专题08几何压轴+浙江专用+-【好题汇编】三年+2023-2025+中考数学真题分类汇编

这是一份专题08几何压轴+浙江专用+-【好题汇编】三年+2023-2025+中考数学真题分类汇编，文件包含专题08几何压轴浙江专用原卷版docx、专题08几何压轴浙江专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
1．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+yB．x−yC．xyD．x2+y2
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△DCFAAS，得到AE=DF,BE=CF=x，由勾股定理可得，AE2=4−y−x2，DF2=12−y+x2，则4−y−x2=12−y+x2，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵AE⊥BC的垂线交BC于点E，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCFAAS
∴AE=DF,BE=CF=x，
由勾股定理可得，AE2=AC2−CE2=AC2−BC−BE2=4−y−x2，
DF2=BD2−BF2=BD2−BC+CF2=BD2−BC+BE2=12−y+x2，
∴4−y−x2=12−y+x2，
∴y+x2−y−x2=8
∴x2+2xy+y2−y2+2xy−x2=8
即4xy=8，解得xy=2，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy，
故选：C
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边AD上，DE=2AE,F是BE的中点，点H在CD边上，∠EFH=45°，则FH的长为（ ）．
A．3104B．352C．554D．2103
【答案】C
【分析】首先过点B作BN∥FH，连接数EN FN、，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，根据∠EFH=45°可得∠NBG=45°，利用SAS可证△ABE≅△CBG，再利用SAS可证△EBN≅△GBN，从而可得EN=NG，利用勾股定理可得DN=CN=32，利用梯形中位线定理可以求出FN=52，根据BN∥FH可证△FHN∽△BNC，根据相似三角形对应边成比例可以求出FH的值．
【详解】解：如下图所示，过点B作BN∥FH，连接数EN、FN，延长DC到点G，使CG=AE，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AD=CD=BC=AB=3，∠ABC=90°，
∵DE=2AE，
∴DE=2，AE=1，
∴BE=AE2+AB2=10，
∵∠EFH=45°，BN∥FH，
∴∠EBN=∠EFH=45°，
∴∠ABE+∠NBC=45°，
在△ABE和△CBG中AE=CG∠A=∠BCG=90°AB=BC，
∴△ABE≅△CBG，
∴∠ABE=CBG，BE=BG，
∴∠GBN=∠CBG+∠NBC=∠ABE+∠NBC=45°，
∴∠EBN=∠NBG，
在△EBN和△GBN中BE=BG∠EBN=∠NBGBN=BN，
∴△EBN≅△GBN，
∴EN=NG，
设NC=x，则DN=3−x，EN=NG=x+1，
在Rt△EDN中，ED2+DN2=EN2，
∴22+3−x2=1+x2，
解得：x=32，
∴DN=CN=32，
∴BN=BC2+CN2=32+322=325，
∴点N是CD的中点，
∴FN是梯形EBCD的中位线，
∴FN=12ED+BC=122+3=52，∠FNH=90°，
∵FH∥BN，
∴∠FHN=∠BNC，
又∵∠FNH=∠BCN=90°，
∴△FHN∽△BNC，
∴FHBN=FNBC，
∴FH325=523，
解得：FH=545．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F．N是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段DE上的点，DM=2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）

A．△AFE的面积B．△BDF的面积
C．△BCN的面积D．△DCE的面积
【答案】D
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出FBED=FDEC，由已知得出NFME=BFDE，则FDEC=NFME，又∠NFD=∠MEC，则△NFD∼△MEC，进而得出∠MCD=∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出S△EMC=12S△DMC=12S△MNC，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接ND，

∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD=∠FDB，∠FBD=∠EDC，∠BFD=∠A，∠A=DEC．
∴△FBD∼△EDC，∠NFD=∠MEC．
∴FBED=FDEC．
∵DM=2ME，BN=2NF，
∴NF=13BF，ME=13DE
∴NFME=BFDE．
∴FDEC=NFME．
又∵∠NFD=∠MEC，
∴△NFD∼△MEC．
∴∠ECM=∠FDN．
∵∠FDB=∠ECD
∴∠MCD=∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC=S△MDC．
∵DM=2ME，
∴S△EMC=12S△DMC=12S△MNC．
∵S△DCE=S△EMC+S△DMC，
∴S△DCE=12S△MNC+S△MNC=32S△MNC．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换．
4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q．若HF=FG，则S四边形PCQES正方形ABEF的值是（ ）

A．14B．15C．312D．625
【答案】B
【分析】设HF=FG=a，正方形ACGH的边长为2a，证明tan∠HAF=tan∠GFP，先后求得GP=12a，PC=32a，BC=a，利用三角形面积公式求得S△BCQ=14a2，证明Rt△BQC∽Rt△BPE，求得S△BEP=54a2，S四边形CQEP=a2，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形ACGH是正方形，且HF=FG，
设HF=FG=a，则AC=CG=GH=AH=2a，
∵四边形ABEF是正方形，
∴∠AFP=90°，
∴∠HAF=90°−∠HFA=∠GFP，
∴tan∠HAF=tan∠GFP，即HFHA=GPFG=12，
∴GP=12a，
∴PC=2a−12a=32a，
同理tan∠HAF=tan∠CAB，即HFHA=BCAC=12，
∴BC=a，
同理CQ=12a，
∴PB=52a，
BQ2=a2+12a2=54a2，S△BCQ=12×a×12a=14a2，
∵Rt△BQC∽Rt△BPE，
∴S△BCQS△BEP=BQBP2=54a2254a2=15，
∴S△BEP=5S△BCQ=54a2，
∴S四边形CQEP=S△BEP−S△BCQ=a2，
∵S正方形ABEF=AB2=AC2+BC2=2a2+a2=5a2，
∴S四边形PCQES正方形ABEF=a25a2=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
考点02 解答题
1．（2025·浙江·中考真题）在菱形ABCD中，AB=5，AC=8．
(1)如图1，求sin∠BAC的值．
(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA−PB的最小值．
【答案】(1)35
(2)①11；②339−45
【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BC,OA=12AC=4，再根据勾股定理可得OB=3，然后根据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接BD，设AC,BD交于点O，同理求出OB=3，则BD=6；证明EF∥BD，得到∠DBE=∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB=∠FEB，则∠DEB=∠DBE，据此可得DE=DB=6，即可得到AE=AD+DE=11；
②由勾股定理得PB=OB2+OP2=OP2+9，根据PA=OA+OP=4+OP，可求出PA−PB=4−9OP+OP2+9，根据9OP+OP2+9>0，可推出当OP有最小值时，OP+OP2+9有最小值，即此时9OP+OP2+9有最大值，即当OP有最小值时，PA−PB有最小值；过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，由等面积法可得BH=245，则由轴对称的性质可得BT=BH=245，由勾股定理得OP=PB2−32，则当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知BP≥BT=245，故当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为245，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，设AC,BD交于点O，
∵在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，
∴AC⊥BC,OA=12AC=4，
∴OB=AB2−OA2=3，
∴sin∠BAC=OBAB=35；
（2）解：①如图所示，连接BD，设AC,BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC=4，BD=2OB，AD=AB=5，
∴OB=AB2−OA2=52−42=3，
∴BD=6；
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴∠DBE=∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB=∠FEB，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB=6，
∴AE=AD+DE=11；
②在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=OB2+OP2=OP2+9
∵PA=OA+OP=4+OP，
∴PA−PB=4+OP−OP2+9
=4+OP−OP2+9OP+OP2+9OP+OP2+9
=4+OP2−OP2−9OP+OP2+9
=4−9OP+OP2+9，
∵9OP+OP2+9>0，
∴要使PA−PB的值最小，则9OP+OP2+9要最大，
∴OP+OP2+9要有最小值，
又∵OP2+9的值随着OP的值增大而增大，
∴OP+OP2+9的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时，OP+OP2+9有最小值，即此时9OP+OP2+9有最大值，
∴当OP有最小值时，PA−PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=12AD⋅BH，
∴BH=12AC⋅BDAD=12×6×85=245，
∴由轴对称的性质可得BT=BH=245，
在Rt△POB中，由勾股定理得OP=PB2−OB2=PB2−32，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知BP≥BT=245，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为245，
∴OP最小值=2452−32=3395，
∴PA−PB最小值=4−93395+245=339−45．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出PA−PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最小值．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，点E是边AD上的动点，连结CE，以CE为边作矩形CEFG（点D，G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．
(1)如图1，当点E为AD边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求BF的长．
(2)如图2，若∠BCE=30°，设CE与BF交于点K．求证：BK=FK．
(3)在点E的运动过程中，BF的长是否存在最大（小）值？若存在，求出BF的最值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)62
(2)见解析
(3)存在，最小值1855，最大值229
【分析】（1）当点E在AD的中点时可得AB=AD=ED=DC=4，则△ABE和△EFD是等腰直角三角形，分别求出BE和EF的长，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：过B作BK⊥EC交EC于M，由∠BCE=30°可得BM=12BC=4=AB，即可得到Rt△ABE≌Rt△BKEHL得到∠AEB=∠BEM=∠CBE，推出BC=CE，再由CE=2EF得到BM=EF，最后证明△BHK≌△FEK，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M，过点E作AB的平行线交BC于点N，交MF于点P．设AE=x,BF=y．然后证明△PEF∽△NCE可得PF=2,PE=4−12x，根据勾股定理可得BF2=MB2+MF2，进而得到y2=54x−852+3245，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD中，AB=4,BC=8，
∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠A=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点E在AD的中点
∴AB=AE=ED=DC=4，
∴BE=CE=42，∠AEB=45°，
∵点B、E、F在同一直线上，
∴∠AEB=∠FED=45°，
∵∠F=90°
∴ED=4=2EF，
∴EF=22，
∴BF=BE+EF=62．
（2）证明：如图：过B作BH⊥EC交EC于H，

∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED，∠AEB=∠CBE，
∵∠BCE=30°，
∴BH=12BC=4=AB，∠BCE=∠CED=30°，
∵BE=BE
∴Rt△ABE≌Rt△BEHHL，
∴∠AEB=∠BEH，
∴∠AEB=∠BEH=∠CBE，
∴BC=CE，
∵CE=2EF，
∴EF=12CE=12BC=BH，
∵∠FEC=∠BHE=90°,∠EKF=∠HKB，
∴△BHK≌△FEK(AAS)，
∴BK=FK．
（3）解：存在，BF的最小值1855，最大值229．
如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M，过点E作AB的平行线交BC于点N，交MF于点P．则
设AE=x,BF=y．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是矩形，
∴∠FPE=∠ENC=∠FEC=90°，
∴∠PEF+∠PFE=90°,∠PEF+∠NEC=90°，
∴∠PFE=∠NEC，
∵∠FPE=∠ENC=90°，
∴△PEF∽△NCE，
∴FEEC=PFEN=PENC，即12=PF4=PE8−x，
∴PF=2,PE=4−12x，
∴在Rt△BMF中，BF2=MB2+MF2，
即y2=4+4−12x2+(2+x)2=54x2−4x+68=54x−852+3245，
当x=85时，y有最小值为1855．
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，y有最大值为229，
∴在点E的运动过程中，BF的长存在最小值1855，最大值229．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点0