2023年九年级数学上册《一元一次方程的解法二》知识考点练习（含答案）

这是一份2023年九年级数学上册《一元一次方程的解法二》知识考点练习（含答案），共35页。试卷主要包含了因式分解法，公式法解一元二次方程，十字相乘法解一元二次方程，换元法解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
题型精析
知识点一 因式分解法
题型一 提公因式法解一元二次方程
例1
方程的解是（ ）
例2
一元二次方程的解是（ ）
变1
一元二次方程的解为（ ）
变2
一元二次方程的根是（ ）
例3
解下列方程：
例4
解下列方程：
变3
解下列方程：
变4
解下列方程：
题型二 公式法解一元二次方程
例1
解方程：.
例2
解方程：.
变1
解下列方程：
.
变2
解方程：．
题型三 十字相乘法解一元二次方程
例1
解下列方程：
变1
解下列方程：
例2
解下列方程：
变2
解下列方程：
例3
判断下列方程是否可以用十字相乘法：
（1）_____；（2）_____；（3）_____；
（4）_____；（5）_____.
变3
判断下列方程是否可以用十字相乘法：
（1）_____；（2）_____；（3）_____；
（4）_____；（5）_____.
知识点二 换元法
题型四 换元法解一元二次方程
例1
解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：__________．
变1
在利用方程求时，辰萱同学令则原方程转化为__________．
例2
若，则的值为（ ）
例3
已知实数满足，则的值是（ ）
变2
已知，求的值为______．
变3
已知实数满足，则代数式的值是______．
例4
阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）；
（2）．
变4
阅读与思考：
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：①；②．
课后强化
1.方程的根是（ ）
2.一元二次方程的根为（ ）
3.方程的解是（ ）
4.将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
5.若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
6.解方程：
7.方程的两个根为（ ）
8.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
9.已知等腰的边是方程的根，则的周长为（ ）
10.解下列方程：
11.若，则（ ）
12.已知，则______．
13.已知为实数，且满足，则的值是______．
14.阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
原方程的解为或．
（1）上面的解题方法，利用______法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：．
15.阅读材料：
为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，．
当，时，，．；
当时，，．．
故原方程的解为，，，．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：；
（3）请利用以上知识解方程：．
知 识
考 点
因式分解法
1.提公因式法解一元二次方程
2.公式法解一元二次方程
3.十字相乘法解一元二次方程
换元法
4.换元法解一元二次方程
内容
因式分解法
提公因式法解一元二次方程
公式法解一元二次方程（主要是平方差公式）
十字相乘法解一元二次方程
【注意】配方法与公式法是万能解法，所有题都能用，但是因式分解法类似于简便方法，并不是所有一元二次方程都能用.
A．
B．
C．或2023
D．或
A．
B．
C．，
D．，
A．
B．，
C．，
D．
A．0或3
B．0
C．0或2
D．2
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
内容
十字相乘法
习惯养成：将一元二次方程化为一般形式（a，b，c都为整数，且a>0）.
十字相乘法：用两边凑中间.
【注意】并不是所有一元二次方程都能用十字相乘法，能够由两边凑出中间才能用十字相乘法.
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
内容
换元法
把一个整体换元为另一个未知数，再利用一元二次方程的解法求解.
A．
B．4
C．或4
D．3或4
A．
B．或6
C．6
D．6或4
解方程，
解：设，
则原方程可化为：①，
解得，
当时，，，
当时，，，
原方程的解为：，，，
A．，
B．
C．，
D．
A．
B．，
C．，
D．，
A．，
B．，
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．16
B．18
C．15或17
D．16或18
（1）
（2）
（3）
（4）
A．，
B．，
C．，
D．，
A．10
B．8
C．8或10
D．6或10
A．9
B．9或12
C．6或15
D．6或12或15
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
A．
B．4
C．或4
D．或3
一元二次方程的解法（2）
考点先知
题型精析
知识点一 因式分解法
题型一 提公因式法解一元二次方程
例1
方程的解是（ ）
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或2023．
故选：．
例2
一元二次方程的解是（ ）
【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
变1
一元二次方程的解为（ ）
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：，
，
，，
故选：．
变2
一元二次方程的根是（ ）
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
，
或，
，，
故选：．
例3
解下列方程：
【答案】（1），(2)，
【解析】（1），
，
，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
整理得，
∴，
∴或，
解得，．
例4
解下列方程：
【答案】（1）(2)
【详解】（1），
，
，
或，
．
（2）解：移项，得，
即，
进一步可变形为，
∴或，
解得：；
变3
解下列方程：
【答案】(1)，
（2），
【详解】（1）解：
∴
即
∴，
解得：，．
（2），
，
，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，．
变4
解下列方程：
【答案】（1），；（2），
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，．
（2）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
题型二 公式法解一元二次方程
例1
解方程：.
【答案】，；
【详解】解：移项得，
∴，
∴或，
∴，；
例2
解方程：.
【答案】
变1
解下列方程：
.
【答案】（1）
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2），
，
所以，；
变2
解方程：．
【解答】，
，
或，
所以，．
题型三 十字相乘法解一元二次方程
例1
解下列方程：
【解答】解：（1），
，
或，
所以，；
（2），
，
或，
解得，；
（3），
，
或，
，；
（4）解：
，
或，
解得：，．
变1
解下列方程：
【解答】（1）解：
∴，
∴，
即，
∴，
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
（4）∵，
∴，
∴，，
解得．
例2
解下列方程：
【解答】解：（1），
，
或，
解得，．
（2），
因式分解得：，
或，
，；
（3），
，
或，
所以，．
（4），．
变2
解下列方程：
【解答】解：（1），
，
或，
，．
（2），
或，
所以，；
（3）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，．
（4）解：原方程即为，
∴，
∴或，
解得：.
例3
判断下列方程是否可以用十字相乘法：
（1）_____；（2）_____；（3）_____；
（4）_____；（5）_____.
变3
判断下列方程是否可以用十字相乘法：
（1）_____；（2）_____；（3）_____；
（4）_____；（5）_____.
知识点二 换元法
题型四 换元法解一元二次方程
例1
解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：__________．
【分析】根据换元法，设，代入原方程即可求解．
【解答】解：设，则原方程可化为：．
故答案为：．
变1
在利用方程求时，辰萱同学令则原方程转化为__________．
【分析】令，则原方程转化为．
【解答】解：令，则原方程转化为，
例2
若，则的值为（ ）
【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解该方程求得的值即可．
【解答】解：设，则：
．
整理，得．
所以或．
所以或（舍去）．
即的值为4，
故选：．
例3
已知实数满足，则的值是（ ）
【分析】设，由原方程得到，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则．
整理，得．
所以或．
解得或．
当时，，即，此时△，该方程无解．
综上所述，．
故选：．
变2
已知，求的值为______．
【分析】设为，利用换元法解答即可．
【解答】解：设为，可得：，
，
解得：，（不合题意舍去），
所以的值是3．
故答案为：3．
变3
已知实数满足，则代数式的值是______．
【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．
【解答】解：已知方程分解因式得：，
可得或（无解），
．
故答案为：5．
例4
阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值；
（2）设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用公式法求得的值．
【解答】解：（1）设，则原方程可化为，
整理，得，
解得，．
当时，即，
解得，
当时，即，
解得．
综上所述，原方程的解为，；
（2）设，则原方程可化为，
整理，得，
解得，．
当时，即，
，
当时，无解．
原方程的解为，．
变4
阅读与思考：
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：①；②．
【分析】（1）根据题中给出的解一元二次方程的方法即可直接得出结论；
（2）①利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
②利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的体现了转化的数学思想．
故答案为：转化；
（2）①设，原方程可变为，
则，
或，
，，
当时，，解得；
当时，，解得
原方程的解为，，，．
②设，原方程可变为，
解得，，
，
，
解得，．
课后强化
1.方程的根是（ ）
【分析】观察发现此题用因式分解法比较简单，在提取后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出．
【解答】解：因式分解得：，
或，
解得：或．
故选：．
2.一元二次方程的根为（ ）
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：原方程可化为，
，
，．
故选：．
3.方程的解是（ ）
【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
4.将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程．
【解答】解：，
，
则，
或，即或，
故选：．
5.若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：将变形为，
解得：，，
三角形两边长分别为5和4，
第三边的边长，
即第三边的边长在1和9之间，
第三边的边长为7．
这个三角形的周长是．
故选：．
6.解方程：
【分析】利用因式分解法求解．
【解答】（1）解：原方程变形为：
，
因式分解：，
或，
解得：，．
（2），
整理得：，
因式分解得：，
即，
或，
，．
（3）解：移项得，，
提取公因式得，．
故或，
解得，．
（4），
，
，
，．
7.方程的两个根为（ ）
【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
8.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．
【解答】解：，
，
解得，，
当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；
当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是．
故选：．
9.已知等腰的边是方程的根，则的周长为（ ）
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，根据等腰三角形的性质，等腰的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的的周长．
【解答】解：，
，
或，
所以，，
当等腰的边长分别为5、5、2时，的周长为；
当等腰的边长分别为5、5、5时，的周长为；
当等腰的边长分别为2、2、2时，的周长为，
综上所述，的周长为6或12或15．
故选：．
10.解下列方程：
（1）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，；
（2），
（3），
（4），
（5）解：，
∴.
（6）解：，
，
∴或，
∴，．
11.若，则（ ）
【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解该方程求得的值即可．
【解答】解：设，则原方程转化为，
整理，得，
解得，（舍去）．
则．
故选：．
12.已知，则______．
【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则原方程转化为，
整理，得．
解得，．
所以或．
故答案为：3或．
13.已知为实数，且满足，则的值是______．
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案．
【解答】解：设，原方程等价于．
解得或（不符合题意，舍），
，
故答案为：6．
14.阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
原方程的解为或．
（1）上面的解题方法，利用______法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：．
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：，
设，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
原方程的解为或．
15.阅读材料：
为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，．
当，时，，．；
当时，，．．
故原方程的解为，，，．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：；
（3）请利用以上知识解方程：．
【分析】（1）根据换元法的方法解答；
（2）利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程；
（3）利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元；转化；
（2）设，
原方程可变为，
则，
或，
，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
原方程的解为，，，；
（3）设，
原方程可变为，
解得，，
，
，
解得，．
知 识
考 点
因式分解法
1.提公因式法解一元二次方程
2.公式法解一元二次方程
3.十字相乘法解一元二次方程
换元法
4.换元法解一元二次方程
内容
因式分解法
提公因式法解一元二次方程
公式法解一元二次方程（主要是平方差公式）
十字相乘法解一元二次方程
【注意】配方法与公式法是万能解法，所有题都能用，但是因式分解法类似于简便方法，并不是所有一元二次方程都能用.
A．
B．
C．或2023
D．或
A．
B．
C．，
D．，
A．
B．，
C．，
D．
A．0或3
B．0
C．0或2
D．2
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
（1）
（2）
内容
十字相乘法
习惯养成：将一元二次方程化为一般形式（a，b，c都为整数，且a>0）.
十字相乘法：用两边凑中间.
【注意】并不是所有一元二次方程都能用十字相乘法，能够由两边凑出中间才能用十字相乘法.
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
内容
换元法
把一个整体换元为另一个未知数，在利用一元二次方程的解法求解.
A．
B．4
C．或4
D．3或4
A．
B．或6
C．6
D．6或4
解方程，
解：设，
则原方程可化为：①，
解得，
当时，，，
当时，，，
原方程的解为：，，，
A．，
B．
C．，
D．
A．
B．，
C．，
D．，
A．，
B．，
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．16
B．18
C．15或17
D．16或18
（1）
（2）
（3）
（4）
A．，
B．，
C．，
D．，
A．10
B．8
C．8或10
D．6或10
A．9
B．9或12
C．6或15
D．6或12或15
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
A．
B．4
C．或4
D．或3