湖南省长沙市浏阳市2024_2025学年高二数学下学期期末质量监测试卷含解析

这是一份湖南省长沙市浏阳市2024_2025学年高二数学下学期期末质量监测试卷含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 设全集 ，集合 ，则 中元素个数为（ ）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
2. 下列各式的值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 ， A 错 误 ； ， B 正 确 ；
，C 错误； ，D 错误．
3. 已知 ，则 的最小值是（ ）
A. B. 1 C. 4 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由 ，得 ，则 ，
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当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值是 .
故选：A
4. 已知正四面体的棱长为 ，则其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的表面积.
【详解】将正四面体 放在正方体 中如图所示，
正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为 ，
由于 ，即 ，
所以正方体的外接球半径为 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：A.
5. 已知三角形 的三个内角 A， ， 所对边为 ， ， ，若 ，且 ， ，则三
角形 的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化可得 ，随后由正弦定理可得 ，最后由面积公式得答案.
【详解】由正弦定理边角互化， ，
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得 ，又在三角形中，有 ，则 .
又 ，由正弦定理， ，则三角形面积为：
故选：B
6. 如图，已知圆锥 的底面积为 ，其轴截面为等腰直角三角形，若其一个内接圆柱的底面积为 ，则
圆锥与圆柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圆锥的轴截面 ，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据体积公式计算可
得.
【详解】如图作出圆锥的轴截面 ，
根据题意可知 ,
,
所以可得 ,
根据三角形相似可得 ,
所以 ,可求得 ,
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所以 ，
故选：C
7. 现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为 ，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局
两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为 ；
若比赛三场甲获胜，则概率为 ；
甲获得冠军的概率 .
故选：A.
8. 如图，以边长为 4 的菱形 的四条边为直径向外作四个半圆，P 是这四个半圆弧上的一动点，
，则 的最大值是（ ）
A. 16 B. C. 18 D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，由点 的位置分类探讨确定取最大值的位置，再取
中点 ，利用数量积的运算律及定义求出最大值.
【详解】当点 在半圆 或半圆 的弧上时， 在 方向上的投影的数量为非正数；
当点 在半圆 弧上时， 在 方向上的投影的数量在 内， ；
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当点 在半圆 的弧上时， 在 方向上的投影的数量不小于 2，
因此当 取最大值时，点 在半圆 的弧上，取 中点 ，则 ，
而 ，
，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值是 20.
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ， 为虚数单位，其共轭复数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的虚部为
C. 对应的点位于复平面的第三象限 D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用复数的模长公式可判断 A 选项；利用复数的概念可判断 B 选项；利用复数的几何意义可判断
C 选项；利用复数的减法可判断 D 选项.
【详解】因为 ，则 .
对于 A 选项， ，A 错；
对于 B 选项， 的虚部为 ，B 错；
对于 C 选项， 对应的点的坐标为 ，位于第三象限，C 对；
对于 D 选项， ，D 对
故选：CD.
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10. 有三个相同的箱子，分别编号 ，其中 号箱内装有 个红球、 个白球， 号箱内装有 个红球、
个白球， 号箱内装有 个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸
出一个球，事件 表示“取到 号箱 ”，事件 表示“摸到红球”，事件 表示“摸到白球”，
则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项 A，由条件概率公式即可求解；对于选项 B，利用事件 ，事件 相互对立及条件概率
公式即可求解；对于选项 C，由全概率公式和条件概率公式即可求解；对于选项 D，根据选项 C 和条件概
率即可求解.
【详解】因为是等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，
所以由古典概型的概率公式和相互独立事件的概率公式可得：
，
， ， .
对于选项 A，因为 ，所以选项 A 正确；
对于选项 B，因为事件 ，事件 相互对立，
所以 ，故选项 B 不正确；
对于选项 C， 由全概率公式和条件概率公式可得：
，
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所以选项 C 正确；
对于选项 D，由选项 C 知 ，
则 ，故选项 D 正确.
故选：ACD．
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相
关系数为
B. 若一组数据依次为 ，则这组数据的下四分位数为 .
C. 随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 共六个数字，记事件 “骰子向上的
点数是奇数”，事件 “骰子向上的点数是 或 ”，则事件 与事件 是相互独立事件
D. 在二项式 的展开式中，若只有第 项的二项式系数最大，则各项系数和是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用相关系数和回归方程的性质判断 A，先把给定数据排序，再利用下四分位数的计算公式判断 B，
利用古典概型概率公式结合独立事件的概率公式判断 C，利用给定条件得到 ，再结合整体代入法判断
D 即可.
【详解】对于 A，若所有样本点 都在直线 上，
则这组样本数据的样本相关系数为 ，故 A 错误；
对于 B，我们先把 按顺序排列，
得到 ，共有 个数，
而 ，故下四分位数为第 个数 ，故 B 正确；
对于 C，由题意可知， ， ，
而事件 “骰子向上的点数是 ”，则 ，
满足 ，故事件 与事件 是相互独立事件，故 C 正确；
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对于 D，在二项式 的展开式中，若只有第 项的二项式系数最大，
则 ，可得 ，因此展开式各项系数和为 ，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中， 项的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，
即 展开式中 的系数为 .
故答案为：
13. 某校高二年级选考某科的学生有 200 名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分
，则这次考试等级分在 内的人数约为______．
参考数据： ， ，
．
【答案】95
【解析】
【分析】首先根据正态分布确定 的值，然后根据对称性求出等级分在 的概率，进而可求出人
数.
【详解】根据题意可知，考试等级分服从正态分布 ，
则 .而 ，
所以 .
所以这次考试等级分在 内的人数约为 人.
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故答案为：95.
14. 已知函数 、 的定义域均为 ， 是偶函数， 是奇函数，且
， ，则 __________， __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】推导出 ，令 ，可求得 的值；在等式 中，
令 ，可求得 的值，推导出 ，令 ，可求出 的值.
【详解】因为函数 为奇函数，则 ，
可得 ，所以，函数 的图象关于点 对称，
则 ，
令 可得 ，故 ，
因为 ，则 ，
因为函数 为偶函数，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
所以， ，令 ，可得 ，则 .
故答案为： ； .
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求函数值，可利用以下结论来转化：
①函数 的图象关于点 对称，则 ；
②函数 的图象关于直线 对称，则 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 假设有两箱零件，第一箱内装有 10 件，其中有 2 件次品；第二箱内装有 20 件，其中有 3 件次品．现从
两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取 1 个零件．
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．
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【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率；
（2）利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
【详解】（1）取出 零件是次品的概率为 ；
（2）设取出的是次品的事件为 ,此次品是从第一箱取出的事件为 ,
则 , ,
所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为 .
16. 已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）9； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用二项式定理求出 ，进而列式求出 值.
（2）利用赋值法求出 ，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前 项和公式求出 .
小问 1 详解】
依题意， ，所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，则 ， ，
所以数列 的前 项和 .
17. 2025 年 4 月 24 日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关
新闻.某机构将关注这件事的时间在 2 小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该
机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取 200 人进行分析，得到下表（单位：人）：
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航天爱好者 非航天爱好者 合计
女 40 60 100
男 70 30 100
合计 110 90 200
（1）能否有 99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？
（2）现从这 100 名男生与 100 名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层
抽样抽取男生 10 人，女生 5 人.将这 15 人中航天爱好者记为 A 组，非航天爱好者记为 B 组.现从这两组中各
任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A 组中女生人数 的分布列和数学期望.
附： ，其中 ，
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有 99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；
（2）按分层抽样得到 A、B 组的男女生人数，则 A 组中女生人数 的可能值为 1，2，3，从而求出取值对
应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【小问 1 详解】
所以有 99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关.
【小问 2 详解】
按分层抽样，100 名男生中，抽取“航天爱好者”有 7 人，“非航天爱好者”有 3 人，
第 11页/共 15页
100 名女生中，抽取“航天爱好者”有 2 人，“非航天爱好者”有 3 人.
故 A 组有男生 7 人，女生 2 人，B 组有男生 3 人，女生 3 人.
从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后，
A 组中女生人数为 ，则 的可能值为 1，2，3.
， ， .
X 的分布列如下表：
1 2 3
.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 底面
，E 是棱 PB 的中点．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）求 PB 与平面 PCD 所成角的余弦值．
（3）记过点 E 且与平面 PAD 平行的平面为α，求α截四棱锥 所得截面的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出 平面 ，最后结合 所应用面面垂直
判定定理证明；
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（2）先应用线面垂直判定定理得出 平面 ，再结合线面角定义得出 是 PB 与平面 PCD 所
成角，求出余弦值即可；
（3）应用线面平行判定定理得出 平面 进而得出平面 平面 ，
进而得出截面为梯形，最后计算求值.
【小问 1 详解】
证明：因为底面 为菱形，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
【小问 2 详解】
取 CD 的中点 O，连接 BO，PO．
在菱形 ABCD 中，由 ，可得 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ，
则∠BPO 即为 PB 与平面 PCD 所成的角．
因为 ，所以 ， ， ，
则 ，即 PB 与平面 PCD 所成角的余弦值为 ．
【小问 3 详解】
分别取 AB，PC 的中点 F，G，连接 EF，FO，OG，EG．
因为 E 是棱 PB 的中点，所以 ，则 E，F，O，G 四点共面．
又 ， ，所以 平面 ．
同理可得 平面 ，则平面 平面 ，
故α截四棱锥 P-ABCD 所得截面为四边形 EFOG．
所以 ，从而 ，则四边形 EFOG 为直角梯形．
， ， ，
则四边形 的面积 ，
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即α截四棱锥 P-ABCD 所得截面的面积为 ．
19. 已知函数 为偶函数.
（1）求实数 k 的值;
（2）若函数 有两个零点，求实数 a 的取值范围;
（3）若函数 ， 是否存在实数 m 使得 的最小值为 0，若存
在，求出实数 的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义计算 ，化简求出可结果.
（2）函数 有两个零点，即方程 有两个实数根．化简 ，根据复合函数单调性
可求出 的最小值，从而求出 的范围.
（3）化简 可得出 是以 为整体的二次型函数，令 ，根据二次函数轴动区间
定讨论函数的最小值，即可求出 的值.
【小问 1 详解】
是偶函数，
即 对任意 恒成立，
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，
【小问 2 详解】
函数 有两个零点，即方程 有两个实数根．
令 ，则函数 的图象与直线 有两个交点，
由复合函数的单递性知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
当且仅当 即 时，等号成立.
的取值范围是
【小问 3 详解】
， ，
令 ， ，则 ， ，
的最小值为 0，
或 或
或 或