2024-2025学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（含解析）卷

这是一份2024-2025学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（含解析）卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于向量a，b，下列命题中，正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若|a|>|b|，则a>b
C. 若a=b，则a//bD. 若a//b，则a=b
2.复数z=i⋅(3i+2)的实部为( )
A. −3B. −3iC. −2D. −2i
3.今年高考期间某市某日气温变化统计如图.根据图中信息，下列说法错误的是( )
A. 4：00气温最低B. 6：00气温为24℃
C. 14：00气温最高D. 气温是30℃的时刻为16：00
4.若cs(π3+α)+csα=0，则tanα=( )
A. − 33B. 33C. 3D. − 3
5.在△ABC中，AD=13AB，点E在线段CD上，若AE=λAB+13AC，则λ=( )
A. 16B. 13C. 29D. 23
6.范长江纪念馆坐落于范长江文化旅游园区，是收集保管、陈列展览、宣传范长江同志生平和思想的综合性名人纪念馆，于2009年在范长江诞辰100周年之际建成开馆.某同学为测量纪念馆的高度AB，在纪念馆的右侧有一旗杆CD，已知旗杆高约为15m，在地面上点E处(B,E,D三点共线)用仪器测得∠AEB=45°，∠CED=30°，在C处测得∠ACD=105°，则纪念馆的高度约为( )
A. 26mB. 30mC. 32mD. 42m
7.某学校举办了一次数学竞赛(满分：100分)，参加竞赛的学生共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男生得分的平均值和方差分别是88和2，女生得分的平均值为92，则女生得分的方差为( )
(参考公式：若总体划分为2层，各层样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−,s12；n,y−,s22，记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]}
A. 1.2B. 1.4C. 1.6D. 2
8.在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，|AB|=2，|BC|=2|AD|.若点P在线段BC上，则|PC+3PD|的最小值是( )
A. 72B. 4C. 92D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a,b满足a+b=(−2,1),a−b=(2,3)，则( )
A. 向量a为单位向量
B. |a|2−|b−|2=−1
C. 向量a与向量b的夹角的余弦值为 55
D. 向量a与向量b上的投影向量坐标为(45,25)
10.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是( )
A. 事件A与事件B不互斥B. 事件A与事件B相互独立
C. P(B)=2P(A)D. P(A)+P(B)0,ω>0,0=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=7×32−92 13×32 13=126；
(3)由(2)的坐标系可得：BM=λBC=λ(6,−3 3)=(6λ,−3 3λ)，MB=(−6λ,3 3λ)，
MA=MB+BA=(−6λ,3 3λ)+(−3,−3 3)=(−6λ−3,3 3λ−3 3)，
所以MA⋅MB=−6λ(−6λ+3)+3 3λ(3 3λ−3 3)=36λ2−18λ+27λ2−27λ
=63λ2−9λ=63(λ2−17λ)=63(λ−114)2−928，
因为0≤λ≤1，所以当λ=114时，MA⋅MB取得最小值．
(1)由平面向量的线性运算与模的公式计算即可求得；
(2)建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可求得；
(3)由(2)的坐标系和向量数量积的坐标运算可得MA⋅MB=63(λ−114)2−928，再由二次函数的最值即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，模的求解，向量的线性运算，属于中档题．
19.【答案】12 5；
3；
106．
【解析】(1)设a=7，b=8，c=9，
由题意可得S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]= 14[632−(81+49−642)2]= 632−3322=12 5；
(2)若 3a=a⋅csB+2csA且b=2，则 3a=a⋅csB+bcsA，
由正弦定理可得， 3sinA=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC，
由正弦定理可得，c= 3a，
所以S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]= 14[3a4−(3a2+a2−42)2]
= −a4+8a2−42= −(a2−4)2+122≤ 3，当a=2时取等号，此时b=2，c=2 3，
所以S的最大值为 3；
(3)若△ABC满足sinB+ 2sinA2sinA+2sinC=a−cb− 2a，则b+ 2a2(a+c)=a−cb− 2a，
即b2−2a2=2a2−2c2，即b2=4a2−2c2，
所以Sa2= 14[c2a2−(c2+a2−4a2+2c22a2)2]= c2a2−94(c2a2−1)22
= −94(c2a2)2+112⋅c2a2−942=3 −(c2a2)2+229⋅c2a2−14
=3 −(c2a2−119)2+40814≤34×2 109= 106，当且仅当c2=11k，a2=9k，b2=14k时取等号，
故Sa2的最大值为 106．
(1)直接代入公式S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]计算即可；
(2)由题意得c= 3a，结合b=2，代入公式S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]转换为a的函数即可求解；
(3)由题意得b2=4a2−2c2，代入公式S= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]转换为c2a2的函数即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．