湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）

这是一份湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 一个角的补角一定大于这个角
C. 直角三角形的两个锐角互余D. 一个角的余角一定小于这个角
【答案】C
【解析】、如果，那么，该选项错误，不符合题意，
、两个互补的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
、直角三角形的两个锐角互余，该选项正确，符合题意，
、两个互余的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
故选：．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形,是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
3. 一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】设该正多边形的一个外角为x，
根据题意，得，
解得：，
∴这个多边形的边数为，
故选：C．
4. 若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，-n）所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】∵点A（m，n）在第三象限，
∴m＜0，n＜0
∴|m|＞0，-n>0
∴点B（|m|，-n）所在的象限是第一象限
故选A．
5. 下列关系式中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，y是x的函数；
B、，y是x的函数；
C、，y是x的函数；
D、，当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数.
故选：D.
6. 某校为了了解七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图．请根据图示计算仰卧起坐次数在15～20次之间的频数是( )
A. 3B. 5C. 10D. 12
【答案】A
【解析】仰卧起坐次数在15～20次的频数是3，
故选A．
7. 在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则平行四边形ABCD中较小内角是（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
【答案】D
【解析】不妨设∠A：∠B=5：1，即∠A=5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=30°，
∴∠A=150°，
∴▱ABCD中较小内角为30°，
故选：D．
8. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
可知最小时，最小，
根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴的最小值为．
故选：D．
9. 如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒个单位长度的速度沿循环爬行，则第秒瓢虫所在位置的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
秒走过的路程为：，
的周长为，，
∴第秒瓢虫所在的位置是．
故选D．
10. 为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴A正确
∵B的图像没有停工期
∴B错误
∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴C、D错误
故选：A．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11. 如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为____米．
【答案】6
【解析】由题意得，在中，，，
∴，
∵树高为18米，
∴米，
∴，
∴米，
故答案为：6．
12. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是______．
【答案】
【解析】数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，
,
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
数轴上点表示的数是，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】将点向上平移3个单位，对应的点为，
，
点与点关于原点对称，
，
故答案为：．
14. 长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为______．
【答案】##
【解析】由题意，得：长方形的另一条边长为：，
∴；
故答案为：．
15. 一个样本容量为80的样本，最大值是137，最小值是67，取组距为10，则可分________ 组．
【答案】7
【解析】在样本数据中最大值为137，最小值为67，它们的差是137－67＝70，已知组距为10，那么由于70÷10＝7，故可以分成7组．
故答案为7．
16. 铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，______g．
【答案】79
【解析】当时，．
故答案为：79．
17. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】由图可知，一次函数与的图象交于点，
要使不等式，一次函数图象应在图象上方，解集为，
故答案为：．
18. 如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的处．若∠DAB=56°，则的度数为__________________．
【答案】96°
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，
∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°，
故答案为：96°．
三、解答题（本大题共8道小题，满分66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点的对应点分别为点）．
（1）直接写出点的坐标
（2）求出的面积．
（1）解：如图，
由平移方式可知，的坐标为，即，
的坐标为，即；
（2）解：
．
20. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．

证明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
21. 已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）判断线段与的数量关系，并证明．
（1）解：
（2）解：
证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，∴．
22. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长．
解：（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中．
∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；
（2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF=4 ∴AE=8，
设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=，
∴菱形BPEQ的周长=25．
23. 在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
解：（1）由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，
∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
24. 某学校在本学期开展数学拓展活动，为了解开展数学拓展活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展数学拓展活动初期的学习质量测评，第二次是开展数学拓展活动个月后的学习质量测评．根据测评的数学成绩制作了第一次测评的数学成绩频数分布直方图（如图，每一组包括左边端点，不包括右边端点）和第二次测评的数学成绩频数分布表（如表）．
第二次测评的数学成绩频数分布表：
根据以上图表信息，完成下列问题：
第一次测评的数学成绩频数分布直方图
（1）______；
（2）若分及以上为优秀．
①开展数学拓展活动个月后，请估计该校名七年级学生数学成绩优秀人数；
②请分别计算两次测评数学成绩的优秀率，并对开展数学拓展活动的效果进行分析．
解：（1）由第一次测评的数学成绩频数分布直方图可知参与总人数为：
（人），
根据两次开展数学拓展活动的人数相同，
，
故答案是：；
（2）①根据第二次测评的数学成绩频数分布表，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
该校名七年级学生数学成绩优秀的人数为：（人）；
②根据第一次测评的数学成绩频数分布直方图，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
由（2）①得第二次测评的数学成绩优秀率为：，
，
开展数学拓展活动对学生的学习质量有提升作用．
25. 如图，直线交两坐标轴于点．

（1）求直线的解析式；
（2）点的坐标为，连接．证明：，且线段；
（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．
解：（1）直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．
（2）方法一：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．

方法二：如图2，连接．
，
；
．
．
是等腰直角三角形．
，且．

方法三：由方法一可知：．
设直线的解析式为，可得
直线的解析式为．
又直线与的解析式的一次项系数的积．
．
（3）方法一：如图3．四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，
再向下平移3个单位可得到点．
将同样平移可得点．
也可以根据点平移到点的平移方式，由点A平移得出点的坐标．
方法二：如图4．四边形为正方形．
．
直线的解析式为．
设直线的解析式为．
又直线经过点．
．
直线的解析式为．
同理可得，直线的解析式为．
点是直线与直线的交点，
有解得点．
也可以用类似的垂直法得出点的坐标．

方法三：如图5．连接，两线交于点
四边形为正方形．
点是的中点，也是的中点．
，
点．
即点．
又点．

方法四：如图6．过点作轴于点．
可证得Rt．
得到．
．
点在轴的正半轴．
点在第四象限．
点．

26. 如图，一次函数的图象与轴的交点为，且经过点，点位于第一象限．
（1）若点的坐标为，求一次函数的解析式；
（2）若点的坐标为，设为射线上的一点，且，用含的代数式表示点的坐标．
解：（1）分别将，代入得：
，
解得：，
∴；
（2）分别将，代入得：
解得：，∴，
设，
由两点间的距离公式得：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
成绩
频数