湖南省长沙市浏阳市2024_2025学年高一数学下学期期末质量监测试卷含解析

这是一份湖南省长沙市浏阳市2024_2025学年高一数学下学期期末质量监测试卷含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 设复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由虚部的定义可得解.
【详解】由复数 ，可得 的虚部是 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了复数虚部的概念，属于基础题.
2. 已知点 ， ， ，若 ，则 m 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的坐标，再由 ，得 可求出 m 的值.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：D
3. 设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】C
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【解析】
【分析】借助于长方体这一模型，易于找到反例排除 A,B,D；对于 C 项，可通过构造平面，利用线面平行
的判定与性质，以及平行线的传递性证得结论.
【详解】
对于 A，如图 1，在长方体 中，
分别取平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
显然满足 ， ， ，但此时 ，故 A 错误；
对于 B，如图 2，在长方体 中，
取平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
显然满足 ， ， ，但此时，平面 不垂直，故 B 错误；
对于 C，如图 3，因 ，经过直线 作平面 ，使 ，则得 ，
又 ，经过直线 作平面 ，使 ，则得 ，则有 ，
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又 ，则得 ，因 ， ，故得 ，
因 ，故有 ，即 C 正确；
对于 D，如图 4，在长方体 中，
取平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
显然满足 ， ， ，但此时 ,故 D 错误.
故选：C.
4. 已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量计算可得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即夹角为 ，
故选：C.
5. 把 按斜二测画法得到 ，如图所示，其中 ， ，那么 是
一个（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
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C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二侧画法还原 在直角坐标系的图形，进而分析出 的形状．
【详解】根据斜二侧画法还原 在直角坐标系 图形，如下图所示：
由图得 ， ，故 为等边三角形，
故选：A
6. 某市 6 月 1 日至 14 日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空
气质量指数大于 200 表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
A. 该市 14 天空气质量指数的中位数为 78.5
B. 该市 14 天空气质量指数的第 30 百分位数为 55
C. 该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100
D. 计算连续 3 天空气质量指数的方差，其中 6 日到 8 日的方差最大
【答案】C
【解析】
【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案.
【详解】对于 A，将 14 天的空气质量指数由小到大排列为：
，
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所以该市 14 天空气质量指数的中位数为： ，故 A 正确.
对于 B：因为 ，所以该市 14 天空气质量指数的 百分位数为 ，故 B 正确；
对于 C： ，
该市 14 天空气质量指数的平均值小于 100，故 C 错误；
对于 D：因为连续 3 天空气质量指数，6 日到 8 日的波动最大，也即方差最大，故 D 正确.
故选：C.
7. 在 中， ， ， ，D 为 AB 的中点，P 为 CD 上一点， 且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共线定理得到 ， 两边平方求出 ，得到答案.
【详解】因为 D 为 AB 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 三点共线，设 ，
即 ，
故 ，所以 ，
解得 ，
两边平方得
，
故 .
故选：A
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8. 如图，扇形的半径为 ，圆心角 ，点 在弧 上运动， ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于 直线为 轴建立平面直角坐标系，
设点 ，其中 ，利用平面向量的坐标运算结合辅助角公式、正弦型函数的基本性
质可求得 的最小值.
【详解】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴建立如下图所示的平
面直角坐标系，
则 、 、 ，设点 ，其中 ，
由 可得 ，
即 ，故 ，
因为 ，故 ，
故当 时， 取最小值 .
故选：D.
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列有关复数内容表述正确的是（ ）
A. 若复数 满足 ，则 一定为纯虚数
B. 对任意的复数 均满足：
C. 设在复数范围内方程 的两根为 ， ，则
D. 对任意两个复数 ， ，若 ，则 ， 至少有一个为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的相关定义及运算分别判断各选项.
【详解】A 选项：当 时， ，此时 ，当 为实数，A 选项错误；
B 选项：设 ，则 ， ，B 选项错误；
C 选项： ，则 ， ，则 ，C 选项正确；
D 选项：设 ， ，则 ，
即 ，化简可得 ，即 ，则 与 至少有一个为 ，即
， 至少有一个为 ，D 选项正确；
故选：CD.
10. 已知在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则（ ）
A. 的周长为 12 B. 角 的最大值为
C. 的面积最小值为 D. 的面积最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理得 可判断 A；利用基本不等式得 ，再由余弦定理得 可
判断 B；根据 ，当角 接近 0 时， 的面积也接近 0 可判断 C；由 得
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在 时取得最大值，可判断 D．
【详解】对于 A，由 根据正弦定理得
的周长为 ，选项 A 正确；
对于 B，因为 ，由余弦定理 ，
因为 ，当且仅当 等号成立，所以 ，选项 B 正确；
对于 C， ，当角 接近 0 时， 的面积也接近 0，所以选项 C 错误；
对于 D， ，由 得 在 时取得最大值，
故 在 时取得最大值 ，选项 D 正确．
故选：ABD.
11. 如图，正三棱台 的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，则下列说法正确的是（
）
A. 该三棱台的体积为
B. 若点 在棱 上，则 的最小值为
C. 该三棱台内半径最大球的体积为
D. 若过点 的平面 与平面 平行，则平面 截该三棱台所得的截面面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断 A；把等腰梯形 与
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展开置于同一平面，求出 判断 B；求出体积为 的球直径与棱台的高比较判断 C；求出截面面积判
断 D.
【详解】对于 A，正三棱台 中，取上、下底面的中心 ，连接 ，
则 ，高 ，
， ，
则三棱台的体积 ，A 错误；
对于 D，在 上分别取点 ，使 ，连接 ，
而 ，则四边形 均 平行四边形，即 ， ，
而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，同理 平面 ，
又 ，所以 平面 ，
因此 为平面 截该三棱台所得的截面.
而 ，又 ，则 为正三角形， ，
截面面积 ，D 正确；
对于 B，把等腰梯形 与 展开置于同一平面，连接 ，
由选项 D 知， 为正三角形，则 ， ，等腰 中，
，则底边 ，
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而 边的中点到点 的距离 ，
因此当点 为线段 与 的交点时， 取得最小值 ，B 正确；
对于 C，体积为 的球半径 ， ，解得 ，该球的直径 ，
则此球不可能在正三棱台 内，C 错误.
故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为______cm2．
【答案】
【解析】
【分析】几何体是由圆锥和圆柱组成的，由圆柱与圆锥的表面积公式计算求解即可.
【详解】此几何体是由圆锥和圆柱组成的，
圆锥的底面半径为 ，高为 ，所以母线长为 ，
所以其侧面积为： ，
圆柱的底面积为： ，侧面积为： ，
所以该几何体的表面积为： .
故答案为： .
13. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
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赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为 2500 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新
司机的占 15%，在赔付金额为 4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占 30%，估计在已投保的新司机中，
获赔金额为 4500 元的概率为______．
【答案】 ①. 0.21## ②. 0.18##
【解析】
【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新
司机人数和赔付金额为 4500 元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为 4500
元的概率.
【详解】赔付金额大于投保金额的频率为 ，
估计赔付金额大于投保金额的概率为 0.21，
在样本车辆中，车主是新司机的占 15%，
故投保的新司机人数为 ，
在赔付金额为 4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占 30%，即 人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为 4500 元的概率为 .
故答案为：0.21，0.18
14. 如图：在正方体 中，棱长为 1， 为 中点， 与平面 交于点 ，点
是棱 上一点， 在正方体的表面上运动，且满足 ，则下列说法正确的是________.
① 为 的中点；
②点 可以是 的中点；
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③当 是 的中点时，点 面 ；
④线段 的最大值为 .
【答案】①③
【解析】
【分析】根据线面平行的性质定理，得到 ，又 为 中点，所以 为 中点，可判断①
的真假；假定点 可以是 的中点，推出错误结论，判断②的真假；根据线面平行，推导出线线平行，根
据两平行线可确定一个平面，判断③的真假；确定 点轨迹，可求 的最大值，判断④的真假.
【详解】因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以
，
又 ，所以 ，又 为 中点，所以 为 中点，故①正确；
如图：
若 为 中点，
由正方体结构特征知 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
假设 成立，因为 平面 ，且 是两条相交直线，
所以 平面 ，而 且 平面 ，
所以 与 重合，由①分析知 为 中点，即 ，
所以 不成立，则 不可能为 中点，故②错误；
如图：
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为 中点时， 为 中点，所以 ，
又 ，所以 ，所以 点在平面 内，故③正确；
如图：
为棱 上的点，点 在正方体的表面上运动，且满足 ，
所以点 也是棱 上的点，所以 的最大值为棱长 ，为 1，故④错误.
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定 点轨迹的确定.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ， ．
（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值；
（2）若 z 在复平面内对应的点在直线 上，求 m 的值；
（3）若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到 m 的值；
（2）由题意得到方程，求出 m 的值；
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（3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
若 z 是纯虚数，则 ，
∴ ，则 m 的值为 1；
【小问 2 详解】
若 z 在复平面内对应的点在直线 上，
则 ，解得
【小问 3 详解】
若 z 在复平面内对应的点在第四象限，则 ，
∴ ，则 m 的取值范围为 ．
16. 某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中 10 环、中 8 环或 9 环、中 6 环或 7 环、其他情况，
分别评定为 A，B，C，D 四个等级，各等级依次奖励 2 分、奖励 0 分、罚 2 分、罚 4 分．假设评定为等级
为 A，B，C 的概率分别是 ， ， ．
（1）若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；
（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为 0 分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设事件 分别表示“被评为等级 A，B，C，D”.由题意，事件 两两互斥，然
后利用互斥事件的概率加法公求解即可；
（2）设事件 ，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率
加法公求解即可.
【小问 1 详解】
设事件 A，B，C，D 分别表示“被评定为等级 A，B，C，D”．
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由题意得，事件 A，B，C，D 两两互斥，所以 ．
又因为 被罚分，所以 ．
因此其被罚分的概率为 ；
【小问 2 详解】
设事件 ， ， ， 表示“第 i 次被评定为等级 A，B，C，D”， ，2．
则“两次射击得分之和为 0 分”为事件 ，且事件 ， ， 互斥，
，
，
所以两次射击得分之和为 0 分的概率
.
17. 某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取 100 名学生的原始成绩（满分 100 分）进行分
析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中 的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 和 内的学生中共抽取 6 人查看他们的答题情
况，再从中选取 2 人进行个案分析，求这 2 人中恰有一人原始成绩在 内的概率；
（3）已知落在 的平均成绩 ，方差 ，落在 的平均成绩 ，方差
，求落在 的平均成绩 ，并估计落在 的成绩的方差 .
【答案】（1）0.03
（2）
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（3） ； .
【解析】
【分析】（1）由各组的频率之和为 1，求 的值；
（2）由分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型求概率；
（3）由分层抽样的均值和方差公式求解.
【小问 1 详解】
由题可知 ，
解得 ；
【小问 2 详解】
由原始分在 和 中的频率之比为 ，
故抽取的 6 人中，原始分在 中的有 2 人，记为 ，在 中的有 4 人，记为 ，
则从 6 人中抽取 2 人，所有可能的结果有：
共 15 个基本事件，
其中抽取这 2 人中怡有一人原始成绩在 内的结果有：
共 8 个基本事件，
所以抽取这 2 人中恰有一人原始成绩在 内的概率 ；
【小问 3 详解】
，
.
18. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧面 是等边三角形，平面 平面
， 为 的中点.
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（1）求证： 平面 .
（2）求侧面 与底面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明 ， ，再根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）取 的中点 ，连接 .证明 是平面 与平面 所成二面角的平
面角.在 中，由余弦定理即可求 .
【小问 1 详解】
在等边 中，因为 为 的中点，所以 ，
在正方形 中， ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 , 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 .
则 ，又正方形 中， ，所以 ,
在等边 中，因为 为 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
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又因为 ，所以 是平面 与平面 所成二面角的平面角.
设 ，则 ，
所以 .
19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角
形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当 的三个内角均小于 120°时，
使得 的点 O 即为费马点；当 内有一个内角大于或等于 120°时，最
大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，
且 ．
（1）求 A；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ；
（3）若 ，设点 P 为 的费马点．求 ．
【答案】（1）
（2）
（3）-2
【解析】
分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得 ，即可求得答案；
（2）利用余弦定理结合面积公式求解；
（3）利用费马点 性质等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案．
【小问 1 详解】
已知 中 ．
第 18页/共 19页
即 ，
故 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
由（1）知 ，
所以 ，则 ，
则 ；
【小问 3 详解】
由（1）知 ，所以 的三个角都小于 120°，
则由费马点定义可知： ，
设 ， ， ，由 ，
得 ，
整理得 ，
则
．
【点睛】关键点点睛：由面积分割关系得 .