河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一上期开学测试数学试卷

这是一份河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一上期开学测试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
下列各对象可以组成集合的是（）
与 1 非常接近的全体实数
新学期 2025～2026 学年度第一学期全体高一学生
高一年级视力比较好的同学
高中学生中的游泳高手
下列因式分解正确的是（）
3ax2  6ax  3ax2  2ax
C. a2  2ab  4b2  a  2b2
x2  y2  x  y x  y 
D. ax2  2ax  a  a  x 12
如图，在矩形 ABCD 中， AB  2, BC  3 ，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D ．设运动的路程为 x ，△ ADP 的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）
A.B.
C.D.
关于 x 的一元二次方程 x2  2mx  m2  m  0 的两个实数根的平方和为 12，则m 的值为
m  2
m  3
m  3 或 m  2
m  3 或 m  2
已知集合 A  1, a 1 , a  2 ，且2  A ，则实数 a 的值为（）
1
B. 0C. 3D.
1或 3
6 若 2x  y  2 ，则 x  （ ）
x  y3y
546
B. C. D.
455
如图，四边形 ABCD 内接于eO ， AB 为直径， AD  CD ，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，连接 AC 交
DE 于点 F ．若sinCAB  3 ， DF  5 ，则 BC 的长为（）
5
A. 8B. 10C. 12D. 16
抛物线 y  x2  bx  3 的对称轴为直线 x  1 ．若关于 x 的一元二次方程 x2  bx  3  t  0 （ t 为实数）在1  x  4 的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）
2  t  11B. t  2
C. 6  t  11D. 2  t  6
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说出错误的是（）
若 a  N ， b  N* ，则 a+b 的最小值为 1
Z  Q  N
集合 A=x x=3m−1,m∈N ， B=x x=3m+2,m∈N，则 A  B
D 空集  0
x  2
（多选）下列四个命题中正确的是（）
方程
 y  2  0 的解集为2, 2
B.
2x  4  0,
同时满足
1 x  2x 1
整数解的集合为{1, 0,1, 2}
由实数 x, x, x ,x2 ,  3 x3 所组成的集合最多含 2 个元素
6
3  a
A  a N , a  Z中含有 3 个元素


已知关于 x 的一元二次不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x | x  2 或 x  1，则下列说法正确的是
（）
b  0 且c  0
5a  3b  2c  0
不等式cx2  bx  a  0 的解集为x | x  1 或? ≥ 0.5}
4
不等式ax2  bx  cmx2  nx  p  0 恒成立，则m2  n  p 的最小值为 9
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 S  x | x  1或 x  5 ， |8,
河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026 学年高一上期开学测试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
下列各对象可以组成集合的是（）
与 1 非常接近的全体实数
新学期 2025～2026 学年度第一学期全体高一学生
高一年级视力比较好的同学
高中学生中的游泳高手
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．
【详解】对于 A：“非常接近”不具有确定性，故选项 A 错误；
对于 B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项 B 正确；对于 C：“比较好”不具有确定性，故选项 C 错误；
对于 D：“高手”不具有确定性，故选项 D 错误.故选：B
下列因式分解正确的是（）
3ax2  6ax  3ax2  2ax
C. a2  2ab  4b2  a  2b2
x2  y2  x  y x  y 
D. ax2  2ax  a  a  x 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对 A： 3ax2  6ax  3a x2  2x  3ax  x  2 ，故 A 错误；对 B： x  y x  y   x2  y2  x2  y2  x2  y2 ，故 B 错误；对 C： a  2b2  a2  4ab  4b2  a2  2ab  4b2 ，故 C 错误；
对 D： ax2  2ax  a  a x2  2x 1  a  x 12 ，故 D 正确；故选：D.
如图，在矩形 ABCD 中， AB  2, BC  3 ，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D ．设运动的路程为 x ，△ ADP 的面积为 y ，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别列出不同路程 x 下对应的面积表达式，根据函数图象性质可得结论.
【详解】根据题意可知，当动点 P 沿 BC 从点 B 开始运动到点C 的过程中，即0  x  3 ；
此时△ ADP 始终是以 AD 为底边， AB 为高的三角形，面积为 1  3 2  3 ；
2
因此其图象是一条水平的线段；
当动点 P 沿CD 从点C 运动到点 D 的过程中，即3  x  5 ；
此时△ ADP 始终是以 AD 为底边， DP 为高的三角形，且 DP  5  x ；
所以面积为 1  35  x  15  3x ；
22
此时其图象是一条有下降趋势的线段；故选：D
关于 x 的一元二次方程 x2  2mx  m2  m  0 的两个实数根的平方和为 12，则m 的值为
m  2
m  3
m  3 或 m  2
m  3 或 m  2
【答案】A
【解析】
【分析】设 x1 ， x2 是 x2  2mx  m2  m  0 的两个实数根， 由根与系数的关系得 x1  x2  2m ，
x  x  m2  m ，再由 x2  x2   x  x 2  2x  x 代入即可；
12121212
【详解】设x1 ， x2 是 x2  2mx  m2  m  0 的两个实数根，
∴   4m  0 ，
∴ m  0 ，
∴ x  x  2m ， x  x  m2  m ，
1212
∴ x2  x2   x  x 2  2x  x  4m2  2m2  2m  2m2  2m  12 ，
121212
∴ m  3 或 m  2 ，
∴ m  2 ，故选 A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键
已知集合 A  1, a 1 , a  2 ，且2  A ，则实数 a 的值为（）
1
B. 0C. 3D.
1或 3
【答案】C
【解析】
【分析】由 a  1  2 或 a  2  2 求得 a 并代入集合检验．
【详解】因为2  A ，所以分为以下两种情况讨论．
①| a 1| 2  a  3 或1，当 a  3 时，集合 A  {1, 2,5}，满足题意；当 a  1 时，集合 A  {1, 2,1} ，不满足集合的互异性，故舍去．
② a  2  2  a  0 ，此时集合 A  {1,1, 2} ，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述， a  3 ．
故选：C．
若 2x  y  2 ，则 x  （ ）
x  y3y
546
B. C. D.
455
【答案】B
【解析】
x
【分析】将条件化为关于 y 的方程，求解即可.
2  x 1
【详解】由题设， y  2  2  x 1  2  x  2  4  x  5  x  5 .
x 13
y

y3 y

33 y3y4
故选：B
如图，四边形 ABCD 内接于eO ， AB 为直径， AD  CD ，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，连接 AC 交
DE 于点 F ．若sinCAB  3 ， DF  5 ，则 BC 的长为（）
5
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形与性质求得 AB ，再解直角三角形求得 BC .
【详解】连接 BD ，因为 AB 是直径，所以ADB  ACB  90 ，因为 AD  CD ，所以DAC  DCA ，
而DCA  ABD ，所以DAC  ABD ，
因为 DE ⊥AB ，所以ABD  BDE  90，
而ADE  BDE  90 ，所以ABD  ADE ，所以ADE  DAC ，所以 FD  FA  5 ，
在RtVAEF 中， sin CAB  EF
AF
 3 ，所以 EF  3 ，所以 AE  4, DE  8 ，
5
因为 ADE  DBE, AED  BED ，
所以△ADE : △DBE ，所以 DE  AE , 8  4 , BE  16 ，
BEDE BE8
所以 AB  20 ，在Rt△ABC 中， sin CAB  BC  BC  3 , BC  12 .
AB205
故选：C
抛物线 y  x2  bx  3 的对称轴为直线 x  1 ．若关于 x 的一元二次方程 x2  bx  3  t  0 （ t 为实数）在1  x  4 的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）
2  t  11B. t  2
6  t  11
【答案】A
2  t  6
【解析】
【分析】根据对称轴求得b ，根据二次函数的性质求得t 的取值范围.
【详解】抛物线 y  x2  bx  3 的对称轴为直线 x  1 ，所以 b  1, b  2 .
2
则关于 x 的一元二次方程 x2  bx  3  t  0 （ t 为实数）在1  x  4 的范围内有实数根，
整理得t  x2  2x  3   x 12  2 ，而112  2  2, 4 12  2  11，所以2  t  11 .
故选：A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说出错误的是（）
若 a  N ， b  N* ，则 a+b 的最小值为 1
Z  Q  N
集合 A=x x=3m−1,m∈N ， B=x x=3m+2,m∈N，则 A  B
空集  0
【答案】BCD
【解析】
【分析】若 a  N ， b  N* ，则a 的最小值为 0， b 的最小值为 1，可判断 A； N  Z  Q 可判断 B；由
题意可证得 B ⊆ A ，可判断 C；由空集的定义可判断 D.
【详解】对于 A，若 a  N ， b  N* ，则a 的最小值为 0， b 的最小值为 1，
a+b 的最小值为 1，所以 A 正确；
对于 B， N  Z  Q ，所以 B 不正确；
对于 C， A=x x=3m−1,m∈N=−1,2,5,8,L， B=x x=3m+2,m∈N=2,5,8,11,L ，
所以 B ⊆ A ，所以 C 不正确；
对于 D，空集∅是指不包含任何集合的子集，空集是任何集合的子集，
0 是指包含元素0 ，所以  0 ，所以 D 不正确.故选：BCD.
x  2
（多选）下列四个命题中正确的是（）
方程
 y  2  0 的解集为2, 2
B.
2x  4  0,
同时满足
1 x  2x 1
的整数解的集合为{1, 0,1, 2}
由实数 x, x, x ,x2 ,  3 x3 所组成的集合最多含 2 个元素
6
3  a
A  a N , a  Z中含有 3 个元素


【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，解方程求解集即可；对于 B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于 C，化简，得
在 x ， x, x 中，当 x  0 时， x  x ，当 x  0 时， x  x ，当 x  0 时， x  x  x  0 ，三者中至
少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于 D，结合 6 的因数并对 a 讨论即可.
x  2,

【详解】对于 A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为 y  2,
解集为2, 2，故 A 错误；

对于 B，由
2x  4  0,
得2  x  2 ，所以整数解组成的集合为1, 0,1, 2，故 B 正确；
x2
1 x  2x 1,
对于 C，由于
 x ,  3 x3  x ，且在 x ， x ， x 中，
当 x  0 时， x  x ，当 x  0 时， x  x ，当 x  0 时， x  x  x  0 ，
三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含 2 个元素，故 C 正确；
6
对于 D，当 a  2 时，
3  a
6 3  2
 6  N ，
当 a  1 时， 6
3  a
6
当 a  0 时，
6 3 1
6
 3 N ，
 2  N ，
6
3  a3  0
当 a  1 时，
6 6  3  N ，
6
3  a3 142
当 a  2 时，
6 6  N ，
6
3  a3  25
当 a  3 时，
6 6  1 N ，
3  a3  36
所以集合A 含有 4 个元素2,1, 0, 3 ，故 D 错误，故选：BC．
已知关于 x 的一元二次不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x | x  2 或 x  1，则下列说法正确的是
（）
b  0 且c  0
5a  3b  2c  0
不等式cx2  bx  a  0 的解集为x | x  1 或? ≥ 0.5}
4
不等式ax2  bx  cmx2  nx  p  0 恒成立，则m2  n  p 的最小值为 9
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件，确定 a, b, c 的关系，可逐项进行判断.
【详解】因为关于 x 的一元二次不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x | x  2 或 x  1，
?
? > 0
所以 −2 + 1 = − ? ，所以
−2 × 1 = ?
?
? > 0
? = ?
? = −2?
，所以 ? > 0 ，故 正确；
A
? < 0
? > 0
因为 ? = ?
? = −2?
，所以5? + 3? + 2? = 5? + 3?−4? = 4? > 0，故 B 正确；
? > 0
因为 ? = ?
? = −2?
，所以不等式cx2  bx  a  0 可化为2ax2  ax  a  0  2x2  x 1  0 ，
所以 x 12x 1  0  x  1或 x  1 ，故 C 错误；
2
因为不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x | x  2 或 x  1，所以不等式(??2 + ?? + ?)(??2 + ?? + ?) ≥ 0
恒成立，可转化为：不等式 mx2  nx  p  0 的解集为x | x  2 或 x  1.
? > 0
所以 ? = ?
? = −2?
，所以m2  n  p  m2  m  2m = ?(? + 3)（ m  0 ），无最小值 故 D 错误.
故选：AB
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 S  x | x  1或 x  5 ， T  x | a  x  a  8, a  R，且 S  T  R ，则实数 a 的取值范围是
【答案】 3  a  1
【解析】
【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列关于 a 的不等式组，求解不等式组得答案．
【详解】Q S  x | x  1 或 x  5 ， T  x a  x  a  8, a  R，且 S  T  R ，
a  8  5
a  1

，解得： 3  a  1 ．
故答案为： 3  a  1 ．
1
已知|a|