湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知向量，，且，则， 函数的部分图象大致是， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故，
故选：D
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. 0B. C. 4D. 3
【答案】B
【解析】由，可得，故，即，
则.
故选：B.
3. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，排除A；
易知，排除B；
当且无限趋近于0时，，即，排除.故选：D
4. 函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得，
又，所以，即，所以，
将函数的图象向右平移个单位得到函数，
即，
因为
，
所以.
故选：A
5. 2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量y与x负相关
B. 当时，残差为0.2
C. 可以预测当时销量约为2.1万只
D. 线性回归方程中
【答案】B
【解析】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，
所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误；
对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确．
对于选项D，由B选项可知，故D正确.
故选：B.
6. 某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A. 246B. 252C. 286D. 293
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，
又，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为个.
故选：D
7. 若，且能被17整除，则的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 15D. 16
【答案】D
【解析】
，
因为能被17整除，
所以上式中能被17整除即可满足题意，
所以，
即，
所以的最小值为16，
故选：D.
8. 现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种
A 1960B. 2160C. 2520D. 2880
【答案】C
【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间．
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为，
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为，
则不同的安排方法有种．
故选:．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 已知，是关于的方程的一个根，则
D. 若复数满足，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A：若，则，A正确；
对于B：若，则，B错误；
对于C：由已知，所以，
所以，即，C正确；
对于D：设，则，所以，
所以，且，即，当且仅当时等号成立，
所以，D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中， 正确的是（ ）
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则
D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4
【答案】BC
【解析】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到，
而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误，
对于B，因为随机变量服从正态分布，，
所以，，
故，得到，故B正确，
对于C，因为，所以，
将代入中，得到，解得，故C正确，
对于D，因为样本数据的方差为，
所以数据的方差为，故D错误.
故选：BC
11. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的值域为
C. 对于任意的，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，当时，，
所以y=x，x∈R不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误；
对于B：由取整函数的定义知， ，所以，
，函数的值域为，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，，
所以，故C正确；
对于D：由得，解得，
结合取整函数的定义可得，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数（且）的图象恒过定点________.
【答案】
【解析】令，解得，又，
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】令，即，
因此原等式为，项为，
所以.
故答案为：
14. 已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________.
【答案】
【解析】设，因为，
所以，
设的内切圆的半径为，则，
即，解得，
因为三棱柱有内切球，
所以，
因为，，
所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为，
所以三棱锥的内切球的表面积为，
三棱锥的外接球的表面积为，
所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项;
（2）若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项.
解：（1）因为展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，
所以，即，，
整理得，解得或（舍），
所以展开式的通项为，
令，得，
故常数项为.
（2）令，得所有项的系数之和为，解得.
由于是偶数，所以展开式中共有5项，且第3项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
16. 已知的内角的对边分别为的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.
解：（1）依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
（2）依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
17. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．
解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，
则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
（1）由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
P(A1|B)＝＝＝＝.
类似地，可得P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.
18. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
（3）若，求二面角的正切值．
解：（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
则，，所以点A的曲率为，
所以．因为，所以△ABC为正三角形．
因为N为AB的中点，所以．
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）取的中点D，连接DM，DN．
因为N为AB的中点，所以且．
又且，所以且，
所以四边形CNDM平行四边形，则．
由（1）知平面，则平面．
又平面，所以平面平面．
（3）取BC的中点F，连接AF，则．
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面．
又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH，
则，又平面，所以平面，
又平面，，
所以∠AHF为二面角的平面角的补角．
设，，则，，．
由等面积法可得，则，
则，故二面角的正切值为．
19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
（1）已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
（2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
解：（1）（ⅰ）由，易得，……
由一阶等差数列的定义得：，，.
（ⅱ）因为，所以当时有，
所以，即，
即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
即是一阶等比数列.
（2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，
则，，所以.
由题意，所以，
所以，
即.
所以为整数当且仅当为整数.
由已知时符合题意，时不合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为①，
显然含质因子3，所以必为9的倍数，
设，则，将代入①式，
当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数；
当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数.
综上，当时，为整数.时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5