2024-2025学年人教八上数学期末考试精准押题卷（含答案）

这是一份2024-2025学年人教八上数学期末考试精准押题卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
3．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5 B．（﹣3x3y）2＝9x9y2 C．x6÷x2＝x3 D．﹣x2•x＝﹣x3
4．（3分）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4） B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
6．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（3分）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
10．（3分）如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 ．
12．（3分）若（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为 ．
13．（3分）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ．
14．（3分）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
16.（3分）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；
（2）（x﹣1）（x+3）+（x﹣1）2．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝π0+1．
20．（8分）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．

21．（8分）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
23．（9分）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．
（Ⅰ）求证：CF＝AE；
（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．
25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 ，若BC＝a，则CD的长为 ；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
3．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5 B．（﹣3x3y）2＝9x9y2
C．x6÷x2＝x3 D．﹣x2•x＝﹣x3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（x2）3＝x6，故此选项不合题意；
B．（﹣3x3y）2＝9x6y2，故此选项不合题意；
C．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意；
D．﹣x2•x＝﹣x3，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【解答】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
5．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4）
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2
D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
【分析】根据因式分解的定义解答．
【解答】解：A、2x2﹣4x＝2x（x﹣2），故本选项错误；
B、a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故本选项正确；
C、a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，故本选项错误；
D、x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9），故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，熟悉提公因式法和乘法公式是解题的关键．
6．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．
7．（3分）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【解答】解：由题意可知OC＝OD，MC＝MD，
在△OCM和△ODM中，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
∴OM就是∠AOB的平分线．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
8．（3分）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为（ ）
A．﹣＝2
B．﹣＝2
C．﹣＝2
D．﹣＝2
【分析】设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，
由题意得，﹣＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
10．（3分）如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
【分析】如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA＝∠P1，∠P2PB＝∠P2，由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小，由PP1⊥OM，PP2⊥ON，可知∠PCO＝∠PDO＝90°，∠P1PP2＝360°﹣∠PCO﹣∠PDO﹣∠MON＝140°，则∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝40°，根据∠APB＝∠P1PP2﹣（∠P1PA+∠P2PB），计算求解即可．
【解答】解：如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA＝∠P1，∠P2PB＝∠P2，
由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小，
∵PP1⊥OM，PP2⊥ON，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
∴∠P1PP2＝360°﹣∠PCO﹣∠PDO﹣∠MON＝140°，
∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝40°，
∴∠APB＝∠P1PP2﹣（∠P1PA+∠P2PB）＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确△PAB的周长最小的情况．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 40°或100° ．
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
12．（3分）若（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为 6 ．
【分析】根据完全平方公式展开，先求出x2﹣2x的值，然后再加上5计算即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝2，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
两边都加上5，得
x2﹣2x+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键，利用“整体代入”的思想使计算更加简便．
13．（3分）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 （x﹣6）（x+2） ．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
14．（3分）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是 m＜﹣2且m≠﹣3 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根x＝1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围．
【解答】解：去分母，得：
3x＝﹣m+2（x﹣1），
去括号，移项，合并同类项，得：
x＝﹣m﹣2．
∵关于x的分式方程+2的解为正数，
∴﹣m﹣2＞0．
又∵x﹣1≠0，
∴x≠1．
∴﹣m﹣2≠1．
∴
解得：m＜﹣2且m≠﹣3．
故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 18cm ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DC，AC＝6cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm），
故答案为：18cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．（3分）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为 1011 ．
【分析】根据定义新运算可得﹣＝2，从而可得x﹣y＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵x*y＝2，
∴﹣＝2，
∴x﹣y＝2xy，
∴＝＝1011，
故答案为：1011．
【点评】本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；
（2）（x﹣1）（x+3）+（x﹣1）2．
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法以及同底数幂的除法进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式，完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a6•a8÷a10
＝a14÷a10
＝a4；
（2）原式＝x2+2x﹣3+x2﹣2x+1
＝2x2﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式以及幂的运算法则是解题的关键．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x﹣2）化成整式方程，解方程检验后，即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣2）得：
x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）＝1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣2）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，正确去分母把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝π0+1．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝π0+1＝2，原式＝2+1＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（8分）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
【解答】解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（x﹣6）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，
∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝20，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝8，
∴S△ACF＝ab＝×8＝4．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．
21．（8分）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，
∴∠EAB＝∠E＝40°，
∵∠DAB＝70°，
∴∠DAE＝30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的对应角，对应边相等是解题关键．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；
（3）构建方程求出a可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，1）；
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×5×2＝8.5．
（3）∵点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，
∴|a﹣2|＝4，
∴a＝6或﹣2，
∴P（6，4）或（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
23．（9分）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
【解答】解：
（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：1.5×＝
解得x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路＝15﹣1.5a（天），
由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
【点评】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．
（Ⅰ）求证：CF＝AE；
（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．
【分析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE＝BC，再进行等量代换即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC，∠AED＝90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF＝AE；
（Ⅱ）∵CF＝AE，AE＝3，
∴CF＝3，
∵BF＝4，
∴BC＝BF+CF＝4+3＝7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DEB＝∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BED和△BCD中，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE＝BC＝7，
∴AB＝BE+AE＝7+3＝10．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．
25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 互相垂直 ，若BC＝a，则CD的长为 a ；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD与CB'的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM＝BM＝BC＝a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD＝CM＝a；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得到∠BAC＝2∠DAE；
②在BC上截取BF＝CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，根据角的和差得到∠FAE＝∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE＝CD+DE．
【解答】解：（1）当点E与点C重合时，∠DAE＝∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CB'，
即AD与CB'的位置关系是互相垂直，
若BC＝a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC＝90°＝∠ADC，
∵AB＝AC，
∴CM＝BM＝BC＝a，
在△ACD与△ACM中，
∴△ACD≌△ACM（AAS），
∴CD＝CM＝a，
即CD的长为a，
故答案为：互相垂直；a；
（2）①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE，证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，如图：
则∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴∠CAN+∠ACB'＝90°，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
即∠DAE+∠ACB'＝90°，
∴∠DAE＝∠CAN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∴△ACN≌△ACM（AAS），
∴∠CAN＝∠CAM，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠CAN＝2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE＝CD十DE，证明如下：
在BC上截取BF＝CD，连接AF，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB'＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB′＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE，
由①知：∠BAC＝2∠DAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAE）＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
∴△FAE≌△DAE （SAS），
∴FE＝DE，
∴BE＝FE+BF＝CD+DE．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．