第二章《特殊三角形》—2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册单元提高测试卷（有答案）

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第二章《特殊三角形》—2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册单元提高测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）A．B．C．D．3．如图，点A,B,C和点D1,D2,D3,D4,D5都在正方形网格的格点上，则能与点A,B,C组成轴对称图形的D点的个数是（　　）A．2B．3C．4D．54． 如图，在 4×5 的正方形网格中，已有线段 AB ，在格点中再取一点 C ，使 △ABC 成为等腰三角形，这样的点 C 有（　　）.A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠ODE=102°，则∠CDE的度数是（　　）A．68°B．78°C．66°D．76°6．下列说法中，不正确的是(　　).A．“对顶角相等”没有逆命题B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题C．“若a>b，则a2>b2”的逆命题是“若a2>b2，则a>b”D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”7．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8，点D在AB边上，连结CD，点E是CD的中点，连结AE．若AB⊥AE，则AE的长是（　　）A．2B．125C．52D．529．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）A．8B．7C．6D．510．如图，∠MON=6°，点A在OM上，设OA=a.按下列要求作图：以A为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，a为半径向右作弧，交OM于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A3，得第3条线段A2A3……这样作下去，直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，则m为(　　).A．12B．13C．14D．15二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，AD平分∠BAC,DE∥AB,DF⊥AB．若AE=2a,DF=a，则∠DAF的度数为　 　．12．如图，△ABC中，BC=4，S△ABC=10，EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F．P为线段EF上一动点，D为边BC上的一动点，则DP+CP的最小值是　 　．13．下列命题：①若a2＝b，则a＝b；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有　 　．14．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图1)，后人称其为“赵爽弦图”.由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S2=12，则S1+S3的值为　 　．15．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．如图①当ADAB=12时，S△DEF＝1﹣3×14=14；如图②当ADAB=13时，S△DEF＝1﹣3×29=13；如图③当ADAB=14时，S△DEF＝1﹣3×316=716；…直接写出，当ADAB=110时，S△DEF＝　 　．16．沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝　 　cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝　 　cm．三、解答题（共8小题，共72分）17．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．（1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．（2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．（3）在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．18．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，（1）求证： △BCE≌△CAD；（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.19．为了测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．（1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．20．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=RT∠，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．21．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）①全等三角形是“等角三角形”（　　）②如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中共有2对“等角三角形”（　　）③如图1，在Rt△ABC中，AC≠BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，无论∠A为何值，CD都不可能是△ABC的“等角分割线”（　　）（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A=24°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．23．综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．【探究发现】（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，点D在AC上，连接BD、CE，且B、D、E三点共线，则图中与线段BD相等的线段是 ，∠BEC= °．【初步运用】（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD、CE交于点O．找出图中与BD相等的线段，并证明；【迁移应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是四边形内一点，且∠AEB=∠DEC=90°，AE=BE=6，DE=EC=4，请计算AD2+BC2的值．24．综合与实践【建立模型】（1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．求证：BE=AD，并直接写出∠AFB的度数．【应用模型】（2）①如图（2），在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，点E在AD的延长线上，且AB=AE，连接BE，CE，求证：BE=CE．②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点C恰好在ED延长线上，连接BD，若AB=4，AE=2，求△BDC的面积．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】15°12．【答案】513．【答案】①②④14．【答案】2415．【答案】7310016．【答案】105​​​​​​​；202+103​​​​​​​17．【答案】（1）解：如图，（2）解：如图：（3）解：如图所示：18．【答案】【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=90∘∠ACD+∠BCE=90∘;∠ACD+∠DAC=90∘∴∠BCE=∠DAC在△BCE和△CAD中∠ADC=∠CEB∠BCE=∠DACAC=BC∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）DE= AD-BE.（3）DE= BE-AD，理由如下：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=90∘∠ACD+∠BCE=90∘;∠ACD+∠DAC=90∘∴∠BCE=∠DAC在△BCE和△CAD中∠ADC=∠CEB∠BCE=∠DACAC=BC∴△BCE≌△CAD（AAS）∴AD=CE，BE=CD，∴DE=CD-CE=BE-AD19．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，理由如下：方案一 如下图所示，证明：因为BO2+AO2=3a2+4a2=25a2，若AB2=5a2=25a2，则AO2+BO2=AB2，∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，∴MO⊥PN；方案二、证明：如下图所示，∵AC=BC，若OC=BC，则AC=OC=CB，∴∠CAO=∠COA，∠COB=∠CBO，又∵∠CAO+∠COB+∠OAC+∠CBO=180°，∴∠CAO+∠COB=∠OAC+∠CBO=90°，∴AO⊥OB，∴MO⊥PN．（2）解：第三小组的测量方案是：如下图所示，在射线OM，ON，OP上分别取点A，B，C，放置绳子AB，AC，使AB=AC，用叠合法比较OC与OB的长度，若OC=OB，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直，证明：∵AC=AB，∴△ABC是等腰三角形，若OC=OB，则OA是等腰三角形△ABC的中线，根据等腰三角形性质可知AO⊥BC，即MO⊥PN．20．【答案】（1）（1）解：如图1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD；（2）（2）不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD．理由：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴BD=CE，∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）（3）存在的数量关系为CD=BC+EC；如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴CD=BC+BD=BC+CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=∠ACE=135°，∴∠DCE=135°−45°=90°，∴CE⊥BC．21．【答案】答：任务一：6.25；解：任务二：∵DE+DF+EF=7，EF=2cm，∴DE+DF=5；由勾股定理得DE2−DF2=EF2=4，即(DE+DF)(DE−DF)=4，∴DE−DF=45，解得：DF=2110，∴S2=DF2=21102=441100；任务三：491622．【答案】（1）①√；②×；③√（2）解：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−40°−60°=80°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=12×80°=40°，∴∠ACD=∠A，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B=60°，∠BDC=∠ACB=80°，∴CD为△ABC的“等角分割线”；（3）48°或102°或104°或112°23．【答案】（1）CE和BC，30（2）BD=CE，证明：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴BD=CE；（3）解：如图，连接AC，BD交于O，设AC、BE交于F，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，∴∠AEC=∠BED，∵AE=BE，CE=DE，∴△AEC≌△BEDSAS，∴∠CAE=∠DBE，∵∠AFE=∠BFO，∴∠AOB=∠AEB=90°，∴∠AOD=∠BOC=90°，∴AD2+BC2=AO2+OD2+BO2+OC2=AO2+BO2+OD2+OC2=AB2+CD2=AE2+BE2+DE2+CE2=2×62+2×42=10424．【答案】解：(1)如图1，∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，∵∠BOC=∠AOF，∴∠AFB=∠ACB=60°；(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵AB=AE，AD=AC，∴△ABD≌△AEC(SAS)，∴BD=CE，∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，∵∠ADC=∠BDE，∴∠BDE=∠BED，∴BD=BE，∴BE=CE；②如图3，设CD=x，∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，∴DE=22+22=22，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE=22+x，∠ABO=∠ACE，∵∠AOB=∠COD，∴∠CDO=∠BAO=90°，∴BD2+CD2=BC2，∴(22+x)2+x2=42+42，12x2+2x=6，∴S△BDC=12BD·OD=12x(22+x)=12x2+2x=6.问题如何测量墙体是否与地面垂直？工具若干条无弹性的绳子小组第一小组第二小组第三小组测量方案模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a．如下图放置这总长是12a的绳子，使在OM上的绳子OA=4a，在ON上的绳子OB=3a，若AB=5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN于点O，否则不垂直．如图2，在射线OM，ON上分别取点A，B，放置绳子AB，对折AB得到相等的两段AC，BC，放置绳子OC，用叠合法比较OC与BC的长度，若OC=BC，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直．测量示意图项目背景我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究．素材一毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．素材二经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．素材三解决问题任务一小明画出了锐角△ABC，AB=AC，BC=2cm，则S2=　　　cm2． 任务二小金画出了直角△DEF，∠DFE=90°，EF=2cm，计算S2的值，并写出过程．任务三小山画出了钝角△GHI，∠GIH=120°，HI=2cm，则S2=_____cm2．