山东省威海市环翠区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省威海市环翠区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，但和在实数范围内无意义，选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确，
故选：D．
2. 下列图形一定相似的是（ ）
A. 两个矩形B. 两个正方形
C. 有一个角是的两个等腰三角形D. 两个菱形
【答案】B
【解析】A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似；
B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似；
C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似；
D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似；
故选：B．
3. 若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原方程为：，
观察左边，可写成完全平方形式：，
根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即：，
解得：，
因此，c取值范围是，
故选：A．
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】D
【解析】由，设，（为非零常数），
将和代入，得，
，
故选：D．
5. 某种商品两次降价，每件售价从100元降到64元．则平均每次降价（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设平均每次降价，
则，
解得：，（舍），
即平均每次降价，
故选：A．
6. 下列根式和是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，和不是同类二次根式，不符合题意；
B、，和不是同类二次根式，不符合题意；
C、，和是同类二次根式，符合题意；
D、，和不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，过点A作轴于点E，
∵点B坐标，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，
且，
即点C的坐标，
∴相似比为，
∴点D的坐标为，
即，
故选：D．
8. 如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
A.∵四边形是菱形，∴，
故A选项不能判定菱形成为正方形；
B.∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，
∴B选项能判定菱形成为正方形；
C.由得，故C选项不能判定菱形成为正方形；
D.由四边形菱形，得，故D选项不能判定菱形成为正方形；
故选：B．
9. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵一元二次方程的根为，
∴，，，
∴该一元二次方程为，
故选：．
10. 如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】A.∵，，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
B.∵，
∴，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
C.∵，，
∴，
∴，故选项C错误，符合题意；
D.∵，，
∴，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C.
二、填空题
11. 如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______．
【答案】
【解析】根据题意，，，
∴，
故答案为：．
12. 二次根式有意义，则m的取值范围________．
【答案】
【解析】∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知，四边形是正方形，是等边三角形，则________．
【答案】或
【解析】如图所示，当点E在上方时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点E在下方时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
14. 已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为________．
【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程的两根为3，，
∴，，
∴，
∴化为，
即，
，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____．
【答案】2
【解析】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G，
∵，
∴．
∵D为BC中点，
∴G为CE中点，
即CG=EG．
∵E为AC中点，
∴AE=CE，
∴，即．
∵，
∴．
16. 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________．
【答案】
【解析】∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴整理得，，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求．
解：（1）
；
（2）
；
（3）∵，，
∴，
∴．
18. 用适当方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）定义：，解方程（根用i表示）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
解得.
19. 已知直线，点E，F分别在直线，上，连接．
（1）请用直尺和圆规作矩形，要求：点M在左侧，点N在右侧；（不写步骤，保留作图痕迹）
（2）证明：四边形为矩形．（要求：依据作图方法写出已知并证明）
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，交线段于O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交于M，连接并延长交于N，连接，则四边形即为所求；
（2）已知：，点O为的中点，，
证明：∵，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与相等且互相平分，
∴四边形为矩形．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵方程为一元二次方程，
∴，即，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为且．
（2）设方程两根为，
则，
代入得，，
解得：或，
经检验，或是方程的解，
当时，判别式，不符合实数根条件．
当时，判别式，符合条件．
综上，．
21. 如图，在四边形中，，，点E为边上一点，且，．过点E作，交于点F，连接交于点G，求证：．
证明：如图，连接，延长交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. （1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________．
（2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形．
（1）解：如图所示，过点E作于H，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
∴，，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（此时，舍去），
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
23. 如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度．
解：∵在中，，，，
∴，
设两点的运动时间是，
根据题意得，，，，，
当时，
则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
当时，
则，，
∵，
∴．
∴，
∴，，
解得：，
∴；
综上，或或．
24. 数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决．
（1）如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________；
（2）如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________；
（3）如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值．
解：（1）如图1，取中点记作点，连接，，，
记与的交点为点，连接，，
∵点E，点分别是，边中点，
∴，，，
在菱形中，，,
∴，，
∴点是点E关于的对称点，
∴，
∴当点F运动到点时，的最小值，即的长，
在菱形中，，，
∴，则为等边三角形，
∴，
∴，则为等腰三角形，
∵点是边中点，
∴，，
即，
又，，
∴，则，
在中，，
又∵，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）如图2，
∵四边形是矩形，
∴，，
在上取点H，使得，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在延长线上取点，使得，连接，则，
∴，当H、F、共线时取等号，
∴的最小值为，
∵，．
∴中，，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图，在下方，过C作，且，连接，，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，当A、F、P共线时取等号，
∴的最小值为的长；
过P作于H，延长线于Q，
则，
在中，，，，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴的最小值为．