2025_2026学年黑龙江省佳木斯市富锦市九年级上册开学数学试题

这是一份2025_2026学年黑龙江省佳木斯市富锦市九年级上册开学数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
富锦市 2025－2026 学年度上学期开学摸底考试九年级数学
试卷
考试时间：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 ．若二次根式 ·、有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x > 2 B ．x ≥ 2 C ．x < 2 D ．x ≤ 2
2 ．下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A ．4 ，5 ，6 B ．1 ，1 ，
C ．6 ，8 ，11 D ．5 ，12 ，23
3 ．一次函数y = -2x + 3 的图象经过( )
A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
4 ．平行四边形ABCD 中，若上A = 120° ,则 ÐB 的度数为( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
5 ．已知一组数据：1 ，3 ，5 ，5 ，6，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A ．3 ，5 B ．5 ，5 C ．5 ，6 D ． 1 ，5
6 ．下列计算正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
7 ．菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A ．两组对边分别平行 B ．两组对角分别相等
C ．对角线互相平分 D ．对角线互相垂直
8 ．已知点A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 在一次函数y = 3x -1 的图象上，且x1 < x2 ，则y1 与y2 的大小关 系是( )
A ．y1 > y2 B ．y1 = y2 C ．y1 < y2 D ．无法确定
9 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝3 ，BC ＝4 ，P 为 AD 上一点，PE⊥AC 于 E ，PF⊥BD 于 F，则 PE＋PF 的值为( )
A ．
C ．2
5
D ．
2
10 ．甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s（米）与赛跑时间 t（秒）的关系如图所示，则 下列说法正确的是
A ．甲、乙两人的速度相同 B ．甲先到达终点
C ．乙用的时间短 D ．乙比甲跑的路程多
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．计算： - = ．
12 ．若一次函数y = kx + b （ k ，b 为常数，k ≠ 0 ）的图象经过点(1, 5)，且与y 轴交点的纵 坐标为 3，则 k = ．
13 ．已知直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，则斜边上的中线长为 ．
14 ．一组数据 2 ，5 ，4，x ，3 的平均数是 4，则这组数据的方差是 ．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB = 5, AC = 6, BD = 8 ，则 △AOB 的周长为 ．
16．观察下列各式 请你找出其中规律， 并将第n (n ≥ 1) 个等式写出来 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分）
17 ．计算：
(1) ( + )( - )
(2) - +
18 ．已知一次函数y = (2m -1)x + m - 2 ．
(1)若函数图象经过原点，求m 的值；
(2)若函数图象与y 轴交点的纵坐标为-3 ，求 m 的值．
19 ．在 △ABC 中，AB = 13cm ，BC = 10cm ，中线AD = 12cm ．求证： △ABC 是等腰三角形．
20 ．无锡市某中学为了解学生的课外阅读情况 就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科 普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了尚不完整 的频数分布表：
类别
频数（人数）
频 率
文学
m
0 42
艺术
22
0 11
（1）表中 m ＝ ，n = ;
（2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多? 最喜爱阅读哪类读物的学生最 少?
（3）根据以上调查，试估计该校 1200 名学生中最喜爱阅读科普读物的学生有多少人?
21 ．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、CD 的中点．
（1）求证：四边形 EBFD 为平行四边形；
（2）对角线 AC 分别与 DE 、BF 交于点 M 、N.求证：△ABN ≌△CDM．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．
(1)若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？
23 ．如图，在矩形ABCD 中，AB = 6 ，BC = 8 ，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点A 出发，
沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以 1 个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、 Q 两点中其中一点到达终点时停止运动，在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角 形时，求时间t 的值．
科普
66
n
其他
28
合计
1
24 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x + 4 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点 C (-2, 0)．
(1)求S△ABC ；
(2)过点O 作OD 丄 BC 交AB 于D ，求 D 点坐标；
(3)若直线y = kx - k 与线段BD 有交点，求k 的取值范围．
1 ．B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义被开方数必须非负，即
x - 2 ≥ 0 ，解此不等式即可确定x 的取值范围． 【详解】解：要使二次根式 、/x - 2 有意义，
需满足被开方数x - 2 ≥ 0 ， 即x ≥ 2 ．
故选：B．
2 ．B
【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题 的关键．根据勾股定理的逆定理：a2 + b2 = c2 ，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】解：A 、∵ 42 + 52 ≠ 62 ，
:4 ，5 ，6 不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、 ，
: 1 ，1 ， /2 能构成直角三角形，故本选项符合题意； C 、∵ 62 + 82 ≠ 112 ，
:6 ，8 ，11 不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D 、∵ 52 +122 ≠ 232 ，
:5 ，12 ，23 不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3 ．B
【分析】本题考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握 k 、b 的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当k > 0 时，一次函数图 象必过一、三象限； 当k < 0 时，一次函数图象必过二、四象限； 当b > 0 时，一次函数图象 与y 轴交于正半轴；当b < 0 时，一次函数图象与y 轴交于负半轴；或者说：当k > 0 ，b > 0 时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k > 0 ，b < 0 时，一次函数图象经过第一、三、 四象限；当k < 0 ，b > 0 时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当 k < 0 ，b < 0 时，一 次函数图象经过第二、三、四象限．
根据k 、b 的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数y = -2x + 3 ，
Q k = -2 < 0 ，b = 3 > 0 ，
: 函数图象经过第一、二、四象限， 故选：B ．
4 ．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形ABCD ，
: AD ⅡBC ，
: 上A + 上B = 180° , ∵ 上A = 120° ,
: Ð B=60° ;
故选：B．
5 ．B
【分析】本题考查了中位数、众数，根据中位数和众数的定义即可求解．
【详解】解：将数据从小到大排列为 1 ，3 ，5 ，5 ，6，最中间的数是 5，则中位数是 5；
5 出现的次数最多，则众数是 5． 故选：B．
6 ．C
【分析】本题考查了二次根式的运算， 利用合并同类二次根式法则、二次根式的乘除法法则 逐项判断即可．
【详解】A ． 与 3 不是同类二次根式，不可以合并，故错误，不符合题意；
B ． 原计算错误，不符合题意；
C ． × = ，原计算正确，符合题意；
D ． 原计算错误，不符合题意． 故选：C．
7 ．D
【详解】A、不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选 D．
8 ．C
【分析】本题考查了比较一次函数的函数值大小问题，根据一次函数的增减性，进行判断即 可．
【详解】解：∵ y = 3x -1 ，3 > 0 : y 随着x 的增大而增大，
∵点A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 在一次函数y = 3x -1 的图象上，且x1 < x2 ， : y1 < y2
故选：C ．
9 ．A
【详解】由勾股定理求得矩形对角线 AC 的长为 5， 过点 A 作 AM丄BD，垂足为 M，
则 ．
连接 PO ，则有 ∵OA ＝OD，
故选 A．
10 ．B
【详解】试题分析： 利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据 结合图形逐个分析．
解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快， 故选 B．
11 ．
【分析】本题考查了二次根式的减法运算， 将二次根式化简为最简二次根式，再进行减法运 算即可．
解：原式
故答案为： ．
12 ．2
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，把(1, 5) ，(0, 3) 代入y = kx + b 求解即 可．
【详解】解：Q 函数图象与y 轴交点的纵坐标为 3， :经过(0, 3)，
把(1, 5) ，(0, 3) 代入y = kx + b 得k 5，
解得 ．
故答案为：2 ．
13 ．5
【分析】本题考查勾股定理和斜边上的中线， 根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的 中线等于斜边的一半，进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：斜边的长为
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 所以斜边上的中线长为 5．
故答案为：5．
14 ．2
【分析】本题考查方差的计算，先利用平均数的计算公式得到 2 + 5 + 4 + x + 3 = 4 × 5 ，解得 x = 6 ，然后根据方差公式计算这组数据的方差即可．解题的关键是掌握：一般地，设n 个 数据， x1 ，x2 ， … , xn 的平均数为x ，则方差
【详解】解：∵2 ，5 ，4，x ，3 的平均数是4 ， : 2 + 5 + 4 + x + 3 = 4 × 5 ，
解得：x = 6 ，
数据为：2 ，5 ，4 ，6 ，3 ，
:这组数据的方差是2 ．
故答案为：2 ．
15 ．12
【分析】本题考查平行四边形的性质， 根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周 长公式进行计算即可．
【详解】解：因为平行四边形对角线互相平分， 所以 则 △AOB 的周长为OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12 ．
故答案为：12．
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索， 化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整 数为序号，分数的分子为 1，分母为序号加 2，开方的结果外面的整数为序号加 1，二次根 式里面的分数的分子为 1，分母为序号加 2，据此规律求解即可．
解
…… ,
以此类推可知 故答案为
17 ．(1)1
(2) 4
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键：
（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：( + )( - )
= ( )2 - ( )2
= 3 - 2
= 1；
（2） - +
= 2 - 3 + 5
= (2 - 3 + 5) = 4 ．
18 ．(1)2
(2) -1
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键；
（1）将(0, 0) 代入一次函数解析式，即可求解；
（2）将(0, -3) 代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：因为函数图象经过原点(0, 0) ， 把(0, 0) 代入y = (2m -1)x + m - 2
得 m - 2 = 0 ， 解得m = 2 ．
（2）因为函数图象与y 轴交点的纵坐标为-3 ， 即当x = 0 时，y= - 3 ，
把(0, -3) 代入y = (2m -1)x + m - 2
得m - 2 = -3 ， 解得m = -1．
19 ．见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定，由题意可得
BD = CD = BC = 5cm ，由勾股定理逆定理得出△ABD 为直角三角形，再由勾股定理计算 出AC = 13cm = AB ，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：Q BC = 10cm ，AD 为△ABC 的中线， :BD = CD = BC = 5cm ，
Q BD2 = 52 = 25 ，AD2 = 122 = 144 ，AB2 = 132 = 169 ，
:BD2 + AD2 = AB2 ，
:△ABD 为直角三角形，
: AD 丄 BD ，
:上ADC = 90° ,
: AC = = = 13cm ，
: AB = AC ，
: △ABC 是等腰三角形．
20 ．（1）84 ，0 33；（2）最喜爱阅读文学类读物的学生最多（84 人），最喜爱阅读艺术类读 物的学生最少（22 人）；（3）396 人
【详解】试题分析：（1）首先根据艺术类的频数 22 和频率 0 11 求出调查的总人数=
22 ÷0.11 = 200 人，然后 m=200×0 42 ，n= 66 ÷ 200 ；（2）根据频数分布表中的数据和 m 的 值可回答问题；（3）计算 1200n=1200×0 33=396 人
试题解析：（1）m=84 ，n="0" 33；
（2）从频数分布表中可以看出：最喜爱阅读文学类读物的学生最多（84 人），最喜爱阅读 艺术类读物的学生最少（22 人）；
（3）1200×0 33=396
:估计该校 1200 名学生中最喜爱阅读科普类读物的学生有 396 人． 考点：1 频数与频率；2 频数分布表；3 用样本估计总体
21 ．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，得到 ABⅡCD，AB=CD；再根据一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据平行四边的性质，可得 ABⅡCD ，AB=CD ，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判 定，可得答案．
试题解析：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，:ABⅡCD，AB=CD ，∵E、F 分别是 AB 、CD
的中点，:BE=DF ，“BEⅡDF ，:四边形 EBFD 为平行四边形；
（2）“四边形 EBFD 为平行四边形，:DEⅡBF ，:匕CDM=匕CFN ，“四边形 ABCD 是平行四 边形，:ABⅡCD ，AB=CD ．:匕BAC=匕DCA ，匕ABN=匕CFN ，:匕ABN=匕CDM，在△ABN 与
△CDM 中，“匕BAN=匕DCM ，AB=CD ，匕ABN=匕CDM ，:△ABN ≥△CDM （ASA）． 考点：1 ．平行四边形的判定与性质；2 ．全等三角形的判定．
22 ．(1)每件衬衫应降价 20 元
(2)每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是 1250 元
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系 和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
（1）若设每件衬衫应降价 x 元，则每件所得利润为(40 - x)元，但每天多售出2x 件即售出 件数为(20 + 2x)件，因此每天赢利为(40 - x)(20 + 2x)元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）列出商场平均每天赢利 y 与衬衫降价 x 之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可 解答．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价 x 元， 根据题意得(40 - x)(20 + 2x) = 1200 ，
整理得x2 - 30x + 200 = 0 ，
解得x1 = 20 ，x2 = 10 ．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降 20 元．
答：每件衬衫应降价 20 元．
（2）解：设商场平均每天赢利 y 元，则 y = (20 + 2x)(40 - x)
= -2x2 + 60x + 800 ； “ a = -20 < 0 ，
:当 取最大值，最大值为 1250．
答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元．
23 ． 或 或
【分析】本题考查矩形的性质， 勾股定理，解直角三角形，根据矩形的性质，结合勾股定理 求出AC 的长，根据题意，表示出PC, CQ 的长，分PC = QC ，PQ = QC ，PQ = PC 三种情 况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD ， :ÐB = 90° ,
由勾股定理得 由题意，得：CQ = t, AP = 2t (0 ≤ t ≤ 5)， : PC = AC - AP = 10- 2t ，
当△PQC 为等腰三角形时，分三种情况：
①当PC = QC 时，有t = 10 - 2t ， 解得：
②当PQ = QC 时，作QM 丄 PC 于点M ，则
解得：t = ；
③当PQ = PC 时，作PN 丄 CQ 于点N ，则：
解得：
所以，当t 为 或 或 时， △PQC 为等腰三角形．
24 ．(1) 4
【分析】本题考查了一次函数与几何综合、全等三角形的性质与判定， 熟练掌握一次函数的 性质是解题的关键．
（1）利用一次函数的性质求出点A 和点B 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解；
（2）过点 A 作AE 丄 x 轴，交OD 的延长线于点E ，通过证明 △AOE≌△OBC ，得到
AE = OC = 2 ，进而得出E(-4, 2) ，直线OE 的解析式为，再联立函数解析式即可求 出D 点坐标；
（3）分别求出直线 y = kx - k 经过点B 和点D 时对应k 的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：当 y = 0 ，则 x + 4 = 0 ，解得 x = -4；
当 x = 0 ，则 y = 0 + 4 = 4 ； : A (—4,0),B(0,4)，
: OB = 4 ，
QC(-2, 0)，
: AC = —2—(—4) = 2，
（2）解：如图，过点 A 作AE 丄 x 轴，交OD 的延长线于点E ，
则 ÐEAO = 90。，
: ÐE + ÐAOE = 90。，
“OD 丄 BC ，
: ÐCFO = 90。，
: ÐBCO + ÐAOE = 90。， : ÐE = ÐBCO ，
“ A (-4, 0), B (0, 4) ， : OA = OB = 4 ，
又“ÐEAO = ÐCOB = 90。 : △AOE≌△OBC (AAS) ， : AE = OC = 2 ，
: E (-4, 2) ，
设直线OE 的解析式为y = kx ， 代入E(-4, 2) 得，-4k = 2 ， 解得 ，
:直线OE 的解析式为 联立 解得 :点D 的坐标为
（3）解：当直线 y = kx - k 经过点B(0, 4) ，则 -k = 4 ，解得 k = -4 ；
—
当直线y = kx - k 经过点D
则 解得
“直线y = kx - k 与线段BD 有交点，
: k 的取值范围为-4 ≤ k ≤ - ．