宁夏银川市唐徕中学2025届高三三模 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的虚部为
C．对应的点位于复平面的第三象限
D．
3．已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
4．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．12D．14
5．函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则，可以分别大致反映这组数据的（ ）
A．平均数，中位数B．平均数，众数C．中位数，平均数D．中位数，众数
7．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A．B．8C．D．
8．若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．二面角的大小为
D．点到平面的距离为
10．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若直线与轴的交点是线段的中点，则的面积为
D．若直线与轴的交点是线段的中点，直线与椭圆相切于点A，过点A且与直线垂直的直线与椭圆的长轴交于点，则
11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
三、填空题
12．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．
13．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
14．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是 .
四、解答题
15．在中，.
（1）求证为等腰三角形；
（2）从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：边上的高为3；条件②：的面积为.
16．如图，斜三棱柱各棱长均为为棱上的一点，
（1）求证：；
（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求的值.
17．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论零点的个数．
18．已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为.
（i）若，求直线的方程.
（ii）证明：直线必过定点.
19．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证：，均为等比数列；
（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意，，
，又，
所以.
故选C.
2．【答案】D
【详解】，则，虚部为，
对应点为在第二象限，且，
所以，A、B、C错，D对.
故选D
3．【答案】A
【详解】由向量，可得，
因向量在上的投影向量为，
由题意，，解得.
故选A.
4．【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
故选A
5．【答案】A
【详解】由得，
因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得，
又，所以，即，所以，
将函数的图象向右平移个单位得到函数，
即，
因为
，
所以.
故选：A
6．【答案】A
【详解】由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD，
由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾），
故在这个频率分布直方图内是平均数，是中位数，
故A正确，C错误.
故选A
7．【答案】C
【详解】设，由在以为直径的圆上可得，
所以，四边形为矩形，则，
由双曲线，得，
所以，又由双曲线的定义有，
所以，得，
所以，
即，而，
所以，所以的周长为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】令，则，所以，
解得，解得或，
当时，，求导得，
令，则，解得，
若时，，若，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
当时，在上单调递增，且，
所以有3个解，有2个解，
所以的零点个数为5个.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，显然为平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，故B正确；
对于C：，设平面的法向量为，所以，令，得，
显然为平面的一个法向量，所以，
所以，故C错误；
对于D：，显然为平面的一个法向量，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】由椭圆方程得，，则，设，不妨设，
对于A，当直线轴时，令，解得，此时最小为，
当直线和轴重合时，令，解得，此时最大为，
所以，故A正确；
对于B，因为所以，则，即，
又，，
同理可得，则有，
所以，则，故B错误；
对于C，设直线与轴交点为中点，由中点公式得，
所以，即，
所以，故C正确；
对于D，椭圆在处的切线的方程为，
则直线方程为，令解得，所以，
所以，故D正确；
故选ACD．
11．【答案】BCD
【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误；
对于B：因为为奇函数，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函数，正确；
对于C：由，
可得，所以是周期为3的周期函数，正确；
对于D，，
所以，
由周期性可得：
故选BCD
12．【答案】18
【详解】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为
故答案为18.
13．【答案】/
【详解】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，如图1所示，
则，圆的周长，则，
所以，
又，，，
所以，即，解得，
即球体的半径为，所以其表面积为.
14．【答案】5
【详解】由题设，从底部到顶部正方体的棱长依次为，，
所以各正方体四个侧面的面积为，
除顶部正方体，第个正方体上底面可见的表面积为，，，
顶部正方体上底面面积为，
所以个正方体的表面积为
，
令，可得，则，，
故该塔形中正方体的个数至少是5个.
15．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）证明：在中，，设，
根据余弦定理，得，
整理得，因为，解得，
所以，所以为等腰三角形.
（2）若选择条件①：在中，由边上的高为3，得，
由，解得.
若选择条件②：在中，由，
由（1），
所以，解得，即.
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）取中点，连接，
在中，为中点，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以，则，所以.
又平面平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以两两垂直，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，，
设，其中，
则，
又，设平面的一个法向量为，
则，令，
所以，
平面的法向量为，则，
即，解得，或（舍），经检验，符合，所以，
所以.
17．【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为；
(2)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，令，以及，解不等式，即可求得答案；
（2）由，参变分离得，构造函数，利用导数判断其单调性，数形结合，将原函数零点个数问题转化为与的图象的交点个数问题，即可求得答案.
【详解】（1）当时，，定义域为，
，
令，则；令，则，
故的单调递增区间为，递减区间为；
（2）
由，得，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
又，当时，，当时，，
当x无限趋近于0时，无限接近于0，
作出函数的图象如图：

故当或时，与的图象有1个交点，即有1个零点；
当时，与的图象有2个交点，即有2个零点；
当，与的图象无交点，即无零点.
18．【答案】（1）；
（2）（i）或；（ii）证明见解析.
【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为，
双曲线的渐近线方程为，
因为点P在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，
又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
（2）（i）设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，则①，②，
，
，代入①②得，则，
直线的方程为或；
（ii）设关于轴的对称点为，则直线为，
根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上，
令得：
直线过定点.
19．【答案】（1）0.5；
（2）证明见解析；
（3）第2分钟.
【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，
设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
则，，
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.
（2）依题意，，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
由全概率公式，得，则，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，满足上式也满足题意，则，
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为，
由全概率公式，得，
即，则，
即，而，
因此数列是首为，公比为的等比数列，
，而满足上式也满足题意，则，
又，
所以为等比数列.
（3）由（2）知，显然不是其最大值，设，
当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0；
当为偶数且时，，当时，，最大值为，
则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.