人教A版高二数学选修第二册导数综合问题习题（原卷版＋解析版）

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二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参）
三、已知函数单调区间求参数范围
四、利用导数求解函数的极值/最值
五、利用导数的极值/最值求参数值
六、利用导数解决恒（能）成立问题
七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题
八、利用导数证明不等式
九、利用导数解决双变量问题
十：导数解决实际应用问题
十一、参变分离法解决导数问题
十二、构造函数法解决导数问题
【题型归纳】
题型一、利用导数求解函数的单调区间、最值（不含参）
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为．
【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程；
（2）求导，解不等式得到单调区间.
【详解】（1）∵，∴，
且，∴，
∴函数在点处的切线方程为，即．
（2）∵的定义域为R，
∴由（1）得．
令，解得，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
2．（23-24高二下·上海·期末）已知．求：
(1)函数的单调区间及极值；
(2)函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为.
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为.
【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值；
（2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解．
【详解】（1）的定义域为，，
令，得或，令，得，
函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为，
当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值，
函数极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，
又, ，
函数在区间上的最大值为，最小值为．
题型二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参）
3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求b；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在上单调递减，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可；
（2）求导分与的大小关系讨论即可；
（3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可.
【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得.
（2）因为，故，
则，
当时，，
故在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，令有，，且，
故在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
当时，，在单调递减；
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
（3），
由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，故，即.
所以a的取值范围为.
4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中.
(1)当时，求函数在上的最大值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性.
【详解】（1）当时，，
则，
所以，当或时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
所以，函数在上的最大值为；
（2）函数的定义域为，
，
当时，由，可得，，
当时，当时，，此时，函数单调递减，
当或时，，此时，函数单调递增，
当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增；
当时，当时，，此时，函数单调递减，
当或时，，此时，函数单调递增，
综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减.
题型三、已知函数单调区间求参数范围
5．（2024·吉林长春·一模）已知函数在处的切线平行于轴.
(1)求与的关系；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程即得；
（2）由题意得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由，可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以，
所以；
（2）函数在上单调递增等价于在上恒成立，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
故得且，即的取值范围是.
6．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．
【答案】(1)函数有极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值；
（2）求导，分类讨论函数在区间上的单调性，结合导数与原函数单调性之间的关系分析求解.
【详解】（1）若，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数有极小值，无极大值.
（2）因为，且，
若函数在区间上为单调函数，则有：
当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
所以a的取值范围为.
题型四、利用导数求解函数的极值/最值
7．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)求的极值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间是和，单调递减区间是
(3)极大值为，极小值为
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间；
（3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值.
【详解】（1）由函数，得，所以，．
所以函数在点处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，由（1）得，
令，得或，列表如下：
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为.
8．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可.
【详解】（1）当时，，则，
∴，则在点处的切线方程为；
（2）因为，
由题意，解得，检验符合，
故，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为．
由解析式易知，当时；当时，且，
所以．
综上，的增区间为、，减区间为，.
题型五、利用导数的极值/最值求参数值
9．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求的值.
【答案】(1)增区间是，减区间是
(2)
【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得；
（2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可.
【详解】（1），由，函数定义域为.
则，
∵在处取得极值，
∴，
设，则在单调递减，
至多一个实数根，又，
方程有且仅有一个实数根.
当时，，其中.
， ，
当时，，则，在单调递增；
当时，，则，在单调递减；
所以在处取得极大值，极大值为.
故的增区间是，减区间是；
（2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为，
即任意时，都有，满足题意.
由，得，
令，则，不等式转化为，
即在恒成立.
设，其中，
，其中，
①当时，且，
故存在，使，由在单调递减，
则当时，，在单调递减，
所以，故不满足恒成立，即不合题意；
②当时，且，
故存在，使，由在单调递减，
则当时，，在单调递增，
所以，故不满足恒成立，即不合题意；
综上所述，若对于任意，都有，则.
【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可.
10．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值.
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)最大值是，最小值是.
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可；
（2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值.
【详解】（1）因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，.
①当时，，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去.
②当时，
由解得或；由解得；
所以在，上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意.
综上可得：.
（2）由（1）可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是.
题型六、利用导数解决恒（能）成立问题
11．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性；
（2）根据题意整理可得，结合的单调性可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，可得，
①当时，恒成立，可知在上单调递减；
②当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得，
整理得，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，可得，
即，可得，
令，则.
因为，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，所以a的取值范围为.
12．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若存在，使，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（2）对进行讨论，分，和，当，利用函数值的符号即可求解；当和，设，利用导数与函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）易知函数定义域为，因为 ，
令 ，得
令 ，得，令 ，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由 ，得 ，
因为，所以，，
当时，，符合题意；
设，
当时，则，所以在上单调递增，
所以，不符合题意；
当时，令，得 ，
令，得 ，所以 ，
则存在，使，满足题意，
综上，的取值范围是.
题型七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题
13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线.
(1)求在处的切线方程.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，，即切点为，
又，所以切线方程为，即；
（2）因为，
函数有两个零点，
相当于曲线与直线有两个交点，
又，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，
又时，，且当时，，
所以的图象如下所示：
由图可得实数的取值范围为．
14．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程；
（2）分，和三种情况，利用导数研究函数的图象最值，数形结合求解问题.
【详解】（1）由，得，则.
因为，，
所以的图象在点处的切线方程为.
（2）显然不符合题意，
又，
当时，可知当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则，
且当时，，
当时，，
所以，化简可得，
因为在上单调递减，且，
所以不等式的解集为.
当时，可知当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则，
且当时，，
当时，，
所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解.
综上，a的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
题型八、利用导数证明不等式
15．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数
(1)当时，求函数的极大值；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围；
(3)设，对任意的，且，证明：恒成立．
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值.
（2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.
（3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时函数取得极大值.
（2），，，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减．
则当时函数取得最大值，，
所以的取值范围是.
（3）依题意，，
对任意的，且，，
令，不等式化为，
令，求导得，
函数在上单调递增，，因此，
所以恒成立.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
16．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)增区间为，无减区间；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数研究的单调区间；
（2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围；
（3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论.
【详解】（1）当时，，所以，
设，则，
当时，有，所以在区间上单调递减，
当时，有，所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以的增区间为，无减区间．
（2），
（i）当时，有，与矛盾；
（ii）当时，有，所以，
所以在单调递增，故，满足题意；
（iii）当时，设，则，
当时，由得，所以在上单调递减，则，
即，所以在单调递增，故，满足题意；
当时，若，则，所以在上单调递，
所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾；
综上所述：a的取值范围为．
（3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为，
令得，，即
令，则，
所以．
题型九、利用导数解决双变量问题
17．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，
故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，
即在上递减，故，
所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
18．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【分析】（1）含参讨论导函数的正负即可；
（2）结合（1）的结论得，则有得出，构造函数判断其最值即可.
【详解】（1）由，
若，则恒成立，即在上单调递增，
若，令得，即在上单调递增，
令得，即在上单调递减，
综上所述当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）得当时，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于，不符合题意，
故，则，
所以，
令，
显然当时，，时，，故在时单调递减，
在上单调递增，即，
所以，即
题型十：导数解决实际应用问题
19．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)需要增加产量，增加20箱最好.
【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，利用古典概型的概率计算公式求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；
（2）先求出按原计划生产药材每箱平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可.
【详解】（1）X的可能取值为0，1，2，
，，，
X的分布列如表：
.
（2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元），
则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元，
所以增加净利润为.
设（或），则，
当时，，
当时，，且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
20．（23-24高二下·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
(1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
(2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
【答案】(1)
(2)150元.
【分析】（1）利用导数求函数的最小值；
（2）首先计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入即可求解.
【详解】（1）由
有，令，得或（舍），
当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
（2）设司机的工资为元，则行车的总费用为
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
题型十一、参变分离法解决导数问题
21．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可；
（3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，
所以.
22．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数.
(1)若，且函数有极值2，求的值；
(2)若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）代入求导，得出其单调性并求得极值表达式解方程可得的值；
（2）分离参数，构造函数并求得的最大值，可求出实数的取值范围.
【详解】（1）若，则，
所以；
当时，，因此在单调递减，
当或时，，因此在，单调递增；
即在处取得极大值，在处取得极小值；
若函数的极大值为2，即，此时；
若函数的极小值为2，即，此时；
综上可得，或；
（2）若，则，
所以不等式为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则；
当时，，因此在单调递增，
当时，，因此在单调递减；
因此在处取得极大值，也是最大值，即，
即满足题意，
所以实数的取值范围为.
题型十二、构造函数法解决导数问题
23．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数．
(1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，证明：当时，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，由函数值即直线斜率列方程求值；
（2）令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解；
（3）构造函数，由结合（1）中结论可得，利用函数单调性得最值，即可得证.
【详解】（1），，
又直线的斜率为，
由题意，，即.
（2），
令，则，
当，则，从而，
当，则当时，，
当时，，
综上所述，当，在定义域内是增函数，当，在上是单调递减，在上是单调递增.
（3）不妨设，
则，
由（1）可知若，则在上单调递减，在上是单调递增.
则在处取最小值，则的最小值为，
从而，
则在上单调递增，所以当时，，
即当时，.
24．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明不等式：；
(3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可；
（2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明；
（3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递减，
当时，令，解得：，
令，则在上单调递增．
令，则在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，要证明：；
即证：，即证：，
设，
令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，，
．即：，
；
（3）由题意得：在上恒成立，
整理得：，
参变分离即证在上恒成立，
令，则只要证明的最大值即可．
．
令解得：，
（列表如下）
在上单调递增，在上单调递减，
，
则实数b取值范围为.
【专题强化】
1．（24-25高二上·海南·期末）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有两个零点，求实数的值．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间；
（2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值．
【详解】（1）因为，
所以，
令，则或，
所以的单调递增区间为和.
（2）由（1）得的单调递增区间为和.
令可得，的单调递减区间为，
当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
所以若有两个零点，则或，
解得.
所以.
2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？
【答案】(1)6，（分）
(2)2，最小利润为（分）
【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径；
（2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径.
【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分），
由题可知 ，
则，由，可得，或（舍）
当时，；当时，，
故在上单调递减；在上单调递增
由上分析，当时，利润最大，，
故当时，利润最大，此时最大利润为（分）
（2）由上分析，当时，利润最小，，
故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为.
3．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对于任意的，有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；
（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；
（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减.
综上，当时，在和上递增，在上递减；
当时，在上递增；
当时，在和上递增，在上递减.
（3）我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.
4．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为和，递减区间为；
(2)
【分析】
（1）求导，直接利用导数求单调区间即可；
（2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于x的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案；
（2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案.
【详解】（1）由，已知其定义域为，
求导可得，
当时，在上恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，可得下表：
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）要证，只需证，
令，求导可得，
令，解得，可得下表：
则，所以.
6．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若有两个极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间.
（2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
方程中，，
当时，恒成立，，在上单调递增；
当时，由，解得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，
递减区间为.
（2）由（1）知，有两个极值点，则，
，
令函数，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，
所以.
7．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知为的两个极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，令，分类讨论的值即可求解；
（2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且，由根与系数的关系得，令，根据导数得出即可证明．
【详解】（1）由，，
得，
令，
①当时，，则，所以在单调递增；
②当时，，令，则，解得或，
i)当时，当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
ii)当时，当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且，
则
，
令，，
设，则，
则在单调递增，即在单调递增，
又，
所以当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，所以当且时，，
所以，即．
8．（23-24高二下·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组，再验证即可确定函数的解析式；
（2）分类讨论函数的最小值，以及的最小值，转化为
【详解】（1），，
由题意可知，，，
即，，得，
所以，，得，
如下表，的变化情况如表所示，
所以符合题意，所以；
（2）因为函数，在时，，
在时，，且，
所以由（1）知，当时，函数有最小值，
又因为对任意，总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于的开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得，
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得，
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
9．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数.
(1)若，求在区间上的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，求证：.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值；
（2）求出分、讨论，可得答案；
（3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
在区间上有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，
若，则，从而；
若，则，从而，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
所以最小值为，只需证明：，
即证成立，
设，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
可得，即，得证.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
4
0
0
增
极大值
减
极小值
增
等级
上等药材
中等药材
普通药材
利润（元/箱）
4000
2000
-1200
X
0
1
2
P
x
1
0
单调递减
0
单调递增
x
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
极大值
极大值
0
0
减
极小值
增
极大值
减
1
0
单调递减
极小值
单调递增