专题5.必要性探路与端点效应的正确使用方法（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题5.必要性探路与端点效应的使用方法

一．前言

高中阶段的主流导数压轴题之一就是含参数的恒成立问题求参数范围，在这一类问题中，

由于参数不确定，给我们讨论带来了极大的困难.但是，由于恒成立问题的任意性，倘若我

们先通过一些手段得到一个参数的大致范围，那么这个取值范围是不等式恒成立的一个必

要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性. 我们下面通过一

个问题来说明在知晓参数范围时，去证明一个恒成立问题有多方便.

例1．（全国卷1）已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

解析：（1）略.

（2）当时，．设，则

当时，；当时，．所以是的最小值点．

故当时，．因此，当时，．

可以看到，在知道参数范围后，我们可以甩掉参数带来的繁杂，直接去证明（讨论）一个不含参的不等式，这显然容易的多，因此，上面的思想就是必要性探路的基本想法.

二．基本原理

探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路：

1.必要性探路：若在上恒成立，则，均有，我们可以带一些特数值，对数取1，指数取0，三角取特殊角等，算出一个参数的范围.

2.下面的思路为端点效应

(2)若在上恒成立，且

则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.

(3)若在上恒成立，且，

则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.

2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；

（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；

（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.

三．典例分析

题型1.必要性探路

方法1.必要性探路+甩掉参数

这一种题目的方法就是利用必要性探路得到参数范围后，对参数进行放缩，从而消掉参数项，得到欲证恒成立问题的一个界.

例1.（2022届武汉九月调考）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

解析：（1）当时，，，

，切点为，斜率为，曲线在点处的切线方程：.

（2）恒成立,,

,

令，，

在恒成立，在单调递增，且，

，，在单调递减，在单调递增，，恒成立，实数的取值范围.

方法2.必要性探路+主元变换

得到参数范围后，我们当然也可以变换主元，从简单的视角来证明.

例2.（全国卷1）已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

解析.主元法

令，则，故在上递增，那么

，由于，等号成立当且仅当，另一方面：，等号成立当且仅当.综上，，等号成立当且仅当.证毕.

题型2.端点效应

例3．（2022新高考2卷）已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求a的取值范围.

解析：（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.

若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.

由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.

当时，有，  所以在上为减函数，所以.综上，.

例4.（全国1卷）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

解析：令，其中，则，令，则.并不能保证，况且二阶导函数在上不单调且存在两个零点，事实当时，在上为减函数，当时，，即在上为减函数，则有时，，即在上为减函数，则有时，.事实上不等式在取等号之外，在区间中还存在其它点处取等号的情况，所以，本题用失败的原因就是函数在其他地方还有一个零点，所以，在这种情况下，要确保端点效应依然有效，我们就需进一步使用下面的方法来寻求必要性.

题型3.切线分析与必要性探路

若题干给出含参不等式恒成立，当参数改变时，假设的图象随之而变化，在变化的过程之中，能使恒成立的临界状态恰好为两个函数图象相切的情形，这一状态我们一般称之为“临界相切”，如下图所示.这类问题由于具有深刻的图形背景，所以分析图形是寻找解题思路的好方法，可以先在草稿纸上分析并求解出临界状态，如图中的处，应有，由这一方程组可以求出参数的临界值和临界状态下两个函数图象的切点的横坐标，在作答时可先用来得出成立的必要条件，再证明充分性.

例5.（全国1卷）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

解析：时，.

令，直线与曲线相切于点，又直线过点，所以，这正是取的原因所在

当时，．

只需证明①式成立．

①式，令，

，所以当时，单调递减；

当单调递增；当单调递减．

从而，即，①式成立．所以当时，恒成立．综上．

小结：（1）本文所使用方法只是论证必要性，论证完后必须再证充分性.

（2）对于函数有内零点的情形，可利用题型3来解决处理，这样基本可以找到与答案一致的参数范围.

三．习题演练

习题.已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.

解析：由题意，注意到，，，，

令.

当时，，，所以，满足题意；

当时，，所以在上单调递增，结合知，从而在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意；

当时，，所以在上单调递增，

结合，可得在上有唯一的零点，

且当时，，所以在上单调递减，

又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；

综上所述，实数a的取值范围为.