2025_2026学年黑龙江省鹤岗市绥滨县九年级上册开学数学试题

这是一份2025_2026学年黑龙江省鹤岗市绥滨县九年级上册开学数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中九年级数学试题考生注意：
1 ．考试时间 120 分钟
2 ．全卷共三道大题，总分 120 分
一、选择题（每题 3 分，满分 36 分）
1 ．下列运算正确的是( )
A ． B ．
C ． D ． × =
2 ．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点 O ，OE Ⅱ AB 交BC 于点 E, AD = 6cm ，则 OE 的长为( )
A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
3 ．数据”1,2,1,3,1”的众数是( )
A ．1 B ．1.5 C ．1.6 D ．3
4 ．一次函数y = -2x + 4 的图象不经过的象限是( )
...
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5 ．某班学生数学成绩的平均分为 80 分，方差为 100，若将每位学生的成绩都加
10 分，则新成绩的( )
A ．平均分变为 90，方差不变 B ．平均分不变，方差加 10
C ．平均分和方差都加 10 D ．平均分和方差都不变
6 ．如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE 、DE ，若 AD = DE = 2, Ð BAE = 15° ,则 CE 的长为( )
A ．6 B ． C ．10 D ．2
7 ．数据按从小到大排列为 1 ，2 ，4 ，x ，6 ，9，这组数据的中位数为 5，那么这 组数据的众数是( )
A ．4 B ．5 C ．5.5 D ．6
8 ．若分式 的值为 0，则x 的值为( )
A ．2 B ．-2 C ． ±2 D ．0
9 ．如图，在等腰直角三角形ABC 中，上ABC = 90° , AC = 10 ，点E 为AC 中点，则 BE 的长为( )
A ．5 B ． C ．10 D ．
10 ．某校运动会中，八年级各班得分情况如下：一班 80 分，二班 85 分，三班
90 分，四班 75 分，则这组数据的极差为( )
A ．15 B ．20 C ．25 D ．30
11 ．下列命题中，错误的是( )
A ．平行四边形的对角线互相平分
B ．菱形的对角线互相垂直
C ．矩形的对角线相等
D ．对角线相等的四边形是矩形
12 ．在平面直角坐标系中，点A (2,3), B (4,1)，以原点 O 为中心，将△AOB 缩小为 原来的 ，缩小后图形与 △AOB 在点 O 同侧，则点B 的对应点B¢ 的坐标为( )
A ． B ．(8, 2) C ．(2,1) D ．
二、填空题（每题 3 分，满分 18 分）
13 ．计算 ．
14 ．若一组数据的平均数为x ，则数据总和为30x ，则这组数据的个数为 ．
15 ．如图，正方形ABCD 的边长为 4 ，E 为AB 中点，则CE 的长为 ．
16 ．一次函数(y = kx + b) 的图像经过点(1, 2) 和(3, 4)，则 k = ，b = ．
17 ．如图，在 △ABC 中，D ，E 分别是边AB，AC 的中点，若BC = 8 ，则 DE 的长 为 ．
18 ．已知x = 5 + 2 ，则 x2 - 4x + 5 的值为 ．
三、解答题（满分 66 分）
19 ．计算： + -
20 ．如图，平行四边形ABCD 中已知E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且 AB ^ AC ．求证：四边形AECF 是菱形．
21 ．某班学生参加知识竞赛，成绩如下（单位：分）：85 ，90 ，78 ，92 ，88 ，75， 80 ，95 ，82 ，70．
(1)求这组数据的平均数和中位数；
(2)若成绩高于 85 分为优秀，求优秀率．
22 ．已知 当x 为何值时，y 的值为正数？
23 ．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O ，AE 平分 ÐBAC 交BC 于 E ，若 AB = 6, BC = 8 ，求 OE 的长．
24 ．某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树 80 棵，5 天完成，后因天气 原因需提前 1 天完成，问每天需多植树多少棵？
25 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = -4x + 4 的图像与x 轴、y 轴分别交 于点A 、B ．
(1)求点A 、B 的坐标；
(2)若点C 在x 轴上，且S△ABC = 6 ，求点 C 的坐标．
26．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上任一点，BG 丄 CE ，垂足为点 O，交AC 于点F ，交 AD 于点G ．
(1)证明：BE = AG ；
(2)当点E 是AB 边中点时，试比较 Ð AEF 和上CEB 的大小，并说明理由．
1 ．C
【分析】本题考查了算术平方根、二次根式的加法与乘法，熟练掌握运算法则是解题关 键．根据算术平方根、二次根式的加法与乘法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A 、 = 2 ，则此项错误，不符合题意；
B 、 与 2 不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C 、 = 3 ，则此项正确，符合题意；
D 、 则此项错误，不符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角 形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据菱形的性质可得AC 丄 BD, BC = AB = AD = 6, 上ABO = 上CBO ，再等边对等角可得
上BAC = 上BCA ，根据平行线的性质可得 上BAC = 上EOC ，上ABO = 上EOB ，即
上BCA = 上EOC 、上EBO = 上EOB ，易得BE = OE, OE = EC ，即 E 是BC 的中点，最后根据 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OE 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
:BC = AB = AD = 6, AC 丄 BD, 上ABO = 上CBO ， : 上BAC = 上BCA ，
∵ OE Ⅱ AB ，
: 上BAC = 上EOC ，上ABO = 上EOB ， : 上BCA = 上EOC 、上CBO = 上EOB ， :BE = OE, OE = EC ，
: BE = EC ，即 E 是BC 的中点， ∵ AC ^ BD ，
故选：D．
3 ．A
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【详解】在这一组数据中 1 是出现次数最多的，故众数是 1． 故选 A．
【点睛】本题为统计题， 考查众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众 数可以不止一个．
4 ．C
【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该 函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：”一次函数y = -2x + 4 ，k = -2 < 0 ，b = 4 > 0， :该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
5 ．A
【分析】本题考查了算术平均数， 方差与稳定性．熟练掌握算术平均数，方差与稳定性是解 题的关键．
由题意知，每位学生的成绩都加 10 分，则平均分比原来大 10，由数据的波动情况不变，可 知方差不变．
【详解】解：由题意知，每位学生的成绩都加 10 分，则平均分比原来大 10，为 90， ”数据的波动情况不变，
:方差不变， 故选：A．
6 ．B
【分析】此题考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据矩形得到
匕BAD = 匕C = 匕B = 匕ADC = 90O,AD Ⅱ BC，推出上CED = 上ADE ，求出匕DEA = 匕DAE = 75° , 得到匕ADE = 180O—2 × 75° = 30°,根据直角三角形的性质求出 再利用勾 股定理求出CE 的长．
【详解】”四边形ABCD 是矩形，
:匕BAD = 匕C = 匕B = 匕ADC = 90O,AD Ⅱ BC : 上CED = 上ADE ，
”上BAE = 15° ,
:匕DAE = 90O—15O = 75° ,
“AD = DE = 2 ，
:匕DEA = 匕DAE = 75° ,
:匕ADE = 180。—2 × 75° = 30° , : 上CED = 30° ,
:CE = = = 故选 B．
7 ．D
【详解】试题分析：因为数据的中位数是 5，所以（4+x）÷2=5，得 x=6，则这组数据的众 数为 6 ．故选 D．
考点：1.众数；2.中位数．
8 ．B
【分析】本题考查分式为零的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式 为零的条件是A = 0 且B ≠ 0 是解答的关键．
根据分式为零的条件得到 = 0且x - 2 ≠ 0 ，然后解方程即可．
解：“分式 的值为 0，
解得x = ±2 且x ≠ 2 ， : x = -2 ，
故选：B．
9 ．A
【分析】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质， 直接利用性质求解即可，熟练掌握是解 题关键
【详解】解：“等腰直角三角形ABC 中，上ABC = 90° , AC = 10 ，点 E 为AC 中点，
故选：A
10 ．A
【分析】本题主要考查了极差的定义， 掌握极差的定义，即一组数据中的最大数据与最小数
据的差，成为解题的关键．
根据极差的定义求解即可．
【详解】解：四个班级中最高分为 90 分，最低分为 75 分， 则极差为：90 - 75 = 15 ．
故选：A．
11 ．D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关性质及定义，难度较小． 利用平行四边形、矩形及菱形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形故原命题错误，符合题意． 故选：D．
12 ．A
【分析】本题考查的是位似变换的性质， 平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似 中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k ．本题中缩放前后图形在 位似中心的同侧，因此对应点的坐标的比等于 k，由此可解．
【详解】解：Q 以原点 O 为中心，将△AOB 缩小为原来的 ，缩小后图形与 △AOB 在点 O 同侧，
: 点B(4,1) 的对应点B¢ 的坐标为 即 ， 故选 A．
13 ．a + b ## b + a
【分析】本题考查了分式的约分，平方差公式，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 利用平方差公式和分式的基本性质计算即可得到答案．
解 故答案为：a + b ．
14 ．30
【分析】本题考查了平均数的概念，熟练掌握数据总和和平均数的关系是解题的关键． 根据数据总和和平均数的关系计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，30x ÷ x = 30 ，
:这组数据的个数为30 ， 故答案为：30 ．
15 ．2
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质得到AB = BC = 4 , ÐB = 90° , 由E 为AB 中点得到 再利用勾 股定理计算即可得到答案．
【详解】解：Q 正方形ABCD ,
: AB = BC = 4 ，ÐB = 90° , Q E 为AB 中点，
在Rt△BCE 中，CE2 = BE2 + BC2 ,
:CE2 = 22 + 42 , : CE = 2 ，
故答案为：2 ．
16 ． 1 1
【分析】本题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式的方法，熟练掌握求解方法是解 题关键．
将(1, 2) 和(3, 4) 代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式即可． 【详解】解：∵一次函数y = kx + b 的图象经过点(1, 2) 和(3, 4)，
解得 故答案为：1 ，1．
17 ．4
【分析】本题考查了三角形的中位线，解题的关键是得出 DE 是中位线，再结合BC 的长度 进行求解．
【详解】解：在 △ABC 中，D ，E 分别是边AB，AC 的中点，
Q BC = 8 ，
故答案为：4．
18 ．6
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点， 掌握二次根式的混合 运算法则成为解题的关键．
将x = 5 + 2 代入x2 - 4x + 5 运用二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：将 x = 5 + 2 代入x2 - 4x + 5 得：
2
( + 2) —4 × ( + 2) + 5
= 5 + 4 + 4 - 4 - 8 + 5
= 6 ．
故答案为：6．
19 ．4
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算法则等知识点， 灵活运用二 次根式的性质化简二次根式成为解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： + -
= 2 + 3 -
= 4 ．
20 ．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得
AF∥CE，AF = CE ，可得四边形AECF 为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质 得出AE = EC ，即可得到四边形 AECF 是菱形，熟知相关性质是解题的关键．
【详解】证明：Q 四边形ABCD 为平行四边形，
: AD∥BC，AD = BC ，
QE 、F 分别是BC 、AD 的中点， : AF∥CE，AF = CE ，
: 四边形AECF 为平行四边形， Q AB 丄 AC ，
:上BAC = 90
∵ E 为BC 的中点， :BE = AE = EC ，
: 四边形AECF 是菱形．
21 ．(1)平均数：83.5 ，中位数:83.5 ;
(2) 40%
【分析】此题考查了平均数、中位数，优秀率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据中位数的定义，平均数的计算公式解答即可；
（2）先得到高于85 分的人数，然后运用85 分以上的人数除以参赛人数乘以100% 即可． 【详解】（1）解：平均数
将竞赛成绩按从小到大顺序排列为70, 75, 78,80,82,85,88, 90,92,95 ， 排在中间两数为82 和85 ，
则中位数为
（2）解：竞赛成绩高于85 分的有90 ，92 ，88 ，95 ，共 4 人， 优秀率为4 ÷10 × 100% = 40% ．
22 ．x > 3 或
【分析】本题主要考查了分式的性质、解不等式组等知识点， 掌握分类讨论思想成为解题的 关键．
由分式的性质：分式的值大于 0，则分子分母同号，据此可得到两个不等式组求解即可．
解：要使 的值为正数，即y > 0 ，则 ．根据分式的性质，分式的 值大于 0，则分子分母同号，可得到两个不等式组：
不等式组一
解2x +1 > 0 ，得2x > -1，x > - ；
解 x - 3 > 0 ，得 x > 3 ．
取两者的交集，此不等式组的解集为x > 3 ．
不等式组二：—+31 00 ，
解2x +1 < 0 ，得2x < -1，x < - ；
解 x - 3 < 0 ，得 x < 3 ．
取两者的交集，此不等式组的解集为x < - ．
综上，当x > 3 或 的值为正数．
23 ． /10
【分析】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等， 添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
作EH 丄 AC 于点 H，由角平分线的性质得出EB = EH ，进而证明Rt△ABE ≌Rt△AHE (HL) ， 推出AB = AH = 6 ，CH = AC - AH = 4 ，OH = OC - CH = 1 ，设EB = EH = x ，用勾股定理 解Rt△CHE 和Rt△OHE 即可．
【详解】解：Q矩形ABCD 中，AB = 6, BC = 8 ，
: AC = BD = = 10 ， 如图，作EH 丄 AC 于点 H，
Q AE 平分 ÐBAC ，EB 丄 AB ，EH 丄 AC ， : EB = EH ，
在Rt△ABE 和Rt△ AHE 中，
= EH
= AE
í
lAE
ìEB
,
: Rt△ABE ≌Rt△AHE (HL) ，
: AB = AH = 6 ，
: CH = AC - AH = 10 - 6 = 4 ，
: OH = OC - CH = 5 - 4 = 1 ，
设EB = EH = x ，则 CE = BC - BE = 8 - x ， 在Rt△CHE 中，EH2 + CH2 = CE2 ，
即x2 + 42 = (8 - x )2 ，
解得x =3 ，即 EH = 3 ，
在Rt△OHE 中，EH = 3 ，OH = 1，
24 ．每天需多植树 20 棵
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设实际每天种植x 棵树，则得到方程80× 5 = (5 -1)x ，求出实际每天种植 100 棵，再减去原 计划每天植树 80 棵，即可求解．
【详解】解：设实际每天种植x 棵树，
由题意得80× 5 = (5 -1)x ， 解得x = 100 ，
则实际每天种植 100 棵， :100 - 80 = 20 （棵）
答：每天需多植树20 棵．
25 ．(1)A(1, 0) , B (0, 4)
(2)点C 的坐标为(4, 0) 或(-2, 0)
【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质 是解题关键．
（1）根据在 x 轴上点的纵坐标为 0，在 y 轴上点的横坐标为 0 求解即可；
（2）设点C 的坐标为(x, 0) ，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在x 轴上的点，其纵坐标y = 0 ．
把y = 0 代入y = -4x + 4 ，可得 0 = -4x + 4 ，
解得x = 1 ， 所以A(1, 0)．
在y 轴上的点，其横坐标x = 0 ．
把x = 0 代入y = -4x + 4 ，可得 y = -4× 0 + 4 = 4 ， 所以B(0, 4) ．
所以A(1, 0)，B (0, 4) ；
（2）设点C 的坐标为(x, 0)， ∵ A(1, 0)，B (0, 4) ，
: OA = 1 ，OB = 4 ，AC = x -1 ．
解得x = 4 或x = -2 ，
:点C 的坐标为(4, 0) 或(-2, 0) ．
26 ．(1)见解析
(2) 上AEF = 上CEB ，见解析
【分析】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理．
（1）利用正方形的性质以及余角的性质证明上1 = 上2 ，然后利用ASA 证明△GAB≌△EBC ， 即可得证；
（2）由（1）中的全等三角形我们可得出上AGF = 上CEB ，因此上AEF = 上AGF ，△GFA 和
△AEF 中，有一条公共边，上DAC = 上CAB = 45° , 因此两三角形全等，那么AG = AE ，由
（1）知 AG = BE ，因此 AE = BE ，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， : 上ABC = 上BAD = 90° ,
: Ð 1+ 上3 = 90° , ∵ BG 丄 CE ，
: 上BOC = 90° , :∠2 + ∠3 = 90° ,
: 上1= 上2 ，
在△GAB 和 △EBC 中，
: △GAB≌△EBC (ASA ) : AG = BE ；
（2）解：:点 E 位于线段AB 中点， : AE = BE ，
由（1）可知，AG = BE ， : AG = AE ，
:四边形ABCD 是正方形， : 上GAF = 上EAF = 45° , 又: AF = AF ，
: △GAF≌△EAF (SAS)，
: 上AGF = 上AEF ，
由（1）知， △GAB ≌△EBC ， : 上AGF = 上CEB ，
: 上AEF = 上CEB ．