甘肃势泉市四校联考2024_2025学年高一数学下学期期中测试含解析

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一、单选题
1．下列复数中与复数相等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，若，则（ ）
A．B．C．D．2
3．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（ ）
①和
②和
③和
④和
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
6．已知向量、满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则（ ）

A．B．C．D．
8．下列结论中正确的是（ ）
A．若为非零向量，且，则
B．对于向量，若，则存在唯一实数使得
C．在中，若，则与的面积之比为
D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下面四个命题中正确的是（ ）
A．若复数满足，则
B．若，则是纯虚数
C．若复数满足，则
D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
三、填空题
12．在中，内角所对的边分别为.若，则 .
13．已知，则 .
14．已知是关于的方程的一个根，则 .
四、解答题
15．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点位于第四象限.
16．（1）若，求的值.
（2）已知，求的值.
17．已知向量，函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)若，求的值.
18．已知在中，为中点，.
(1)若，求；
(2)设和的夹角为，若，求证：；
(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
1．B
利用复数的除法运算求出，再结合选项判断.
【详解】对于CD，，CD不是
对于A，，A不是，
对于B，，B是.
故选：B
2．B
先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解.
【详解】方法一：
由题意，，
所以，.
方法二：
已知，则.
已知，则.
因为，根据复数模的性质，可得：
.
故选：B.
3．B
根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可.
【详解】对于①，，①不是；
对于②，由，得和不共线，②是；
对于③，由，得和不共线，③是；
对于④，，④不是，
因此可以作为一组基底向量的为②③.
故选：B
4．A
根据条件，利用平方关系，得到，进而得，利用正切的和角公式得到，再利用的范围，即可求解.
【详解】因为，，则，
所以，又，所以，
又，，，所以，
则，所以，
故选：A.
5．D
解法一：根据已知条件恒成立，将函数表达式代入，通过三角函数公式展开并整理，得到一个关于与的等式.因为该等式恒成立，所以与的系数都为，由此可求出的值.再将代入函数，化简后根据正弦函数性质求最大值.
解法二：利用已知条件，取特殊值，代入得到关于的方程，解出.然后将代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值.
【详解】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立，
整理，得恒成立，所以，从而，
故当，，即时，取得最大值.
解法二：由题意，得，解得，
所以，
故当，即时，取得最大值.
故选：D.
6．A
计算出、的值，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为向量、满足，，，
所以，，
，
所以，.
故选：A.
7．D
利用平行四边形法则及向量夹角公式求解.
【详解】依题意，，则，
即，所以.
故选：D
8．C
利用数量积的运算律判断A；利用共线定理判断B；利用共线定理构造，求出面积比判断C；利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示求出范围判断D.
【详解】对于A，若 ，则，则或，A错误；
对于B，当时，不存在实数，使得，B错误；
对于C，令 由，
得，则为的重心，，
，同理，
则，C正确；
对于D，，当与共线时，，得，
由与的夹角为锐角，得，
且与不共线，则且，D错误.
故选：C
9．AD
利用和差角公式、二倍角公式、辅助角公式逐项求解.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
10．BD
举例说明判断AC；利用复数乘法及模的意义判断CD.
【详解】对于A，取，，而，，A错误；
对于B，设，，由，得，
则，是纯虚数，B正确；
对于C，取，
，
同理，即，而，C错误；
对于D，，得，复数在复平面内对应点的轨迹是原点为圆心，3为半径的圆，D正确.
故选：BD
11．ACD
根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D.
【详解】取中点，如图，
因为点O是的重心，所以，故A正确；
因为点O是的垂心，所以，
故，故B错误；
因为，所以，
同理可得，所以，即为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以，
两式相减可得，
同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
12．
根据正弦定理求.
【详解】已知，，，代入正弦定理可得.
因为，所以，则.
又因为，大边对大角，所以，，所以.
故答案为：.
13．/
利用和角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦及齐次式法求解.
【详解】由，得，解得，
所以.
故答案为：
14．
根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解.
【详解】依题意，是关于的方程的另一个根，
因此，解得，
所以.
故答案为：
15．(1)或
(2)
(3)
（1）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解；
（3）根据条件，利用复数的几何意义，得，即可求解.
【详解】（1）因为为实数，则，解得或.
（2）因为为纯虚数，则，解得.
（3）因为复数在复平面内对应的点为，
所以，由，得到或，
由，得到，所以
16．（1）；（2）.
（1）把给定两个等式两边平方，再逆用和角的余弦公式计算得解.
（2）利用同角公式，差角的余弦公式求解.
【详解】（1）由，得，
则，即，
所以.
（2）由，得，又，
则，
所以
.
17．(1)；
(2).
（1）利用数量积的坐标表示、二倍角及辅助角公式求出，再利用正弦函数的单调性求解.
（2）由（1）的信息求得，再利用差角的正弦求解.
【详解】（1）依题意，
，
由，得，
所以的单调递减区间为.
（2）由（1）知，，解得，
由，得，于是，
所以
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)为线段的中点.
（1）先将用和表示出来，再利用向量的模长公式以及向量的数量积公式（为与的夹角）进行计算.
（2）要证明，只需证明，先将用和表示出来，再结合已知条件计算数量积.
（3）设，将用、和表示出来，再与已知的对比，求出的值，从而确定点的位置.
【详解】（1）因为，所以.
又因为，则.
那么，展开可得：
已知，，，根据向量数量积公式，，.
代入可得.所以.
（2）因为为中点，所以，则.
根据向量数量积的分配律可得：
已知，，，则，.
代入可得.
因为，所以，即.
（3）设，因为，所以.
又因为，，所以.
已知，则可得，解第一个方程，得.
所以，即点为线段的中点.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图，

过作于，则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，

设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
A
D
A
D
C
AD
BD
题号
11









答案
ACD