河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期开学检测数学试题

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5．D【详解】若表示椭圆，则有，
解得或.故选：D.
6．B【详解】因为两直线交于，
则，即，且，则；
由原点到直线的距离
由， 则，当且仅当时，取最大值，此时.
即两直线重合时，原点到直线的距离最大.
7．B【详解】圆的圆心，半径为1，因为，则，
由题意可知：，相交于圆心，则，整理得所以．
8．B【详解】设Px,y，，，若，则，
即，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，
由条件可知，圆与圆有交点，
则，解得：，所以的最大值为.
9．ABC【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即.
设点关于直线的对称点，
则有，即，解得，即.
于是反射后的光线所在的直线方程为，即.
对于A：时，故A正确；对于B：时，故B正确；
对于C：时，故C正确；对于D：时，故D错误；
10．ABC
【详解】由，得，则
，
因为P是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确，对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误.
11．BCD
【详解】对于A，椭圆C的方程可化为，则半焦距c=8−4=2，
所以离心率，故A错误；
对于B，圆P的方程可化为，则圆心为，故B正确；
对于C，圆P上的点显然在椭圆C内，
联立可得，
而，
所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确；
对于D，设，
则
则，
所以时，取得最小值，
又B是圆：上一点，即可得,
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】联立，解得，故交点坐标为，
设直线方程为，
将代入得，解得，
故所求直线方程为.
故答案为：
13．4
【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，
是的中点，是的中点，
为的中位线，
，
由椭圆的定义得．故答案为：4．
14．【详解】由题意可知，，
，整理为，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与定点1,0连线的斜率，
设，即，如图可知，直线与圆有交点，
则，解得：.故答案为：
15．(1) (2)或
【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，则，解得．
故其半径．故圆的方程为：；
（2）设直线l的方程为：，因为为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离，即，
解得或－8，所以l：或．
16．(1)(2)
【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离为，
故，故，故直线的方程为，即.
（2）设，因为是的中点，所以，所以，
又直线过定点，所以，
所以，
整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故OQ的最大值为.
17．(1)(2)
【详解】（1）由条件设，因为所在的直线和垂直，
∴，∴∴，.
（2）设，，因为，∴，
∴.
∴，，因为在，∴.
∴，∴，∴的方程为，即.
18．(1)直角坐标系见解析，，(2)
【详解】（1）以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．
椭圆的短半轴长，又，
所以，
所以半椭圆的方程为．
（2）设第一象限内的点的横坐标为，则，．
由得，
解得，此时．故达到最佳美观的效果时长为．
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设的坐标，由，
得， 化简，得，即.
故的轨迹方程为.
（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以
当与轴不垂直时，设的方程为，，
将代入得.
所以，.
则直线的斜率之和为
由得.
则.
从而，故的倾斜角互补，所以.
综上，
方法二：当与轴重合时，.
当与轴不重合时，设的方程为，，
将代入得.
所以，.
则直线的斜率之和为.
由得.
则.
从而，故的倾斜角互补，所以.
综上，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
D
B
B
B
ABC
ABC
题号
11









答案
BCD