漯河市高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份漯河市高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量,则与同向共线的单位向量( )
A.B.C.D.
2．直线,,,的图象如图所示,则斜率最小的直线是( )
A.B.C.D.
3．若圆的半径为2,则实数m的值为( )
A.B.C.9D.8
4．如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,M为OA中点,N为BC中点,则等于( )
A.B.C.D.
5．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、,设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、,则( ).
A.B.C.D.
6．曲线与直线有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,,动点满足,则点P的轨迹与圆的公切线的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知A,F分别是椭圆的左顶点和右焦点,P是椭圆上一点,直线AP与直线相交于点Q.且是顶角为120°的等腰三角形,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设,,是空间的一个基底,则下列说法不正确的是( )
A.则,,两两共面,但,,不可能共面
B.若,,则
C.对空间任一向量,总存在有序实数组,使
D.,,不一定能构成空间的一个基底
10．在曲线中,( )
A.当时,则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B.当时,则曲线C为椭圆
C.曲线C关于直线对称
D.当时,则曲线C的焦距为
11．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角的取值范围为
B.“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C.直线恒过定点
D.直线与直线平行,且与圆相切
12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案,如图1,把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则( )
A.
B.直线CQ与平面所成角的正弦值为
C.点到直线CQ的距离是
D.异面直线CQ与BD所成角的余弦值为
三、填空题
13．已知向量,,若,则________.
14．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(A，B，C，，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
15．已知过抛物线的焦点F,且斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,则________.
16．已知圆与直线交于,两点,点在直线上,且,则a的取值范围为________
四、解答题
17．直线l经过两直线和的交点.
（1）若直线l与直线垂直,求直线l的方程;
（2）若点到直线l的距离为,求直线l的方程.
18．已知空间三点,,,设,.
（1）求和的夹角的余弦值;
（2）若向量于互相垂直,求k的值.
19．已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点,其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）是否存在被点平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
20．已知圆心为C的圆经过点和,且圆心在直线上.
（1）求此圆的标准方程;
（2）设点是圆C上的动点,求的最小值,以及取最小值时对应的点P的坐标.
21．在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,且E,F分别为PC,CD的中点,
（1）证明:平面PAB;
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为,求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
22．过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点,为其左焦点,已知的周长为8,椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为向量,
所以已知向量,
所以与同向共线的单位向量,
故选:C
2．答案：B
解析：设直线,,,的斜率分别为,,,,由图可得直线,的斜率为负值,直线,的斜率为正值,因为直线越陡峭,斜率的绝对值越大,所以,,所以,所以斜率最小的直线是.故选B.
3．答案：D
解析：由,得,
所以,解得.
故选:D.
4．答案：A
解析：由题意得:,
故选:A.
5．答案：C
解析：设椭圆标准方程为,则,
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为,故离心率,
则,,,
由,则.
故选:C.
6．答案：D
解析：根据题意画出图形,如图所示:
由题意可得:直线l过,,
又曲线图象为以为圆心,2为半径的半圆,
当直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离,即,
解得:;
当直线l过B点时,直线l的斜率为,
则直线l与半圆有两个不同的交点时,实数k的范围为.
故选:D.
7．答案：C
解析：依题意动点满足,
所以,,
整理得,所以P点的轨迹是以为圆心,半径的圆.
圆的圆心为,半径,
,所以两圆外切,则公切线有3条.
故选:C
8．答案：C
解析：如图,设直线l与x轴的交点为H,由是顶角为120°的等腰三角形,知,.
于是,在中.
而,故.
结合得,即,解得.
故选:C.
9．答案：BD
解析：对于A,显然,,两两共面,但,,不可能共面,否则不能构成空间的一个基底,故A正确;
对于B,由空间向量基底的定义可知,当,时,所,成角不一定为,故B错误;
对于C,根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组,使,故C正确;
对于D,假设向量,,共面,
则,化简得,
因为,,不共面,所以,无解,
所以,,不共面,一定能构成空间的一个基底,故D错误.
故选:BD.
10．答案：ABD
解析：将曲线化为,
对于A,当时,则,
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆,故A正确;
对于B,当时,曲线C为椭圆,故B正确;
对于C,当时,曲线C为椭圆,
椭圆的对称轴为坐标轴,不关于直线对称,故C错误;
对于D,当时,则曲线C为椭圆,
则曲线C的焦距为,故D正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A:设直线的倾斜角为,
则,所以的取值范围是,故A正确;
对于B:由点到直线距离为,可得,
解得或,
所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件,故B错误;
对于C:,即,恒过定点,故C正确;
对于D:直线即与直线平行,
圆的圆心为,半径为,
又圆心到直线的距离为,
所以与圆相切,故D正确;
故选:ACD
12．答案：BC
解析：A选项,以A为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,
,,,
则,A错误;
B选项,平面的法向量为,
,设直线CQ与平面所成角的大小为,
则,B正确;
C选项,,
点到直线CQ的距离为,C正确;
D选项,,
设异面直线CQ与BD所成角大小为,
则,D错误.
故选:BC
13．答案：
解析：由,得解得
故答案为:
14．答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(A，B，C，，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.
15．答案：
解析：抛物线的焦点F的坐标为
斜率为3且过焦点的直线方程为
联立抛物线方程,得,化简得
设两个交点坐标分别为,
所以,,
则
,,
所以
16．答案：
解析：因为,
所以是直线与AB的垂直平分线的交点,
联立与,可得:
,
由得:或,
设,,
则,,
所以,
所以AB中点坐标为,
AB的垂直平分线方程为:,
与联立得:,
因为或,
所以
故答案为:
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）直线方程与方程联立得交点坐标为.
设直线的方程为,代入交点得,所以l的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时,得l的方程为,符合条件.
当l的斜率存在时,设直线l的方程为即
根据,解得,
所以直线l的方程为.
综上所述,l的方程为或.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为,,,
所以,
所以,
即和夹角的余弦值为;
（2）因为向量与互相垂直,
所以,
因为,,,
所以,
解得或.
19．答案：（1）;
（2）不存在,理由见解析.
解析：（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为,
可设双曲线方程为,代入,可得,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在被点平分的弦,记弦所在的直线为l.设是弦的中点,设,,则.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,
即两式相减得,
所以,所以直线l的斜率,
所以直线l的方程为,即.
联立直线l与双曲线方程得消去y,得,
显然,所以直线l与双曲线无交点,
所以直线l不存在,故不存在被点平分的弦.
20．答案：（1）
（2）;
解析：（1）因为,,设圆心为,AB中点为M,所以AB中点为,,则,,,
联立可得,即,,
故圆的方程为;
（2）设,,故所求问题转化为P到点距离的平方的最小值,则,,
所以;
,,联立得,
即,易知,则,即.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取PB中点M,连接AM,EM,
为PC的中点,,,
又,,,,
四边形ADEM为平行四边形,,
平面PAB,平面PAB,
平面PAB;
（2）平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
平面PAB,
取AB中点G,连接FG,则,平面PAB,
,,
,,又,,,
如图以G为坐标原点,GB为x轴,GF为y轴,GP为z轴建立空间直角坐标系,
,,,
,,设平面PCD的一个法向量,,
则,取,则,
平面的一个法向量可取,
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为,
,
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
22．答案：（1）;
（2）存在圆心在原点的圆满足条件.
解析：（1）结合椭圆的定义可知,的周长为4a,故,解得,
,故椭圆C的方程为;
（2）假设满足条件的圆存在,其方程为,
当直线PQ的斜率存在时,设其方程为,
由,消去y整理得.
设,,
则,即,
,.①
,.又,.
,即.②
将①代入②得,即.
直线PQ与圆相切,圆心到直线的距离d等于半径r,
即,
存在圆满足条件.
当直线PQ的斜率不存在时,圆也满足条件.
综上所述,存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q,且.