第22讲 图形的相似-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第22讲图形的相似
核心考点1：比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果eq \f(a,b)=eq \f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
核心考点2：相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
核心考点3：相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
核心考点4：位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
图形的相似是非常重要的一块内容，内容相对较难，涉及到的题型也比较多。
1——考查黄金分割、比例性质
1．如果点C是线段的黄金分割点（），那么下列结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，
∴是和的比例中项，即，
∴，
∴选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，
故选：D．
【反思】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
2．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴；
故选：A．
【反思】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
2——考查相似的性质
3．已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可．
【详解】∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的相似比是，
故选A．
【反思】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
3——考查平行线分线段成比例定理
4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：，
，
，
解得，
故选：D．
【反思】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4——考查相似三角形的性质与判定
5．如图，，若，，则与的相似比是( )
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：B.
【反思】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若．
【详解】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得．
②若，
则，
，
解得或6．
则满足条件的长为2.8或1或6．
故选：C．
【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
7．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
【分析】在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得
【详解】解：在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D．
【反思】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到．
8．下列证方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：设网格中小正方形的边长为1，则给出的三角形三边长分别为，
A、三角形三边长分别是，
因为 ，
所以与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
B、三角形三边长分别是 ，因为 ，所以与给出的三角形的各边成比例，故此选项符合题意；
C、三角形三边长分别是，因为与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
D、三角形三边长分别是，因为 ，所以与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
故选：B．
【反思】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．
5——考查相似三角形的应用
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明，得到，求出，即可得到“步云阁”的高度．
【详解】解：，，
，
，
，，，
测得眼睛D离地面的高度为，
，
故选B．
【反思】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质时解题关键．
10．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（ ）
A．10米B．12米C．15米D．25米
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】∵，
即，
∴楼高米，
故选：C．
【反思】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键．
6——考查位似图形的性质
11．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得是位似图形，
故选：D．
【反思】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
7——考查相似三角形的性质与判定（解答题）
12．已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【分析】（1）用相似三角形的判定方法：两角对应相等的两三角形相似，找出，即可证明；
（2）用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，然后进行转换即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【反思】本题考查了相似三角形的判定方法及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
13．【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；
【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：；
【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________．
【分析】教材原题：根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比；
改编：根据得出，，进而得出，，即可求证；
应用：根据，可得，则，进而得出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】教材原题
解：∵，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴相似比为．
故答案为：，；
改编：证明：∵，
∴，．
∴，
∴，．
∴．
应用：∵，，
∴，
∴，则，
∵，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
【反思】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．
14．如图，是等腰直角三角形，，点D，E，F分别在边上，，的延长线与的延长线相交于点G．
(1)不添加辅助线，在图中找出一个与相似的三角形（不需证明）；
(2)若，求的长；
(3)若．求的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再说明即可解答；
（2）如图：过点E作，垂足为H，先证可得进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得、，最后根据线段的和差即可解答．
（3）过点C作，交于点M，可得，再根据三角函数可得，设，则，结合（2）可得，再证明可得，然后再证明可得即，解得，进而求得，最后代数求解即可．
【详解】（1）解：结论：．如下：
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图：过点E作，垂足为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：如图：过点C作，交于点M，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴的值为5．
【反思】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及构造相似三角形是本题的关键．
15．如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点．
(1)与是否相似？为什么？
(2)试问：与有什么关系？
【分析】（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；
（2），且．根据相似三角形的对应边成比例即可求得与的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得与的位置关系．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，；
又是中点，
；
，
，
，
又，
；
（2），且．理由如下：
由（1）知，，，
则，
；
，
，，
，
．
【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
——从不同角度思考问题，你会有不同收获
在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更大。
秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获
一、选择题
1．如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，，连接，过点O作交的延长线于P，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
3．如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为4，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则为（ ）
A．9B．12C．27D．36
5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，若，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知∽，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．12B．6C．D．
9．如图,在中，，，点从开始沿边向点以2个单位/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以4个单位/秒的速度移动，如果、分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似．
A．2B．C．或2D．或2
10．如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）
A．12B．15C．D．
二、填空题
11．已知，若的三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为______．
12．如图，中，，，，点在线段上运动，过点作，垂足为点，若与相似，则线段的长为________；
13．如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为______．
三、解答题
16．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，A，直接写出线段的长度为______．
17．如图，已知，，且，将边反向延长至点D，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
19．如图，是等腰直角三角形，，点D，E，F分别在边上，，的延长线与的延长线相交于点G．
(1)不添加辅助线，在图中找出一个与相似的三角形（不需证明）；
(2)若，求的长；
(3)若．求的值．
20．（1）如图1，中，，，，是上一点，，，垂足为，求的长．
（2）类比探究：如图2，中，，，点，分别在线段，上，，，求的长．
（3）拓展延伸：如图3，中，点，点分别在线段，上，，延长，交于点，，，， 求______．
一、选择题
1．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的H处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
5．四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A．B．4C．5D．
7．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
10．如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连结，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上．若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
11．在矩形中，，，点在边上，若与相似，则的长为______．
12．中，，，点、点分别为边、边上的点，连接，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则的长为______．
13．如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是_____________。
14．如图，正方形中，，，点P在上运动（不与B、C重合），过点P作，交于点Q，设．
（1）y与x的函数关系为______．
（2）______时，______．
15．如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为______．
三、解答题
16．如图，，且，点D在内部，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．
17．如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，速度为秒，动点同时从点开始沿边运动，速度为秒，当点P到达点时，，就不再运动．设，两点运动时间为秒，解决以下问题：
(1)证明：当时，；
(2)若与相似，求的值．
18．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接为上一点，且
(1)求证：
(2)若，，求的长
19．如图1，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为．
(1)若．
①如图2，当点落在上时，求证：，
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
20．【初步探索】
(1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．
(2)当的面积达到最大时，的度数为__________
(3)根据图2，求证：；
(4)根据图2，求的度数；
【类比应用】
(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．