宁夏银川市唐徕中学2025届高三下第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份宁夏银川市唐徕中学2025届高三下第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共48页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 若复数满足，是虚数单位，则＝
2. 已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
3. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
4. 已知向量满足则（ ）
5. 已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
6. 下列说法正确的是（ ）
7. 在中，已知为上一点，且，则的面积为（ ）
8. 定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（ ）
11. 函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 的展开式中的系数为15，则________．
13. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为__________.
14. 1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为__________.

四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，.
(1)当时，求证：平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.
16. 设各项非零的数列的前n项乘积为，即，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数的前n项和.
17. 为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币.
(1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
(2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为.
①计算，并求.
②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？
18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值.
19. 已知函数 .
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，若，且，求证：. （参考公式： ）
宁夏银川市唐徕中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、平面解析几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、函数与导数、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．3
C．6
D．9
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．9
B．3
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的分位数等于原来数据的分位数
B．已知具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若事件满足，且，则事件独立
A．
B．
C．
D．
A．14
B．
C．12
D．
A．
B．若，则
C．的图象关于直线对称
D．的图象与的图象在内有4个交点
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．双曲线
D．圆
A．函数在上单调递减
B．函数既有极大值，也有极小值
C．方程有个不同的实数解
D．在定义域内，恒有
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
10
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
求复数的模；复数的除法运算
2
0.94
列举法求集合中元素的个数
3
0.85
判断命题的必要不充分条件
4
0.65
数量积的运算律
5
0.85
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
6
0.85
独立事件的判断；指定区间的概率；根据样本中心点求参数；总体百分位数的估计
7
0.65
三角形面积公式及其应用
8
0.65
函数周期性的应用；函数对称性的应用
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式；三角恒等变换的化简问题；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
10
0.65
轨迹问题——椭圆；双曲线定义的理解；椭圆定义及辨析
11
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点；求函数零点或方程根的个数
三、填空题
12
0.85
由项的系数确定参数
13
0.65
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；圆台的结构特征辨析；圆台表面积的有关计算
14
0.4
由方程研究曲线的性质
四、解答题
15
0.65
空间位置关系的向量证明；线面角的向量求法
16
0.65
求等比数列前n项和；错位相减法求和；裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项
17
0.4
计算古典概型问题的概率；利用全概率公式求概率；写出等比数列的通项公式；二项分布的均值
18
0.65
直线与抛物线交点相关问题；根据韦达定理求参数；求平面轨迹方程；求直线与抛物线的交点坐标
19
0.15
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,3
3
平面向量
4
4
平面解析几何
5,10,14,18
5
计数原理与概率统计
6,12,17
6
三角函数与解三角形
7,9
7
函数与导数
8,11,19
8
空间向量与立体几何
13,15
9
数列
16,17