第二章《轴对称》提升卷—2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测（有答案）

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第二章《轴对称》提升卷—2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测 一、选择题 1．围棋是一种棋类游戏，属于琴棋书画四艺之一，其起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．现需要在某条街道上修建一个核酸检测点P，向居住在A，B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A，B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是由4个相同的小正方形组成，△ABC 的顶点都落在小正方形的顶点上，则与△ABC 成轴对称，并且顶点都落在小正方形的顶点上的三角形有(　　). A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5． 已知△ABC（AC>AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得SΔABP=SΔACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC=BC⋅AH D．AB=AD 8．如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOB C．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180° 10．如图，△ABC是等边三角形，BC=1，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB,AC于点D,E，则BD的长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．23 二、填空题 11． 如图，在△ABC中，某同学用尺规作图的方法在BC上作出D、E点，若BD=2，CD=7，则△ADE的周长为　 　． 12．如图，设l1和l2是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在l1和l2之间，小球在镜l1中的像为A'，A'在镜l2中的像为A"，若l1，l2的距离为7，则 AA''=　 　. 13．如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点P1落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2恰巧落在ED上．若PE=5，PD=5.5，ED=6.5，则线段P1P2的长为　 　． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　． 15．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是　 　cm。 16． 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 为BC 边上一点，连接 AD，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是　 　. 三、解答题 17．如图，网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）△A1B1C1的面积为_____________； （3）在x轴上找一点P，使PA1+PB的和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足．求证：DE=DF． 针对这道题，三位同学进行了如下讨论 小温：“需要利用全等证明．” 小州：“要证线线段相等，我想到了角平分线．” 小市：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AB上一个动点． （1）当∠A=2∠BCD，AD=CD时，求∠BCD的度数． （2）已知∠A=2∠BCD，求证：AD+AC=2AB 20．如图①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于点M，连接CM． （1）求证：BE=AD； （2）用含 α 的式子表示∠AMB的度数； （3）当α=90°时，AD，BE的中点分别为点P，Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并证明． 21．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （2）图2是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （3）在△ABC中，其最小的内角∠C=24°，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出∠ABC的度数． 22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F分别是AB，AC上的动点（不与B，C重合），点O是BC的中点，连接AO． （1）如图1，当∠EOF=90°时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥AC，垂足为H，若AE=4，AF=10，请求HF的长； （3）如图3，当∠EOF=45∘时，连接EF，若AO=7，AE:AF:EF=3:4:5，请求△AOF的面积． 23．项目式学习 24． 综合与实践——万花筒里的数学 【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律. 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称 【数学探究】 探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 ∠AOB 为 90° 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 P1. （1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 P2（不限作图工具）； （2） 像 P1，像 P2 会在镜子中再次轴对称成像，像 P1 关于 OB1 的轴对称图形是像 P3，像 P2 关于 OA1 的轴对称图形是像 P4，请分析像 P3 与像 P4　 　 重合（填写“是”或“否”）. （3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 ∠AOB 大小是 360° 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的. 改变张角∠AOB的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： ①在这个变化过程中， ▲ 是自变量， ▲ 是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量y与∠AOB的度数x的关系式： ▲ .  答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】9 12．【答案】14 13．【答案】6.5 14．【答案】6 15．【答案】12 16．【答案】45°或36° 17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作的三角形； （2）5 （3）解：如图，点P即为所求作的点．连接PB，则PB=PD，∴PB+PA1=PD+PA1，∵两点之间线段最短，∴此时PD+PA1最小，即PA1+PB最小． 18．【答案】证明：小温的证明方法：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，∴∠BED=∠CFD=90°，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BED和△CFD中，∠BED＝∠CFD∠B＝∠CBD＝CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．小州的证明方法：如图，连结AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，∴DE=DF．小市的证明方法：如图，连结AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵BD=CD=12BC，∴S△ABD=S△ACD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足，∴S△ABD=12AB•DE，S△ACD=12AC•DF，∴12AB•DE=12AC•DF，∴DE=DF． 19．【答案】（1）解：设∠BCD=x，则∠A=2∠BCD=2x， ∵AD=CD， ∴∠A=∠ACD， ∴∠ACD=2x， ∵∠A+∠B+∠BCD+∠ACD=180° ∴2x+90°+x+2x=180°， 解得x=18°， 即∠BCD=18° （2）解：如图，延长AB到点E，使BE=BA，连接CE， 又∵∠ABC=90°， ∴BC⊥AE， ∴BC是AE的垂直平分线， ∴CE=CA， ∴∠BCE=∠BCA， ∵∠ECD=∠BCE+∠BCD=∠BCA+∠BCD=∠DCA+2∠BCD=∠DCA+∠A=∠EDC， ∴DE=CE， ∴AD+AC=AD+CE=AD+DE=AE=2AB， 即AD+AC=2AB 20．【答案】（1）证明：如图1，∵∠ACB=∠DCE=α， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE， ∴△ACD≌△BCESAS， ∴BE=AD． （2）解：如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°−∠ACB=180°−α，∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+(∠ABC+∠CBE)=(∠BAM+∠CBE)+∠ABC=(∠BAM+∠CAD)+∠ABC=∠BAC+∠ABC=180°−α，在△ABM中，∠AMB=180°−(∠BAM+∠ABM)=180°−(180°−α)=α． （3）解：△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得BE=AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP=12AD=12BE=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP与△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ，∴△ACP≌△BCQSAS，∴CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ为等腰直角三角形． 21．【答案】（1）解：如图即为所求：∴AH为所画的“二分线”. （2）解：如图即为所求：∴DE，EC为所画的“三分线”. （3）解：∠ABC的度数为108°或72°或90° 22．【答案】（1）解：全等；理由如下：证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° 点O是BC的中点，∴AO=OC=BO，∠AOC=90°，∠B=∠EAO=∠C=45°∵∠EOF=90°，∴∠AOE=∠EOF−∠AOF=90°−∠AOF，∠COF=∠AOC−∠AOF=90°−∠AOF，∴∠AOE=∠COF在△AOE和△COF中，∠EAO=∠CAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COFASA； （2）解：由（1）△AOE≌△COF，∴AE=CF=4，∵AF=10，∴AC=AF+CD=10+4=14，∵OA=OC，OH⊥AC，∴CH=AH=12AC=7，∴FH=CF−CF=7−4=3； （3）解：过O作EO⊥OD，交AC于D，如图所示：∴∠EOD=90°，∵∠EOF=45°，∴∠DOF=∠DOE−45°=90°−45°=45°，∴∠EOF=∠DOF=45°，由（1）得△AOE≌△COD，∴OE=OD，AE=CD，在△EOF和△DOF中OE=OD∠EOF=∠DOF=45°FO=FO∴△EOF≌△DOFSAS，∴EF=DF，∴CF=CD+DF=AE+EF，即AC=AF+FD+DC=AE+AF+EF，设AE=3x，则AF=4x，EF=5x，∴AC=3x+4x+5x=12x，∴AF=412AC=13AC，∵AO=CO=7，∴S△AOC=12AO⋅CO=492，∴S△AOF=13S△AOC=13×492=496． 23．【答案】解：（1）任务一：图形如图所示： （2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 24．【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求； （2）是 （3）①∠AOB（或x ）；观察到的图形数量（或y ）； ② 补充上述表格5：③y=360x（或y=360÷x ）.项目主题设计与制作风筝项目背景风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．驱动任务一（1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二（2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条AC与BD的交点为O（如图2），测得AD=CD，AB=CB．下面结论错误的是_________（单选题） A．BD平分∠ADC B．△ABO≌△CBO C．BD=AC D．AC⊥BD驱动任务三（3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若AC=36cm，BD=50cm．则风筝ABCD面积是_________cm2项目小结（4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________∠AOB的度数x/度45607290120观察到的图形数量y/个86▲43