2023年九年级数学上册《一元一次方程的解法一》知识考点练习（含答案）

这是一份2023年九年级数学上册《一元一次方程的解法一》知识考点练习（含答案），共32页。试卷主要包含了直接开平方法，直接开平方法解方程，配方法解一元二次方程，利用配方法求最值等内容，欢迎下载使用。
题型精析
知识点一 直接开平方法
题型一 直接开平方法的使用条件
例1
若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
例2
如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
变1
关于的方程无实数根，那么满足的条件是
变2
若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
题型二 直接开平方法解方程
例1
解方程：．
例2
解方程：．
变1
解方程：．
变2
方程的根是______．
知识点二 配方法
题型三 配方法解一元二次方程
例1
一元二次方程，配方后可变形为（ ）
例2
将方程配方成的形式为（ ）
变1
一元二次方程，经过配方可变形为（ ）
变2
用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ）
例3
用配方法解下列方程：
变3
用配方法解方程：
知识点三 配方法的应用
题型四 利用配方法求最值
例1
填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
变1
填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
例2
小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式的最小值为______；
（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．
变2
阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值.
例3
无论x取何值，代数式的值（ ）
例4
的最大值为______．
变3
求证：无论x为何值，代数式的值必不小于．
变4
当______时，代数式有最小值为______．
例5
已知代数式A=3x2-x＋1，B=4x2＋3x＋7，则A______B（填＞，＜或=）．
变5
已知，则______．(填“”“”或“”)
例6
已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．
例7
已知实数满足，则代数式的最小值等于（ ）
例8
若，则p的最小值是（ ）
变6
已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于______．
变7
已知实数a、b满足a-b2=4，则代数式a2-3b2+a-14的最小值是______．
变8
整式的最小值为______．
课后强化
1.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ）
2.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
3.方程的根是（ ）
4.解方程：．
5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
6.把方程化成的形式，则（ ）
7.把方程的左边配方后可得方程（ ）
8.用配方法解下列方程：
9.用配方法解下列方程：
10.代数式的最小值为______．
11.用配方法证明：的最小值是．
12.对于任意的实数，代数式的值是一个（ ）
13.设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
14.不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值（ ）
15.实数a，b满足a2+b2-2a=0，则4a+b2的最大值______．
知 识
考 点
直接开平方法
1.直接开平方法的使用条件
2.直接开平方法解一元二次方程
配方法
3.配方法解一元二次方程
4.利用配方法求最值
分类
直接开平方法
形如，可以用直接开平方法解方程.
【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根；
2.时，方程有两个相等的实数根；
3.时，方程有两个不相等的实数根.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
分类
配方法
将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程.
【配方法的步骤】
1.先将方程化为一般形式：；
2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”；
3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.利用直接开平方法解方程.
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
分类
平方的非负性
1.是非负数，即，此外.
2.有最_____值，此时_____；
3.有最_____值，此时_____；
4.有最_____值，此时_____,
利用配方法求最值
将式子配方为或，根据平方的非负性，则：
1.有最_____值，此时_____；
2.有最_____值，此时_____.
A．总是大于8
B．总是不小于8
C．总是不小于11
D．总是大于11
A．1
B．-4
C．-8
D．无法确定
A．2021
B．2015
C．2016
D．没有最小值
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．
D．，
A．
B．
C．
D．
A．17
B．14
C．11
D．7
A．
B．
C．
D．
（1）
（2）
（1）
（2）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．无法确定
A．M＞N
B．M≥N
C．M≤N
D．不能确定
A．总是大于7
B．总是不小于9
C．总是不小于-9
D．为任意有理数
一元二次方程的解法（1）
考点先知
题型精析
知识点一 直接开平方法
题型一 直接开平方法的使用条件
例1
若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
方程有实数根，
，
，
故选：．
例2
如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
变1
关于的方程无实数根，那么满足的条件是
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：当时，方程无解．
即．
故选：．
变2
若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
【分析】由于方程有两个实数根，则，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
所以．
故选：．
题型二 直接开平方法解方程
例1
解方程：．
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：
移项，得，
，
解得，．
例2
解方程：．
【答案】，
变1
解方程：．
【分析】用直接开方法解方程即可．
【解答】解：，
，
，
，．
变2
方程的根是______．
【分析】直接开平方即可得出答案．
【解答】解：，
或，
解得，，
故答案为：，．
知识点二 配方法
题型三 配方法解一元二次方程
例1
一元二次方程，配方后可变形为（ ）
【答案】D
【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴．
故选：D．
例2
将方程配方成的形式为（ ）
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A．
变1
一元二次方程，经过配方可变形为（ ）
【答案】A
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：A．
变2
用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ）
【答案】A
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都除以2再都加上，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：A．
例3
用配方法解下列方程：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（2）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（3）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（4）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（3）解：，
∴，
∴，
即，
解得：；
（4）解：，
，
，
，
∴，
解得：．
变3
用配方法解方程：
【答案】(1)
(2)，
(3)，
(4)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（3）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（4）根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴
即，
解得
（2）解：
即，
解得
（3）解：
，
∴，
解得，；
（4）解：
∴，
∴，
∴，
解得．
知识点三 配方法的应用
题型四 利用配方法求最值
例1
填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
变1
填空：
（1）当_____，有最_____值_____；
（2）当_____，有最_____值_____；
例2
小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式的最小值为______；
（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最大值即可．
【详解】（1）解：原式，
无论取何值，，
，
则的最小值为，
故答案为：；
（2），
，
原式
，
则的最大值为17．
变2
阅读理解：求代数式的最小值.
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；
（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值是9；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，最大值为．
例3
无论x取何值，代数式的值（ ）
【答案】B
【分析】将代数式配方，得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴代数式的值总是不小于8，
故选：B．
例4
的最大值为______．
【答案】
【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式取得最大值，
故答案为：．
变3
求证：无论x为何值，代数式的值必不小于．
【答案】证明见解析
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴无论x为何值，代数式的值必不小于．
变4
当______时，代数式有最小值为______．
【答案】 3
【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．
【详解】解：，
当时代数式取得最小值，最小值为，
即时，代数式的最小值为，
故答案为：3；．
例5
已知代数式A=3x2-x＋1，B=4x2＋3x＋7，则A______B（填＞，＜或=）．
【答案】