重难点培优11 导数中的双变量问题（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 双变量问题方法之同构构造函数（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 双变量问题方法之比值换元（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 双变量问题方法之差值换元（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 双变量问题方法之主元法（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 双变量问题方法之对数均值不等式（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 9
\l "_Tc326" 题型六 双变量题型之结合函数单调性（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 10
\l "_Tc11957" 题型七 双变量题型之结合极值（点）（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 11
\l "_Tc17557" 题型八 双变量题型之结合最值（含恒能成立）（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 12
\l "_Tc28054" 题型九 双变量题型之结合零点（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 13
\l "_Tc8991" 题型十 双变量题型之不等式证明（★★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 14
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 15
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 15
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 18
1、双变量问题
导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题，它在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现.
2、处理导数双变量问题的常见方法
（1）构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了的单调性问题.
（2）换元法：就是将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的.
（3）消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出.
（4）主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.
（5）对数均值不等式：（其中，为正数）．
【证明】先证，不妨设，
则该不等式等价于．
令，则，只需证．
构造（），则，
故在上单调递减，从而，即成立．
再证，不妨设，则该不等式等价于，
令，则，只需证，
构造（），
则，
故在上单调递增，从而，即成立．
（6）指数均值不等式：若，则.
【证明】设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即
把代入.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式.


题型一 双变量问题方法之同构构造函数
1．若对任意，，当时，，则a的取值范围为 ．
2．（2024·四川仁寿·月考）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围．

题型二 双变量问题方法之比值换元
1．已知函数.
(1)求出的极值点；
(2)证明：对任意两个正实数，且，若，则.
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．

题型三 双变量问题方法之差值换元
1．已知函数,若,且,求证:.
2．已知函数,若的两个零点为且,求的取值范围.

题型四 双变量问题方法之主元法
1．已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对任意的买数，证明：.
3．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）设，讨论函数在，上的单调性；
（3）证明：对任意的，，有．

题型五 双变量问题方法之对数（指数）均值不等式
1．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果，且，证明：.
2．已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
3．已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点，，求证：．

题型六 双变量题型之结合函数单调性
【技巧通法·提分快招】
1．已知为不相等的正实数，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)求的单调区间；
(2)设且，请判断与的大小，并证明.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数的取值范围．
5．（24-25高三下·海南·月考）已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：

题型七 双变量题型之结合极值（点）
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·江西·月考）已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)设函数有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
2．设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
3．（24-25高三下·江西·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求的零点个数；
(3)若有两个极值点，证明：当时，.

题型八 双变量题型之结合最值（含恒能成立）
1．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
2．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·山东德州·月考）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
5．已知函数，若存在，使得，则的最小值为 .
6．已知函数，，若，，则的最大值为 ．
7．（2024·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ．
8．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知函数，函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，使得成立，求的取值范围．
9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
10．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若函数有两个不同的零点m，n．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

题型九 双变量题型之结合零点
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数，若方程有两个根，证明:.
2．若，为函数的两个零点，且，求证：．
3．（2025·河南信阳·一模）已知函数，其导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，是函数的两个零点，求证：.
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)当时，有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间与极值；
(2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围.
6．（24-25高三下·云南临沧·月考）已知函数，
(1)当时，求在处的切线方程
(2)若恒成立，求的范围
(3)若在内有两个不同零点，，求证：．

题型十 双变量题型之不等式证明
1．（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在不相等的实数，使得，证明：．
2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
3．（2025·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得.证明：.
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的值；
(3)设不同正数m，n满足，证明：．
5．（2024·四川攀枝花·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
2．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知有两个不同的极值点，则下列说法不正确的（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·宁夏银川·月考）已知函数
(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.
6．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
8．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
9．已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
10．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)令，若存在，且时，，证明：．
11．（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
12．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)记函数，且的最小值为.
（i）求实数的值；
（ii）若存在实数满足，求的最小值.
13．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.
14．（2024·湖南益阳·一模）若函数.
(1)若，且曲线的切线过点，求直线的方程；
(2)证明：若，则；
(3)若恒成立，求的取值范围.
15．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
16．已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东广州·一模）（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选题）已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，讨论函数的单调性
(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．
4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
5．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
6．（24-25高三上·天津·月考）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)若有三个零点，，，且，求证：.
与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增.
与极值点有关的双变量问题
与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.