2026年高考数学一轮专题复习资料练习 25.全国卷五年四考的“端点”效应与应用

这是一份2026年高考数学一轮专题复习资料练习 25.全国卷五年四考的“端点”效应与应用，共6页。试卷主要包含了必要条件缩小范围，充分性求结果，已知，已知函数．，已知函数等内容，欢迎下载使用。
端点效应的原理：
1.必要条件缩小范围：
①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况.
②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
2.充分性求结果：
求判断的单调性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围.
但是，有时候我们用端点效应得出的并非最终的答案，那么究竟何时才能用端点效应？下面对一类函数做出详细分析.
二．相关理论背景[1]
定理1.若、在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当时等号成立).进一步，对于任意,都有
恒成立，那么实数的取值范围为.
证明：设,则,故满足：
即单调递增,，则(当且仅当时等号成立).从而,对于任意,都有恒成立，对于任意,都有
恒成立,故实数的取值范围为.
定理2.若在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当取等号).进一步，对于任意,都有
恒成立，那么实数的取值范围为.
证明：设,则
那么就有：于是，故
单调递增,(当且仅当取等号),单调递增,(当且仅当取等号),对于任意的恒成立(当且仅当取等号).于是，对于任意,都有恒成立，那么实数的取值范围为.
上述定理不等号反向时亦然，此处不再赘述，具体可见相关参考文献.
三．定理应用，满足定理的两个案例
例1.（2024年高考全国甲卷数学（理））已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
解析：（1）略
（2）且，继续求导可得：
，若，即时，存在正数，当时，，故在递减，于是，则在递减，则，与题干矛盾！
故，即，下证当时，.
由于，令于是可得
，，故在递增，
例2.（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
解析：（1），（2）略.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，
注意到，，继续求导，
根据前述定理可知，此时在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时.
例3.（2023年全国甲卷）已知.
（1）当时,讨论的单调性;
（2）若,求的取值范围.
解析：依题意,在上恒成立;令,则
.
令,则,故,满足定理1，故可用端点效应.
例4.（2022新高考2卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立.
只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则
，所以，故①式成立，则的取值范围为
四．定理失效（端点效应失效）
例5.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
解析：令，其中，则，令，则.
事实上，不满足定理2的内容，所以，本题用处的端点效应解题是无法利用定理2得到正确结果的.事实上，失败的原因就是函数在其他地方还有一个零点，所以，在这种情况下，要确保端点效应依然有效，我们就需进一步使用下面的方法来寻求必要性.
已知含参函数，在区间上恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行必要性探路：
(1).求出函数的零点，即由，解出（可能不只一个）；
(2).求出参数的取值范围，即由或，
，或等求出参数的取值范围.
例6.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
解析：设的零点为.由可得（公众号：凌晨讲数学），即，
，，解得或.
令，当时，．
只需证明①式成立．
①式，令，
，所以当时，单调递减；
当单调递增；当单调递减．
从而，即，①式成立．所以当时，恒成立．综上．
参考文献：
[1].魏欣.2023年高考甲卷理科21题的解法探究与推广.[J].中学数学研究（华南师大版） 2023.09.
★五．更多练习
1.（江苏省苏锡常镇2025届高三二模）已知函数．
（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．
2.（浙江省宁波市2025届高三二模）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）求证：当时，.
3.已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
（提示：直接端点效应与必要性探路）
4.已知函数.
（1）当时，试比较与0的大小；
（2）若恒成立，求的取值范围.
（“内点”效应解题）
5.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
（这个你就得自己判断了）
练习参考答案：
1. 解析：（1）在点处的切线方程为．
设与切于，因此可得：
（2）
①当时，∵在上单调递增；
②当时，令
且当时，单调递减，时，单调递增
③当时，令，且当时，单调递增；
当时，单调递减
（3），即对恒成立．
令
令，.
下证充分性，当时，
令恒成立，符合，综上：的取值范围为．
2.解析：（1）由题设，则且，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增；
（2）由题设，令，则，
对时，恒成立，且，只需，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，；
（3）由（2）取，在上，
令，，则，即，
所以，则，得证.
3.解析：由题意，注意到，，，，
令.
当时，，，所以，满足题意；
当时，，所以在上单调递增，结合知，从而在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意；
当时，，所以在上单调递增，
结合，可得在上有唯一的零点，
且当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
4.解析：（2）由于，则
令
且要满足上述方程组，故令
下证当时，，∵，∴，令，
要证，只需证，
①当时，，由（1）知，，
②当时，，，
易知在上单调递减，在上单调递增，∵，，，∴，，使得，∴当，时，；当时，，∴在，上单调递增，在上单调递减，而，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减.而，∴当时，，
③当时，，∴在上单调递增，∴，
综上所述，的取值范围是.
5.解析：（1）当时，，，
，切点为，斜率为，曲线在点处的切线方程：.
（2）恒成立,,
,
令，，
在恒成立，在单调递增，且，
，，在单调递减，在单调递增，，恒成立，实数的取值范围.