襄阳四中2025~2026学年第一学期高三开学检测数学试卷

这是一份襄阳四中2025~2026学年第一学期高三开学检测数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则
A．B．C．4D．8
3．有一组数据，按从小到大排列为：1,2,6,8,9,m，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为
A．9B．10C．11D．12
4．已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
5．已知向量，，若，则的值为
A．B．C．D．
6．的展开式中所有二次项（即含x2，xy，y2的项）的系数和为
A．B．C．0D．40
7．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则
A．B．C．2D．
8．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为
A．45B．46C．90D．91
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A．若，，则
B．若，，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是
A．若，则直线的斜率为B．
C． (为坐标原点)D．当取最小值时，
11．记△ABC内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是
A．B．角A的最大值为
C．D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量，若，则实数A的值为 ．
13．直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，若，则直线l的方程为 ．
14．若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数A，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则A的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知△ABC的内角的对边分别为，满足．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若△ABC的外接圆半径为2，且，求△ABC的面积．
16.（15分）
已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点P为椭圆上任意一点，且的周长为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线与直线分别交椭圆于A,B和C,D两点，求四边形的面积．
17.（15分）
如图，四棱锥中，平面，，．
(Ⅰ)作点A在平面内的射影H，写出作法及理由；
(Ⅱ)若，，且，求二面角
的正弦值．
18.（17分）
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(Ⅰ)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
(Ⅱ)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
(i) 若，证明：；
(ii) 由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
19.（17分）
已知函数.
(Ⅰ)当时，求证：函数有唯一极值点．
(Ⅱ)当时，求在区间上的零点个数．
(Ⅲ)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求m,n的值．
测试指标
元件数（件）
2
18
36
40
4