
故答案为 或
【点睛】本题考查的是正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的 分类讨论是解本题的关键．
16 ．(1) 3 + 4
(2) -3
【分析】（1）先算乘法和除法，再算加减法．
（2）先算完全平方和绝对值，再进行二次根式的加法和减法．
本题主要考查了实数的运算、平方差公式、完全平方公式、绝对值的计算及二次根式的化 简．熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．注意结果要化成最简二次根式．
【详解】（1）原式 = (6 - 4) ÷ 2 - éêL( )2 - 32
= 3 - 2 - (3 - 9)
= 3 - 2 + 6
= 3 + 4 ．
原式
= 3 + 2 - 3 + -1- 5
= -3 ．
17 ．(1)1 ；60；1.8
(2)线段PQ 对应的函数表达式为
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距 30km 时，乙行驶的时间为小时．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定 系数法求函数解析式．
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意，当甲、乙两人只有一人在行驶时，实际上就是乙一个人在行驶，故分甲没 有出发时和甲到达B 地时两种情况，列方程求出x 的值．
【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲先出发 1 小时； 由图象知，甲 2 小时到达B 地，
: 甲开轿车的速度为 由图象知，乙的速度为 千米/ 小时，
设第一次相遇的时间在乙出发x 小时， 根据题意得
解得x = 1.8 ，
:第一次相遇的时间在乙出发 1.8 小时． 故答案为：1 ；60；1.8；
（2）解：根据题意
:Q(4.5, 0) ，
设线段PQ 对应的函数表达式为y = kx + b ， 把P ，Q 坐标代入解析式得 解得
:线段PQ 对应的函数表达式为
（3）解：①甲没有出发时， 根据题意得
解得 不合题意；
@甲到达B 地时，
根据题意得 解得
综上所述，当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距 30km 时，乙行驶的时间为小时．
18 ．(1)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定：
（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：Q AD Ⅱ BC ，AE Ⅱ DC ，
: 四边形AECD 是平行四边形，
Q 上BAC = 90° , E 是BC 的中点，
: 四边形AECD 是菱形；
（2）解：过 A 作AH丄 BC 于点H ，如图所示，
Q上BAC = 90° , AB = 6 ，AC = 8 ，
Q△ABC 的面积
Q 点E 是BC 的中点，四边形AECD 是菱形， : CD = CE ，
QSYAECD = CE . AH = CD . EF ，
19 ．（1）80 ；（2）20 ；（3）小江属于八年级学生，理由见解析；（4）七年级达到“优秀”的 人数为136 人．
【分析】（1）根据条形统计图分析可知，中位数位于 80 ≤ x < 90 这组内，根据80 ≤ x < 90 的具 体数据分析即可；
（2）根据条形统计图计算即可；
（3）根据七，年级的中位数进行判断即可；
（4）根据条形统计图计算比例，再乘以七年级总人数即可．
【详解】（1）由条形统计图分析可知，七年级的中位数应为第 25,26 个数，两数位于80 ≤ x < 90 内，分别为 80 ，80，故中位数为 80；
故答案为：80．
（2）根据条形统计图可知，八年级80 分以上(含80 分)有17 + 3 = 20 （人）；
故答案为：20．
（3）由表可知七年级的中位数为 80，八年级的中位数为 76，故小江属于八年级学生，因为 小江的成绩大于八年级的中位数，而小于七年级的中位数；
（4）由题可知 即七年级达到“优秀”的人数为136 人．
【点睛】本题考查了条形统计图与表格统计图，快速提取相关信息是解题的关键．
20 ．(1)c2 - (a - x)2 ，2ax
(2) a2 + b2 < c2 ；证明见详解
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）在Rt△ADB 中根据勾股定理即可表示出AD2 ，从而得出b2 - x2 = c2 - (a - x)2 ，然后进行 判断即可；
（2）过点 A 作AD 丄 BC 的延长线，垂足为D ，设CD= x ，在 Rt△ADC 和Rt△ADB 中分别 根据勾股定理表示出AD2 ，然后仿照（1）中的方法判断即可．
【详解】（1）解：如图①,过点 A 作AD 丄 CB ，垂足为 D ，设CD = x ， Q在Rt△ADC 中，AD2 = b2 - x2 ，
在Rt△ADB 中，AD2 = c2 - (a - x)2 ，
:b2 - x2 = c2 - (a - x)2 ，
化简得，a2 + b2 - c2 = 2ax ， Qa > 0 ，x > 0 ，
:2ax > 0 ，
: a2 + b2 - c2 > 0 ，
: a2 + b2 > c2 ．
其中，①是c2 - (a - x)2 ；@是2ax ；
故答案为：c2 - (a - x)2 ，2ax ；
（2）a2 + b2 < c2 ； 证明：如图，
过点A 作AD 丄 BC 的延长线，垂足为D ，设CD = x ， Q在Rt△ADC 中，AD2 = b2 - x2 ，
在Rt△ADB 中，AD2 = c2 - (a + x)2 ，
:b2 - x2 = c2 - (a + x)2 ，
化简得，a2 + b2 - c2 = -2ax ， Qa > 0 ，x > 0 ，
:-2ax < 0 ，
: a2 + b2 - c2 < 0 ，
: a2 + b2 < c2 ．
21 ． ，
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形与正方形的判定和性质等， 针对等腰直角三角形 构造全等三角形是解题的关键．
（1）由勾股定理依次求得 BD、BC 的长，然后再计算两个直角三角形的面积并相加．
（2） 自点 C 分别引 AD、AB 的垂线，构造△BCE≌△DCF ，可证四边形 AECF 为正方形， 得AE = AF ，即AB + BE = AD - DF ，求得BE ，于是在直角△ACE 中利用勾股定理可求得AC 的长．
（3）利用勾股定理先求得DB 的长，再在等腰直角三角形BCD 中求得CD、CB 的长，最后 可求得四边形ABCD 的周长．
【详解】（1）解：解：∵ 上A = 上C = 90° , AB = 1，AD = CD = ，
: S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = × AB× AD + ×BC×CD = +1，
即四边形ABCD 的面积为 +1 ．
2
（2）过点C 作CD 丄 AD 于F ，过点C 作CE 丄 AB ，交 AB 的延长线于E ，
则上CFA = 上FAE = 上AEC = 90° , :四边形AECF 是矩形，
°
:上FCE = 90 ，
Q 上DCB = 90° ,则 上BCE = 上DCF ， 又上BEC = 上DFC = 90°, BC = CD ，
: △BCE≌△DCF (AAS)，则 CE = CF ， :四边形AECF 为正方形，
:DF = BE，AB = 3，AD = 5 ，
: AE = AF ，即 AB + BE = AD - DF ，
:3 + BE = 5 - BE
:BE = 1 ，
: AE = 4 ，即
故答案为：4 ；
（3）Q AD = 5，AB = 3，上A = 90° ,
:根据勾股定理得DB = = ·、 ， Q△BDC 为等腰直角三角形，
: CD = CB ， 设CD 为x ，
根据勾股定理得：2x2 = 34 ，
解得 ，
即四边形ABCD 的周长为
故答案为 ．
22 ．(1)C 的坐标为(4, 6)
(3)Q(-2, 4) 或Q(-1, 2)
【分析】（1）过 C 作CF 丄 y 轴于点 D，先根据题意求出 A 、B 两点坐标，再根据模型得到
△CFB≌△BOA 进而求解；
（2）设直线l2 的关系式为：y = kx + b(k ≠0) ，根据待定系数法即可求解；
（3）设Q(q, p )(q < 0) ，分类讨论，当上QPO = 90° , PQ = OP 时，过点 P 作PK 丄 x 轴，延
长KP ，过点 P 作QG 丄 KP ，过点 Q 作QJ丄 y 轴，通过作辅助线得到三角形全等，当
上PQO = 90° , PQ = OQ 时，同理可解．
【详解】（1）解：过 C 作CF 丄 y 轴于点 D，如图，
∵ 直线l1 : y = -2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，
:当x = 0 时，y = 4 ，当 y = 0 时，x = 2 ， :A 的坐标为(2, 0) ，B 的坐标为(0, 4) ，
: OA = 2,OB = 4 ，
∵由题意可知： △CFB≌△BOA ， : FB = OA = 2, CF = BO = 4 ，
: OF = 6 ，
:C 的坐标为(4, 6) ；
（2）解：设直线l2 的关系式为：y = kx + b(k ≠ 0)
∵直线l2 过点C(4, 6) ，B(0, 4) ，
解得：
:直线l2 的关系式为
（3）解：设Q(q, p )(q < 0)，
当上QPO = 90° , PQ = OP 时，过点 P 作PK 丄 x 轴，延长KP ，过点 P 作QG 丄 KP ，过点 Q 作QJ丄 y 轴，如图，
由题意可知： △QGP ≥△PKO ， ∵ P(-3,1) ，
:QG = PK = 1 ，GP = OK = 3 ， : GK = 3 +1 = 4 = OJ ，
: Q (q, 4) ，
: Q(-2, 4) ；
当上PQO = 90° , PQ = OQ 时，过点 Q 作QH丄 y 轴，延长HQ ，过点 P 作PI 丄 HQ ，如图，
由题意可知： △QHO ≥△PIQ ，P(-3,1) ， : PI = QH = -q ，OH = IQ = 3 - (-q ) ，
:-q +1 = p① , -q + p = 3② , 联立。②得： p = 2, q = -1， : Q(-1, 2) ；
当上POQ = 90° , PO = OQ 时，不符合题意；
【点睛】本题考查一次函数问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，做题时要 灵活通过作辅助线来构造全等三角形．
23 ．（1）DM + BN = MN ; （2）EF2 = BE2 + DF2 ；（3）
【分析】本题考查旋转的性质， 全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角 形的判定是解题的关键，
（1）将 △AMD 绕点 A 顺时针旋转90° ,得到 △ABE ，从而 △ANM≌△ANE ，只要证明
△EAN≌△MAN (SAS) ，即可得到答案；
（2）将△ADF 绕点A 顺时针旋转90° 得到 △ABQ ，连接QE ，只要证明 △EAQ≌△EAF 即可 解决问题；
（3）连接QE, CE ，将 △DCE 绕点C 逆时针旋转90° 得到 △BCG ，连接FG ，则
上ECG = 90° , EC = CG ，上CBG = 上BDC = 45° ,设 BF = 3x ，EF = 5x ，则 BG = DE = 4x ，再由勾股定理构建方程即可得到答案．
【详解】解：（1）将 △AMD 绕点 A 顺时针旋转90° ,点 D 与点 B 重合，得到 △ABE ， : △ANM≌△ANE ，
: AE = AM , BE = DM ，
: 上MAE = 90° , 上MAN = 45° ,
: 上EAB + 上BAN = 上DAM + 上BAN = 45° ,
: 上MAN = 上EAN = 45° , : △EAN≌△MAN (SAS) ，
: MN = EN ，
: EN = BE + BN ， : DM + BN = MN ．
（2）如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90° 得到 △ABQ ，连接QE ，
:四边形ABCD 是正方形，
: 上BAD = 90° , 上ADB = 上ABD = 45° , : 上EAF = 45° ,
:上DAF + 上BAE = 上BAQ + 上BAE = 45° , :上EAQ = 上EAF = 45° ,
: AE = AE, AQ = AF ， : △EAQ≌△EAF (SAS)， : EQ = EF ，
: 上ADF = 上ABQ = 45° , : 上QBE = 90° ,
: EQ2 = BQ2 + BE2 ， :BQ = DF, QE = EF ， : EF2 = BE2 + DF2 ．
（3）连接QE, CE ，
∵四边形ABCD 是正方形， :上BCP = 90°, 上DBC = 45° , ∵ PE 丄 BD ，
: 上PEB = 上PCB = 90° , ∵Q 为BP 的中点，
:QE = QB = QP = QC ，
:上PQE = 2上DBP, 上PQC = 2上CBP ，
:上CQE = 上PQE + 上PQC = 2 (上DBP + 上CBP) = 90° , :QE 丄 QC ，
将 △DCE 绕点C 逆时针旋转90° 得到 △BCG ，连接FG ， 则上ECG = 90° , EC = CG ，上CBG = 上BDC = 45° ,
∵△CQE 为等腰直角三角形，
: 上ECF = 45° ,
: 上DCE + 上BCF = 45° , ∵ 上BCF + 上BCG = 45° , : 上FCG = 上ECF ，
∵ CF = CF ，
: △ECF≌△GCF (SAS) ，
: EF = FG ，
∵ 上FBG = 上FBC + 上CBG = 90° , : BF2 + BG2 = FG2 ，
∵ △DCE≌△BCG ，
: DE = BG ，
∵正方形ABCD 的边长为10 ，
设BF = 3x ，EF = 5x ，则 BG = DE = 4x ，
解得： ，