第二章《特殊三角形》—2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册单元培优测试卷（有答案）

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第二章《特殊三角形》—2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册单元培优测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（　　）A．B．C．D．2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB，交BC于点D，OE∥AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有(　　).A．6个B．7个C．8个D．9个3．如图，在△ABC中， 点M，点N为AC边上的两点， AM=NM，BM⊥AC， ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=70°，则∠C=（　　）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（　　）A．△ADFB．△BDEC．△CEFD．△DEF5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠FAE的大小是（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　）A．7B．7.5C．8D．8.577．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC=6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　）A．7B．9C．11D．148．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）A．1.5B．3C．4.5D．69．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）A．18B．24C．25D．3610．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB=MG.②S△ABC=S△AFN.③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则AJ=CJ.④若AB=2，则EH2+FN2=20.其中正确的结论个数是(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F=　 　度.12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有　 　个.13．如图，在长方形ABCD中，点E是边BC上一点，将△DCE沿DE折叠，使得点C落在AB上，连结DC'、EC'，点F是DC'的中点，连结CF，BC=7，且3∠AC'D=2∠BCF，则CD的长为　 　．14．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为　 　dm.15．如图所示，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠ADC+∠ABC=180°；③CD=CB；④S△ADC+S△BCE=S△ACE，其中正确的结论有　 　（把正确结论的序号填写在横线上）．16．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A'B.请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　；（2）几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB上取一点M，则2CM+AM的值最小值是　 　.三、解答题（共8小题，共72分）17．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（1）若一个三角形的三边长分别是4，11和3，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，CD为△ABC的中线，若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．18．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．（2）图2是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．（3）在△ABC中，其最小的内角∠C=24°，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出∠ABC的度数．19．根据以下素材，探索解决问题．20．如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=1825，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的BEBC的值，若不存在，请说明理由．21．阅读材料：⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1＝ 用x、y的式子表示）W2＝ （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°；CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC，BC上，且EF⊥BC，EF与CD交于点N．（1）如图1，当点E与点A重合时，①求证：△ADN≌△CDB；②直接写出CFEN的值．（2）如图2（图在答题卷上），当点E在AC边上时，①依题意补全图2；②CFEN的值是否发生变化，请说明理由．23．如图，在△ABC中，∠C=90°,60°∠C，∠B=30°，①当∠B=2∠C，∠C=15°，过C作CH⊥BA的延长线于点H，则∠AHC=90°，∴∠CAH=∠CBA+∠BCA=3∠C=45°，∴△AHC为等腰直角三角形，∴AH=CH=22AC=22×42=4，∵∠B=30°，∴BC=2CH=8，∴BH=BC2−CH2=82−42=43，∴AB=BH−AH=43−4，∴S△ABC=12AB·CH=12×43−4×4=83−8；②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与三角形内角和为180°矛盾，该种情形不存在；∴△ABC面积为83−8；项目拓展：△ADC和△ABC是倍角三角形．证明：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∵△ABD≌△AEDSAS，∴∠ADE=∠ADB，BD=DE，又∵AB+AC=BD，∴AE+AC=BD，即CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠BDE=2∠ADC，∴△ADC是倍角三角形，∵△ABD≌△AED，∴∠E=∠ABD，∴∠E=180°−∠ABC，∵∠E=180°−2∠C，∴∠ABC=2∠C，∴△ABC是倍角三角形20．【答案】（1）解：∵ 等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，∴AC=BC=5.∵AD=4， AD是腰BC的高线，∴CD=3；（2）证明：∵AC=BC，CE=BC，∴CE=AC.∴∠E=∠CAE，∵∠B+∠CAB+∠E+∠CAE=180°，∠B=∠CAB，∴∠CAE+∠CAB=90°，即AE⊥AB.（3）解：∵S1S2=12CD×ℎ12CE×ℎ=1825∴CDCE=1825设CD=18k，CE=25k.∴DE=CE－CD=7k.∵AD⊥CE，DE≠CD，∴AE≠AC.当CE=CA时，△ACE为等腰三角形，∵CA=CB，∴CE=CB.此时C为EB中点，BEBC=2.当AE=EC=25k时，△ACE也是等腰三角形，∵DE=7k，CD=18k，∴AD=24k，∴AC=BC=30k，∴BE=55k，∴BEBC=116∴BEBC=2或者BEBC=116.21．【答案】（1）解：①3x+7y；6x+8y；②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，∵x＞y，∴x﹣y＞0，∴W1﹣W2＞0，∴W1＞W2，即张丽同学用的纸面积最大．（2）解：①x+3；②x2+48；③∵a12−a22＝（x+3）2﹣（x4+48）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，分三种情况：①当a12−a22＞0时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；③ 当a12−a22＝0时，6x﹣39＝0，解得x=6.5；③ 当a12−a22＜0时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5；综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，当x＝46.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一．22．【答案】（1）①证明：∵CD⊥AB，∠BAC=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD.∵EF⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADN=∠CDB=∠AFB=90°，∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，∴∠BAF=∠BCD，在△ADN和△CDB中，∠DAN=∠DCB,∠ADN=∠CDB,AD=CD，∴△ADN≌△CDBASA，​​​​​​②CFEN=12；（2）解：①如图1，②CFEN的值不变，理由如下：过点E作EM∥AB分别交CD，CB于点G，M，如图2，所示：∵EM//AB，CD⊥AB，∠BAC=45°，∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，∴△CGE是等腰直角三角形，∴EG=CG.∵EF⊥BC，CD⊥ME，∴∠EGN=∠CGM=∠AFB=90°，∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG，∴∠MEF=∠MCG，∴△EGN≌△CGMASA，∴EN=CM=2CF，∴CFEN=12．23．【答案】（1）因为BD=BE，所以∠BED=∠BDE=40°，所以∠ABC=2∠BED=80°，因为∠C=90°，所以∠CAB=10°，因为∠CAD=∠BED=40°，所以∠BAD=30°（2）猜想：AE=2BC，证明如下：延长BC至点P，使得BC=CP，连接AP，设∠BED=x，因为BD=BE，所以∠BED=∠BDE=x，所以∠ABC=2x，因为BC=CP,BP⊥AC，所以AP=AB，所以∠P=∠ABC=2x，因为∠CAD=∠BED=x，所以∠ADC=90°−x，所以∠PAD=∠ADC=90°−x，所以AP=PD，所以PD=AB，因为BD=BE，所以AE=BP，所以AE=2BC（3）AD2−AB2=AB⋅BD.由勾股定理，可得：AD2−AB2=CD2+AC2−AC2−BC2，化简，得：AD2−AB2=CD2−BC2=(CD+BC)(CD−BC)，化简，得：AD2−AB2=PD⋅BD，由（2）可知：PD=AB，所以AD2−AB2=AB⋅BD.​​​​​​​24．【答案】解：S△ABE=12a2, S△ABD=12b2,12ED⋅AB=12c2【方法应用】方式①S四边形ADBC=S△BDC +S△ACDS△BDC=12BC⋅CF=12a2S△ACD=12AC⋅DF=12b2方式②S四边形ADBC=S△ABD +S△ACBS△ABD=12AB⋅DH, S△ACB=12AB⋅CHS△ABD+S△ACB=12AB⋅DH+12AB⋅CH=12AB⋅(DH+CH)=12AB⋅DC=12c2如何作出“倍角三角形”？素材如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”问题解决项目操作如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请将△ABC分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．项目探索若△ABC是倍角三角形，∠A>∠B>∠C，∠B=30°，AC=42，求△ABC面积．项目拓展如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，点E在CA延长线上，若AE=AB，AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．AE4cm6cm8cm10cmBC2cm3cm4cm5cm方案方案一方案二图形备注Rt△BCA≌Rt△EADRt△BCA≌Rt△CFDBC=a，AC=b，AB=c方式验证过程（分别用含有a，b，c的代数式完成填空）图形方式①S四边形ADBE=S△ABE +S△ABDS△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC）S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长）连结BE，BD，不难得出AB⊥ED方式②S四边形ADBE =S△EBD +S△EADEAD=12ED⋅BH+12ED⋅AH S△EBD+S△EAD=12ED⋅BH+12ED⋅AH=12ED⋅(BH+AH)=12ED⋅AB= ▲