2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第06讲抛物线方程及其性质(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第06讲抛物线方程及其性质(学生版+解析)，共52页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略，会求抛物线的相关最值，816mB．1等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算
3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用
5.会求抛物线的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解，需重点强化训练
知识讲解
抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质

考点一、抛物线的定义
1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
1．（2023高三·全国·专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
考点二、抛物线的标准方程
1．（2024高三下·江西新余·专题练习）请写出一个以为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方程： .
2．（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点三、抛物线的几何性质
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 .
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（ ）
A．4B．C．2D．
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为F，P为抛物线上一点，且满足，设直线PF的倾斜角为，若，则点P的坐标为 .
1．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ．
2．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（23-24高三下·全国·开学考试）抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ）
A．2B．1C．D．
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
考点四、抛物线中的最值问题
1．（2024·陕西·二模）已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则 .
2．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 .
2．（2024·全国·二模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．4
4．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五、抛物线的简单应用
1．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）

A．0.816mB．1.33mC．1.50mD．1.63m
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
2．（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
一、单选题
1．（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．B．4C．D．8
2．（2024·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．2B．1C．D．4
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）
A．1或2B．2或4C．2或8D．4或8
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
10．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 .
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
3．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线的焦点，点在C上，过点的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为B．抛物线C的焦点为
C．直线与C不相切D．
5．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形D．的最小值为
三、填空题
6．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 .
7．（2024·福建福州·模拟预测）倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，则的最小值为 ．
8．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 .
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
10．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 .
1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
2．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
5．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
7．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
10．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
11．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第10题,6分
根据抛物线方程求焦点或准线
切线长
直线与抛物线交点相关问题
2023年新I卷，第22题,12分
抛物线标准方程
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
由导数求函数的最值
(不含参)
基本(均值)不等式的应用
求平面轨迹方程
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦点弦有关的几何性质
无
2022年新I卷，第11题,5分
根据抛物线方程求焦点或准线
判断直线与抛物线的位置关系
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
2022年新Ⅱ卷，第10题,5分
抛物线定义的理解
求直线与抛物线的交点坐标
数量积的坐标表示
已知两点求斜率
2021年新I卷，第14题,5分
根据抛物线方程求焦点或准线
根据抛物线上的点求标准方程
无
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分
根据抛物线方程求焦点或准线
已知点到直线距离求参教
2020年新I卷，第13题,5分
求抛物线焦点弦长
无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分
求抛物线焦点弦长
无
焦点位置
轴正半轴
轴负半轴
轴正半轴
轴负半轴
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
第06讲 抛物线方程及其性质
（5类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算
3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用
5.会求抛物线的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解，需重点强化训练
知识讲解
抛物线的定义
平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线
抛物线的图形
数学表达式
标准方程的推导
设，由定义可知：，等式两边同时平方得：
抛物线的标准方程及其几何性质
通径
通径长：，半通径长：
焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦点弦的性质

考点一、抛物线的定义
1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由知抛物线的准线方程为x=−1，设点Px0,y0，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
1．（2023高三·全国·专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.
【详解】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，
于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2，
因此动点P到直线的距离等于它到点的距离，
进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
故选：D
2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
【答案】或
【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案.
【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，则，即，所以；
当时，满足条件.
综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，.
故答案为：或
考点二、抛物线的标准方程
1．（2024高三下·江西新余·专题练习）请写出一个以为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方程： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】举例，再验证即可.
【详解】不妨取顶点为原点，设，则，解得，则.
故可举例.
故答案为：.
2．（2024·贵州毕节·三模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将点代入抛物线方程求出，再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为，
所以抛物线C的准线方程为.
故选：D.
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】过点作准线的垂线，设，得到，结合抛物线的定义，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为，
设，则，
由抛物线的定义得 ，
在直角中，可得，所以，
在直角中，因为，可得，
由，所以，解得，
因为，所以，解得，所以抛物线方程为.
故选：C.
.
1．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设抛物线的标准方程为，
将点点代入，得，解得，
所以抛物线的标准方程是.
故选：B
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设抛物线的方程为，设焦点关于准线的对称点为，求得，得到，进而得抛物线的方程.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
可得焦点坐标，准线方程为，
设焦点关于准线的对称点为，可得，解得，
因为点关于其准线的对称点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：A.
考点三、抛物线的几何性质
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 .
【答案】
【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可.
【详解】因为点在抛物线上，
代入抛物线中得，解得，所以
故抛物线的准线方程为，
所以到的准线的距离为.
故答案为：
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.
【详解】
过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为，
根据抛物线定义，有，
所以.
故选：A
3．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据在抛物线上可求的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.
【详解】因为在抛物线上，故，
整理得到：即，
解得或（舍），故焦点坐标为，
故所求距离为，
故选：D.
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为F，P为抛物线上一点，且满足，设直线PF的倾斜角为，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】活用抛物线定义，将转化成到准线距离，由得出，将倾斜角和结合焦点坐标用几何图形表示出来即可找到关系式求解的值，进而得和抛物线的方程，从而得得解.
【详解】由题可知，准线方程为，
如图，过P作交于点，则，
过F作交于点，则，，或，
又由以及倾斜角范围得，
所以有或，
又，故，此时，，
将代入得（舍去）或，故.
故答案为：.
1．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ．
【答案】2
【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可.
【详解】抛物线准线方程为，则点P到C的焦点距离为，所以．
故答案为：2.
2．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离.
【详解】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．
故选：A．
3．（23-24高三下·全国·开学考试）抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.
【详解】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，
所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确.
故选：A
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
【答案】8
【分析】设出线段MF的长度，再由已知条件表达出M的坐标，代入抛物线即可得出结果.
【详解】如图所示：
设，易求，作轴于点E，
因为 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ，
解得 或 (舍去
所以线段MF的长为8.
故答案为：8
考点四、抛物线中的最值问题
1．（2024·陕西·二模）已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则 .
【答案】/
【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式建立关系，再借助二次函数求出最小值即可得解.
【详解】依题意，设，于是，
则当时，，所以.
故答案为：
2．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.
【详解】如图所示：
由题意抛物线的准线为，它与轴的交点为，焦点为F1,0，
过点向抛物线的准线引垂线，垂足为点，
设圆的圆心为，已知圆与轴的交点为点，
，
且成立的条件是重合且重合，
综上所述，的最小值为3.
故选：C.
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先分析得的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.
【详解】如图所示，易知，直线过定点，
因为，所以Q在以为直径的圆上，
不妨设其圆心为，显然半径，
分别过作准线的垂线，垂足为，
结合抛物线定义有，
当且仅当均在线段上时取得等号.
故答案为：.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可.
【详解】如图，抛物线上点Px,y到圆心的距离为，

因此，当最小时，最小，
而，
当时，，因此PQ的最小值是．
故选：A.
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为，
又，，则点为抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，
设，则，故，
由抛物线的定义可得，
，
又，则设故，
则，
当时，取得最小值为，则，，
将代入抛物线可得，所以
故选：A
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】利用抛物线定义将所求距离转化为，然后利用三点共线求解最小值即可.
【详解】由题知点为焦点，由抛物线定义知就是点到准线的距离，如图，
设点在准线的射影为D，则，
此时三点共线，即当点纵坐标为时，的值最小，
最小值为.
故答案为：3
2．（2024·全国·二模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，根据给定条件，结合切线长定理及二倍角的余弦公式将的函数，再求出函数的最小值即得.
【详解】设点，则，
由切圆于点，得，且，
因此，
而，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：D
3．（2024·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【分析】按点在直线上及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式求出并判断得解.
【详解】设的坐标为，则，抛物线的焦点，准线方程为，
当点在直线上及右侧，即时，，当且仅当是与直线的交点时取等号，
此时，当且仅时取等号，
当点在直线左侧，即时，点关于的对称点是，则，
，
当且仅当是与直线的交点，且时取等号，而，
所以的最小值为.
故选：C
4．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，设，显然当时，，当时，，
要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．

设，，，则，即，
解得．
，故，即，
，故，
当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为．
故选：B.
考点五、抛物线的简单应用
1．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】B
【分析】建立适当的的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解.
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为．
易知抛物线过点，则，得，
所以，所以．
故选：B．
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）

A．0.816mB．1.33mC．1.50mD．1.63m
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.
【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为（），
由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，
设（，），则，则，
即可得，
所以截面图中水面宽的长度约为，
故选：D.
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【答案】60
【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案.
【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，
和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为，由题意可知，
代入可得，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，
故答案为：60
2．（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
3．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】A
【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解.
【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），
依题意可得抛物线的方程为．
因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，
则，所以点到桥面的距离为米．
故选：A.
一、单选题
1．（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为双曲线的右焦点为，
又抛物线的准线方程为，则，即.
故选：C
2．（2024·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，设，
联立直线与抛物线得，消去，得，
所以.
由抛物线的定义知.
而，故，解得.
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点到原点的距离为求出抛物线方程，再设点坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.
【详解】因为点到原点的距离为，
所以，解得，（负值舍），
将点代入抛物线方程y2=2pxp>0，得，所以，
所以.

由于抛物线关于轴对称，不妨设，
因为，，
所以为等腰三角形，，
所以，
所以，
解得或(舍)，
所以.
故选：D.
4．（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解.
【详解】由题意，得，即，
所以抛物线方程为.
故选：D.
5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．2B．1C．D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
【详解】因为到抛物线焦点的距离为2，
所以由抛物线定义知，，解得.
故选：A.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，将点坐标代入抛物线方程，求得，求出，即可求得的面积.
【详解】

将代入C的方程，得，故，
所以，则的面积.
故选：A.
7．（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解.
【详解】设，
因为的重心恰为F，则，解得，
由可知关于x轴对称，即，
则，即，
又因为，解得.
故选：D.
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）
A．1或2B．2或4C．2或8D．4或8
【答案】C
【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，，
其中，故，解得或8，
故选：C
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知且轴，设设，，结合抛物线方程分析求解.
【详解】由题意可知，且轴，
设，，则，可知，
所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为．
故答案为：.
10．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心的轨迹为，直线与交于两点，则 .
【答案】6
【分析】设点Mx,y，由题意得到，化简得圆心的轨迹方程为，将其与直线联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得.
【详解】
如图，设动圆的圆心Mx,y，由题意得，
两边取平方，，化简得，故圆心的轨迹方程为.
联立方程，消去整理得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
故.
故答案为：6.
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对称性可得，即点为的准线与轴的交点，作垂直于的准线于点，结合抛物线的定义可知()，结合图象可得当直线与相切时，最小，求出切线的斜率即可得答案.
【详解】依题意，，，设，则，解得，
即，点为的准线与轴的交点，
由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作垂直于的准线于点，
设，由抛物线的定义得，于是，
当直线与相切时，最大，最小，取得最小值，此时直线的斜率为正，
设切线的方程为，由消去x得，
则，得，直线的斜率为，倾斜角为，
于是，，所以的最小值为.
故选：A
2．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】设抛物线E的方程为，作，垂足为，连接后可得，当与抛物线相切时取得最小值，设出切线方程，利用切线过点，可求得切线的斜率，即可求得最小值.
【详解】设抛物线E的方程为，则点，准线方程为，
作，垂足为，
设直线与轴的交点为，连接,
当与不重合时，有,
由抛物线的定义知,
易知，当与抛物线相切时，取的最小值，
从而取得最小值，即取得最小值，
设Px0,y0，则抛物线在点的切线方程为，
由切线过点，故，
则，故的最小值为，
故，
当与重合时，易得，
故的最小值为，
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】设Px,y，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【详解】设Px,y，则PE的中点坐标为，代入，可得，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线，
由于，故在抛物线内部，
过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以，
故选：B．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线的焦点，点在C上，过点的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为B．抛物线C的焦点为
C．直线与C不相切D．
【答案】BD
【分析】根据抛物线过点代入可求出抛物线C的方程和焦点坐标可判断A、B；直线与抛物线联立，利用判别式等于0判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和两点间的距离公式分别求出，然后利用重要不等式，再比较大小即可
【详解】因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为，焦点坐标为1,0，故A错误， B正确．
可求得直线，又直线与对称轴不平行，
由得，
所以，故C错误．
设过点B的直线方程为，与抛物线在第一象限交于两点，
联立
消去y并整理可得，
则，
所以，
所以，故D正确．
故选：BD．
5．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形D．的最小值为
【答案】BD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.
【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，则，
整理得，解得或（舍去），
即抛物线，
所以准线方程为，焦点为F1,0，故A错误；
对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
则周长
，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，
则，
所以四边形不是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD
三、填空题
6．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为 .
【答案】
【分析】由点在抛物线上得到符合抛物线的方程即，表示出，把用表示，
当得到，当时利用均值不等式得到的最小值及等号成立条件得到此时点的坐标进而得到此时点到原点的距离.
【详解】设，则，所以，
当时，；
当时，，当且仅当即时取等号，所以，
由上可知，取最小值时，，所以.
故答案为：.
7．（2024·福建福州·模拟预测）倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为线段的中点，为上一点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由题意，根据给定条件，求出点的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．
【详解】易知抛物线的焦点，准线，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设,，,，
由韦达定理得，
此时线段的中点的横坐标，
过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可得
取得的最小值为8．
故答案为：8．
8．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 .
【答案】/
【分析】由题可知，，故，写出对应的坐标计算即可求解点的横坐标.
【详解】
因为抛物线的焦点为，则，
又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，
设，因为，
则，
所以，
解得（舍）或.即点的横坐标为，
故答案为：
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设Ax1,y1，，则，再由，可得，进而可得答案．
【详解】如图，
设Ax1,y1，，则，
依题意，四边形为矩形，
则，即，
所以，即，
则，
所以顶点的轨迹方程为，
故答案为:．
10．（2024·河北·模拟预测）抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 .
【答案】2
【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可．
【详解】设，则点到直线的距离为
,
当，即当时，
抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为.
故答案为：2．
1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】45/0.8
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
2．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

4．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
5．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
7．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得B(p3,−6p3)，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由OA⋅OB