山西省运城市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷+答案

这是一份山西省运城市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷+答案，共20页。试卷主要包含了答题时使用0，保持卡面清洁，不折叠，不破损等内容，欢迎下载使用。
2025.1
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等比数列中，，则数列的公比是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算求解即可.
【详解】因为数列是等比数列，，
设公比为，所以，解得，
故选：C
2. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时，与平行，
当时，与平行，均符合题意，
故选：C
3. 已知，则点到直线距离为（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的夹角和距离的坐标公式求解即可.
【详解】由题意，，则，，
所以与夹角的余弦值，
所以，
所以点到直线的距离，
故选：A
4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求出即可得解.
【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行，
所以由抛物线定义可知，
解得，
所以抛物线的标准方程为，
故选：D
5. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 36B. 28C. 24D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
又因为，所以，
所以，
故选：D
6. 如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，的中点为，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意判断四边形为平行四边形，得到三角形和三角形为等边三角形，则，再根据线面垂直判定定理可得为平面与平面所成角的平面角，解三角形即可求得.
【详解】取的中点，连接，
因为，，的中点为，则且，
则四边形为平行四边形，则，
则三角形为等边三角形，则，
又四边形为等腰梯形，则，
则三角形为等边三角形，则，
又因为平面平面，则，
又，平面，则平面，
又因为平面，则，
则为平面与平面所成角的平面角，
在中，，，则，
则.
故答案为：.
7. 若数列满足，则数列的前50项和为（ ）
A 2500B. 2550C. 2600D. 2650
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】由两式作差可得，
所以，
又，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以的前50项和为，
故选：C
8. 如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用两点距离公式可得，再利用和向量垂直的坐标表示可得，根据题意该一元二次方程至多有一个解，令即可.
【详解】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，
因为，所以设，，，，
由可得，解得，
因为，，，
所以，整理得，
由题意可得关于的一元二次方程至多有一个解，
所以，将代入整理得，
解得，所以，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当取最大值时，
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据题意求出等比数列的通项公式，根据等比数列的基础知识能判断,结合等比数列的通项公式及指数运算，等差数列的求和公式来判断C选项，最后结合二次函数指数函数的性质来判断D选项.
【详解】已知数列满足，可得该数列的首项为，公比为的等比数列.
根据等比数列的通项公式可知：，故A正确.
由等比数列的求和公式可知,故B错误.
因为为数列的前项积，所以，故C正确.
易知:
由函数的知识可知：当或时可取得最小值，
当取得最小值时，能取到最大值.故D错误.
故选：AC
10. 如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面为四边形
B. 若，则平面
C. 无论取何值，三棱锥的体积始终为
D. 异面直线与所成的角的余弦值的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，取，此时与重合，利用面面平行的性质及基本事实3，可得平面截正方体所得截面为五边形，即可求解；对于B，设面面于，利用面面平行的性质及平行的传递性，可得，再利用线面平行的判定定理，即可求解；对于C，利用，再利用棱锥的体积公式，即可求解；对于D，利用线线角的向量法，即可求解.
【详解】对于选项A，如图1所示，当时，，此时与重合，
不妨设面面，易知面，又面，
所以，连接，易知，所以，
设分别与延长线交于，连接，分别交于，
连接，
因，则面，所以面，又，则面，
所以面，同理可得面，
所以，当时，平面截正方体所得截面为五边形，故选项A错误，
对于选项B，当时，，此时为的中点，
设面面于，如图2所示，连接，
易知面，又面，面面，
所以，又，所以，又面，面，
所以平面，故选项B正确，
对于选项C，如图3所示，因为，
又易知，，得到，所以选项C正确，
对于选项D，以为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，
易知，所以，
又，得到，
所以，设异面直线与所成的角为，
则，
又，当时，，当时，，
又，所以，综上，，所以选项D正确，
故选：BCD.
11. 已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 的内心为，到轴的距离为1
C. 若，则的面积为
D. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确；
【详解】对于A，由双曲线的定义可得设，，
令，，则，
因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设的内切圆半径为，在右上，由双曲线方程可知，，
设三角形内切圆三边的切点分别为，如图，
由几何关系可得，
所以，解得，
所以，所以到轴的距离为1，故B正确；
对于C，设
则由余弦定理可得，
即，
又，所以，所以，故C错误；
对于D，设，渐近线方程，
点到渐近线的距离，
同理到渐近线的距离，
所以，
因为点在双曲线上，所以，代入上式可得点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知圆和圆，则圆与圆的公切线有______条.
【答案】
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为，
的圆心坐标为，半径为，
则圆心距为，
故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条，
故答案为：3
13. 已知数列满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由化简得，从而求出是1为首项，2为公差的等差数列，从而可求解.
【详解】由得，则，当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，即.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设的中点为，根据已知条件可得，设，结合椭圆的定义和勾股定理解出与的关系，再根据离心率公式求解即可.
【详解】如图所示，设的中点为，
因为，，所以，
设，则，由可得，所以，
在中，①，
在中，②，
在中，③，
由①②③联立解得，，
所以在中，解得，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆，圆经过点，且与圆相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程；
（2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程.
【小问1详解】
圆的圆心，半径为3，
设圆的圆心坐标为，半径，
∴，解得，
∴圆的的方程为.
【小问2详解】
若直线斜率不存在，此时：，
由，解得，
此时弦长为，符合题意，
若直线的斜率存在，设：，
∵直线被圆截得的弦长为，
∴圆心到直线距离，
因为：，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上：直线的方程为或.
16. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.
（1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?
【答案】（1）
（2）这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大
【解析】
【分析】（1）由题意可知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，所以可以设出纯收益和使用年数n的关系式；
（2）根据年平均收益函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值.
【小问1详解】
由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，
【小问2详解】
年平均收入为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大.
17. 如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
因为分别为的中点，所以，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是二面角的平面角，所以，
因为，所以为等边三角形，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以.
【小问2详解】
设中点为，由（1）知两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则 所以，
，.
设与平面所成的角为，则.
18. 已知为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.
（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.
（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围．
【小问1详解】
当时，，可得，
当时，，可得，
∴是首项、公比都为的等比数列，故.
【小问2详解】
由（1），，
∴.
【小问3详解】
由题设，，
∴，
则，
∴，
由对一切恒成立，
令，则，
∴数列单调递减，
∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，
当为偶数，恒成立且在上递增，则，
综上，.
19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.
步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点.
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）直线与曲线交于两点，，且平分，求的中点到点的最小距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得的方程，即可得到结果；
（2）设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到点的轨迹方程，从而得到结果.
【小问1详解】
以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知且，
则椭圆以为左右焦点，长轴长，焦距，
则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率存在，
设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，即，
因为平分，则，
整理可得，
则，
整理可得，则或，
若，则直线过点，不合题意；
若，则，
且，解得，
当直线过，则，可知
可知中点点的轨迹为，
可知垂直且过的直线方程为，
联立方程，解得，
所以中点M到点的最小距离即为点到直线的距离.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；