专题25 圆压轴综合和切线的性质定理（5大考点）练习含答案--2026年中考数学一轮专题

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TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176732688" 一、考点01 线段问题 PAGEREF _Tc176732688 \h 1
\l "_Tc176732689" 二、考点02 角度问题 PAGEREF _Tc176732689 \h 6
\l "_Tc176732690" 三、考点03圆与三角形综合 PAGEREF _Tc176732690 \h 10
\l "_Tc176732691" 四、考点04 圆与四边形综合 PAGEREF _Tc176732691 \h 13
\l "_Tc176732692" 五、考点05 切线的性质定理 PAGEREF _Tc176732692 \h 16
考点01 线段问题
一、考点01 线段问题
1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
3．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.

(1)求证：；
(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
4．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
6．（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）
问题解决
（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
7．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且．
(1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
(2)已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
8．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边AB上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交CB，于点，，联结交于点．

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
(3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与AD相切于点，与相交于点．
(1)求证：AB与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
10．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
(1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
11．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
12．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
13．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与CD的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）
考点02 角度问题
二、考点02 角度问题
14．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
15．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点．
问题1 和的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
16．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
17．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、1,0、0,4，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
18．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
考点03 圆与三角形综合
三、考点03 圆与三角形综合
19．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知内接于，为的直径，N为的中点，连接交于点H．

(1)如图①，求证；
(2)如图②，点D在上，连接，，，交于点E，若，求证；
(3)如图③，在（2）的条件下，点F在上，过点F作，交于点G．，过点F作，垂足为R，连接，，，点T在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点M，若，求的长．
21．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．

(1)求证：；
(2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
22．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
23．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．

(1)填空：的度数是_________，的长为_________；
(2)求的面积；
(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
24．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．

(1)如图1，当，的长为时，求的长．
(2)如图2，当，时，求的值．
(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
25．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；
(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
(3)设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
考点04 圆与四边形综合
四、考点04 圆与四边形综合
26．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
27．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）

A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
28．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
29．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
(2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
30．（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以CE为直径的经过AB上的点，与交于点，且．
(1)求证：AB是的切线；
(2)若，，求的长．
31．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
32．（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径AB交CD于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求DE的长；
②求的半径．
考点05 切线的性质定理
五、考点05 切线的性质定理
33．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
34．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
35．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，AB为的直径，将沿直线AB翻折到，点在上．连接CD，交AB于点，延长BD，CA，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
36．（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
37．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
38．（2024·湖北·中考真题）中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
(1)求证：是的切线．
(2)连接交于点，若，求弧的长．
39．（2024·青海·中考真题）如图，直线经过点C，且，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若圆的半径为4，，求阴影部分的面积．
40．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
41．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．
(1)求的长；
(2)求的半径．
42．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
43．（2024·甘肃·中考真题）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为2，时，求的值．
44．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
(1)求证：为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留）
45．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
46．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
47．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，求的面积．