湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学检测数学试题 含解析

这是一份湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学检测数学试题 含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合 A，利用交集的定义直接求解即得.
【详解】依题意，集合 ，而 ，
所以 .
故选：C
2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数 ，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由 可得， ，所以 ，
故选：B.
3. 有一组数据，按从小到大排列为： ，这组数据的 分位数等于他们的平均数，则 为（
）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求出 分位数，再根据平均数定义得到方程，求出
【详解】因为该组数据共 6 个，且 ，
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所以这组数据的 分位数为从小到大第 3 个数，即 6，
则 ，解得 ．
故选：B．
4. 已知双曲线 （ ， ）的顶点到渐近线的距离为实轴长的 ，则双曲线 的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线 C 的顶点到一条渐近线 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，双曲线 C 的离心率 .
故选：C.
5. 已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示得 ，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.
【详解】由题设 ，
而 .
故选：B
6. 的展开式中所有二次项（即含 ， ， 的项）的系数和为（ ）
A. B. C. 0 D. 40
【答案】A
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【解析】
【分析】利用二项式定理将 看作 展开，然后找到含 ， ， 的项即可求解.
【详解】
根据二项式定理，则 .
当 时， 的展开式中不含 ， ， 的项.
当 时， ，
这部分含 ， ， 的项系数分别为 ， ， .
将含 ， ， 的项系数相加，即 .
则 的展开式中所有二次项的系数和为 .
故选：A.
7. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代
哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形 ，其中心为 O，若
，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 法 一 ： 过 点 作 ， ， 垂 足 分 别 是 、 ， 根 据 已 知 得
且 ，即可得；法二：构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由
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向量线性关系的坐标表示列方程，即可得.
【详解】法一：如图①，过点 作 ， ，垂足分别是 ， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以四边形 正方形，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，故 ；
法二：以 ， 所在直线分别为 ， 轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
由 ，得 ，解得 ，故 .
故选：A
8. 数列 的前 n 项和为 ，满足 ，则 可能的不同取值的个数为（ ）
A. 45 B. 46 C. 90 D. 91
【答案】B
【解析】
【分析】利用累加法表示出 ，先计算 时的 ，然后依次将 调整为 3 可求得
的最大值，然后可得解.
【详解】由题设可得 ，其中 ，
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故 ，且 奇偶交错出现．
若 为奇数，由 可得对 可取遍 中的每一个奇数；
若 为偶数，由 可得对 可取遍 中的每一个偶数，
又 ，
当 时， ，
考虑 时， 调整为 3，则对应的 可增加 ，
依次对诸 （至少一个）调整为 3 后 ，
即 ，
从上述的调整过程可得 ，取遍了 中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于
的奇偶性），
当 时， 取遍了 中的奇数，合计 46 个，
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据 求 的最小值，然后依次将 调整为 3 求
的最大值，然后分析即可得解.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知点 ，直线 ， ， ，平面 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线面判断的判定定理即可判断 A；根据线面垂直的判定定理即可 B；根据线面平行的性质即可
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C；根据面面垂直的性质即可判断 D.
【详解】A：若 ，有可能 ，故 A 错误；
B：若 ，则 ，这是线面垂直的判定定理，故 B 正确；
C：若 ，则 ，这是线面平行的性质定理，故 C 正确；
D：若 ，则 ，这是面面垂直的性质定理，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 是 的准线与 轴的交
点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则直线 的斜率为 B.
C. ( 为坐标原点) D. 当 取最小值时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】设出直线 ， ， ，根据题意求出 和 的坐标，得到斜率判定 A；
运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定 B；借助向量法计算判定 C；运用抛物线定义转化
长度，结合基本不等式计算判定 D.
【详解】
依题意 ，设直线 ， ， ，
联立 得 ，则 ， ，
则 ，解得 或 ，则 ， 或 ， ，
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则直线 的斜率为 .故 A 正确；
，
当且仅当 时等号成立.故 B 正确；
因为 ，所以 ，故 C 错误；
， ，则 ， ，由抛物线的定义可得 ，
，因为 ，
，
当且仅当 时取等号，此时 ，故 D 正确.
故选：ABD
11. 记 内角 的对边分别是 ，已知 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 角 的最大值为
C. D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A 利用余弦定理即可判断，对于 B 利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于 C 由已知有
得 ，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于 D 令
代入 有 ，由三角不等式有 ，解
出 的范围，又 ，利用二次函数即可求解，进而判断 D.
【详解】对于 A：由余弦定理有 ，所以
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，故 A 正确；
对于 B：由余弦定理得 ，由基本不等式有 ，当 时，
即 时等号成立，所以 ，所以角 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C：由 有 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，与题干不符，故 C 错误；
对于 D：令 代入 有 ，由 有
得 解得 ，
所以 ，由 ，
所以 ，即 的取值范围是 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知随机变量 ，若 ，则实数 a 的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解.
【详解】由题意得， ，解得 ．
故答案为：2
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13. 直线 经过点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由向量的坐标运算求出 、 两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可.
详解】依题意，设 ， ，
则 ， ，
则 ，
由 得 ，解得 ，
则 ， ，
则直线 的斜率为 ，方程为 即 .
故答案为： .
14. 若函数 满足在定义域内的某个集合 A 上，对任意 ，都有 是一个常数 a，
则称 在 A 上具有 M 性质．设 是在区间 上具有 M 性质的函数，且对于任意
，都有 成立，则 a 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 在区间 上单调递增，根据 a 的符号分类讨论研究函
数的单调性即可求解.
【详解】由 得 ，
由题意知 在区间 上单调递增.
① 时， 在区间 上单调递增，符合题意；
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② 时， 在区间 上单调递增，
若 在区间 上单调递增，则 ，即 对 恒成立，
所以 成立，故 ，即 ；
③ 时， 对 恒成立，此时 ，
函数 由 ， 复合而成， 在 上单调递增且 ，
而函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
若 在 上单调递增，则 ，即 .
综合①②③可知 a 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以
及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 的外接圆半径为 2，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得 ，故可求 ；
（2）根据三角变换可得 ，故可求面积.
【小问 1 详解】
在 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
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则
化简得 ．
又 ，∴ ，
又∵ ，∴ ．
【小问 2 详解】
∵ ，∴ ，∴ ．
即 ，
又 ，∴
记内角 的对边分别为 ，
∵ 的外接圆半径 ，
∴由正弦定理可得 ，
∴ ，∴ .
16. 已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，点 为椭圆 上任意一
点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与直线 分别交椭圆 于 和 两点，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可；
（2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解.
【小问 1 详解】
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由题意知 ，
解得 ，
则椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
易知四边形 为平行四边形，设 ，
联立直线 与椭圆 消去 并整理得 ，
由韦达定理得
，
因为 与 平行，所以这两条直线的距离 ，
则平行四边形 的面积 ．
17. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ．
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（1）作点 在平面 内的射影 ，写出作法及理由；
（2）若 ， ，且 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）过点 作 的垂线，垂足即为点 在平面 内的射影 ．通过证明平面 平面
，结合面面垂直的性质，可得 平面 ，得证；
（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角 的余弦值，根据三角函数同
角求值，可得答案.
【小问 1 详解】
解：设 ，连接 ，过点 作 的垂线，垂足即为点 在平面 内的射影 ．
下面证明：
， ，
点 ， 在线段 的中垂线上，即有 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 、 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ，
又平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，故点 为点 在平面 内的射影.
【小问 2 详解】
由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系 ， ，又 ， ，
且 ，易知 ， ， ，
在 中， ，在 中， ， ，
则 ， ， ， ，
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设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ， ，
不妨取 ，则 ，
平面 法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
又 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等
于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品 条件下，求另一件为不合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学期望 ，
方差 ，则对任意正数 ，均有 成立．
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（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂
声称本厂元件合格率为 ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合
格率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 为小概率事件）
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）不可信．
【解析】
【分析】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，然后求出 ， ，
由条件概率求得 ；
（2）（i）由二项分布期望和方差公式求得 ， ，由二项分布随机变量的概率的性质得到
，然后由切比雪夫不等式得到结果；
（ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，则
，再由期望和方差公式求得 ， ，由由切比雪夫不等式求出 ，
然后由小概率原理做出判断.
【小问 1 详解】
记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
， ，
；
【小问 2 详解】
（i）由题：若 ，则 ， ，
又 ，
所以 （ 或 ） ，
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由切比雪夫不等式可知， ，
所以 ，
（ii）设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，假设厂家关于产品合格率为 的说法成立，则
，所以 ， ，
由切比雪夫不等式知， ，
即在假设下 100 个元件中合格品为 80 个的概率不超过 0.021，此概率极小，由小概率原理可知，
一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19. 已知函数 .
（1）当 时，求证：函数 有唯一极值点；
（2）当 时，求 在区间 上的零点个数；
（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线 与曲线 存在两条互相垂
直的“合一切线”，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数；
（2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数；
（3）由题意设曲线 与曲线 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为
，其斜率分别为 ，则 ，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可
求解.
【小问 1 详解】
函数 ，有 ，则 在 R 上单调递增，
当 时，有 ，即 .
当 时，由 ，得 ，且 .
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当 时， .
因为 ，所以 .
因为 对任意 恒成立，所以当 时， .
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的唯一极值点.
【小问 2 详解】
当 时， ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
因为 ，
所以由零点存在定理知 在 上有且仅有一个零点.
当 时，令 ，则 ，
当 时，有 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以当 时 ，故 在 上无零点，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 在 上有且仅有一个零点.
综上所述： 在 上有且只有 2 个零点.
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【小问 3 详解】
设曲线 与曲线 的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为 ，
其斜率分别为 ，则 .
因为 ，所以 .
所以 .
不妨设 ，则 .
因为 ，
由“合一切线”的定义可知， .
所以
由“合一切线”的定义可知， ，所以 .
当 时，取 ，
则 ，符合题意.
所以 .
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考
查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的
单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问
题； （4）考查数形结合思想的应用．
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