2023年九年级数学上册《根的判别式》知识考点练习（含答案）

这是一份2023年九年级数学上册《根的判别式》知识考点练习（含答案），共23页。试卷主要包含了根的判别式，根据判别式求参数的范围，利用判别式证明，利用公式法解方程等内容，欢迎下载使用。
题型精析
知识点一 根的判别式
题型一 利用判别式判断根的情况
例1
一元二次方程的根的情况是（ ）
变1
一元二次方程的根的情况是（ ）
例2
（1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
（2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
变2
（1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
（2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
例3
一元二次方程的根的情况是（ ）
例4
关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
变3
关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（ ）
变4
一元二次方程（a为实数）的实数根的情况是（ ）
题型二 根据判别式求参数的范围
例1
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
变1
若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
例2
若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
例3
若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________．
变2
一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
变3
若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为（ ）
题型三 利用判别式证明
例1
已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
例2
已知关于x的一元二次方程．求证：方程有两个不相等的实数根．
变1
已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
变2
已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个不相等的实数根.
知识点二 公式法解一元二次方程
题型四 利用公式法解方程
例1
用公式法解方程：.
例2
用公式法解方程：.
变2
用公式法解方程：.
变2
用公式法解方程：
课后强化
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
2.关于x的一元二次方程，以下说法正确的是（ ）
3.关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________.
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.
5.若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为________.
6.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________.
7.关于的一元二次方程为. 求证：无论为何实数，方程总有实数根．
8.已知是关于的一元二次方程. 证明：此方程总有两个不相等的实数根．
9.用公式法解方程：.
10.用公式法解方程：．
11.用公式法解方程：．
知 识
考 点
根的判别式
1.利用判别式判断根的情况
2.根据判别式求参数的取值范围
3.利用判别式证明
公式法
4.利用公式法解一元二次方程
内容
求根公式的推导
利用配方法解方程，
移项：；
系数化为“1”：；
配方：；
整理得：；
开方：；
整理得：.
求根公式
一元二次方程的求根公式：.
【思考】观察求根公式，可以发现方程，
1.在什么情况下有解？________________.
2.在什么情况下有两个相等的解？________________.
3.在什么情况下无解？________________.
4.在什么情况下有两个不相等的解？________________.
根的判别式（）
就是一元二次方程根的判别式，根据判断的正负情况，即可判断方程根的情况.
1.，方程有___________________；
2.，方程有___________________；
3.，方程有___________________.
A．有两个不相等的正根
B．有两个不相等的负根
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况与的取值有关
A．有两个不同实数根
B．有两个相同实数根
C．没有实数根
D．不能确定
A．
B．且
C．
D．且
内容
公式法
1.当时，可以利用求根公式解一元二次方程；
2.求根公式：.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
（1）
（2）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
A．没有实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．根的情况与m的取值有关
根的判别式
考点先知
题型精析
知识点一 根的判别式
题型一 利用判别式判断根的情况
例1
一元二次方程的根的情况是（ ）
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】由题意得：
则方程没有实数根．
故选：C．
变1
一元二次方程的根的情况是（ ）
【答案】A
【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴方程没有实数根，
故选A．
例2
（1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
（2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
变2
（1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
（2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.
例3
一元二次方程的根的情况是（ ）
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
例4
关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
【答案】C
变3
关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（ ）
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
变4
一元二次方程（a为实数）的实数根的情况是（ ）
【答案】D
【详解】先计算出的值，判断出的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵，
∴方程根的情况不能确定．
故选：D．
题型二 根据判别式求参数的范围
例1
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根则可知根的判别式大于，直接列不等式求解即可．
【详解】解：由题意知：
解得．
故答案为：
变1
若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】/0.125
【分析】根据方程有两个相等的实数根，，进行计算即可．
【详解】由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个相等的实数根，则，即，
解得，，
故答案为：．
例2
若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
例3
若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴，即且．
故答案为：且．
变2
一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
【答案】且
【分析】根据根的判别式得到，然后解不等式即可．
【详解】依题意得：且
解得：．
故答案为：且．
变3
若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为（ ）
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
即k的取值范围为且．
故选：D．
题型三 利用判别式证明
例1
已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
【详解】（1）解：
，
∴无论为任意实数，方程总有实数根．
例2
已知关于x的一元二次方程．求证：方程有两个不相等的实数根．
【分析】求出判别式，据此可得答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
变1
已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】证明：由题意得，，
∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．
变2
已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个不相等的实数根.
【分析】求出即可证出结论
【详解】解：证明：
∵
∴方程有两个不相等的实数根；
知识点二 公式法解一元二次方程
题型四 利用公式法解方程
例1
用公式法解方程：.
【答案】
【分析】利用公式法解答，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
例2
用公式法解方程：.
【答案】，．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【详解】解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
变2
用公式法解方程：.
【答案】，
【分析】根据题意先求出，再代入求根公式，即求出即可．
【详解】解：，
方程的系数分别是，，，
∴，
∴，
∴，．
变2
用公式法解方程：
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴．
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴．
课后强化
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
【答案】B
【分析】求出一元二次方程的判别式，即可确定根的情况，得到答案．
【详解】解：
即
所以方程有两个相等的实数根，
故选：B．
2.关于x的一元二次方程，以下说法正确的是（ ）
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出方程有两个不相等实数根．
【详解】解：∵
，
∴方程有两个不相等实数根，故C正确．
故选：C．
3.关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________.
【答案】/
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.
【答案】且
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵方程是一元二次方程，
∴，
∴a的范围是：且，
故答案为：且．
5.若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得：．
故答案为：．
6.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________.
【答案】且．
【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且．
的取值范围为且．
故答案为：且．．
7.关于的一元二次方程为. 求证：无论为何实数，方程总有实数根．
【分析】先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可；
【答案】证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]
＝4m2+8m+4
＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，
∴无论m为何实数，方程总有实数根；
8.已知是关于的一元二次方程. 证明：此方程总有两个不相等的实数根．
【分析】计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
【答案】证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
9.用公式法解方程：.
【答案】，
【分析】运用公式法公式 即可求解．
【详解】解：
，
∴，，
10.用公式法解方程：．
【答案】
【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
∴，，
∴，
解得：．
11.用公式法解方程：．
【答案】，
【分析】用公式法解一元二次方程即可
【详解】∵，
∴．
∴，，，
∴．
∴，
∴，．
知 识
考 点
根的判别式
1.利用判别式判断根的情况
2.根据判别式求参数的取值范围
3.利用判别式证明
公式法
4.利用公式法解一元二次方程
内容
求根公式的推导
利用配方法解方程，
移项：；
系数化为“1”：；
配方：；
整理得：；
开方：；
整理得：.
求根公式
一元二次方程的求根公式：.
【思考】观察求根公式，可以发现方程，
1.在什么情况下有解？________________.
2.在什么情况下有两个相等的解？________________.
3.在什么情况下无解？________________.
4.在什么情况下有两个不相等的解？________________.
根的判别式（）
就是一元二次方程根的判别式，根据判断的正负情况，即可判断方程根的情况.
1.，方程有___________________；
2.，方程有___________________；
3.，方程有___________________.
A．有两个不相等的正根
B．有两个不相等的负根
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况与的取值有关
A．有两个不同实数根
B．有两个相同实数根
C．没有实数根
D．不能确定
A．
B．且
C．
D．且
内容
公式法
1.当时，可以利用求根公式解一元二次方程；
2.求根公式：.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
【解】：
∵a=_____，b=_____，c=_____.
∴_____________=_____.
∴_____.
∴_____，_____.
（1）
（2）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
A．没有实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．根的情况与m的取值有关