初中数学人教版（2024）八年级上册整式的乘法单元测试课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册整式的乘法单元测试课后测评，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十六章 整式的乘法 单元测试 -2025-2026 学年人教版八
年级数学上册
一、选择题
1 ．已知 2x ＝5，则 2x+3 的值是( )
A ．8 B ．15 C ．40 D ．125
2 ．有（ ）个整数 n(不必是正的)可以使得 的值是一个整数．
A ．4 B ．6 C ．8 D ．9
3 ．已知10a = 20 ，100b = 50 ，则 的值是 ( )
A ．2 B ． C ．3 D ．
4 ．若3x = 4 ，9y = 7 ，则 3x+2y 的值为( )
A ．28 B ．14 C ．11 D ．18
5 ．一个矩形的面积为ab2 - a2b ，一边长为a ，则它的另一边长为( )
A ．a - b B ．b2 + a C ．b2 - ab D ．b - a2
6 ．下列计算正确的是( )
A ．a4 + a2 = a6 B ．a5 . a2 = a7 C ．(ab5 )2 = ab10 D ．a10 ÷ a2 = a5
7 ．要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含 x4 项，则 a 应等于( )
A ．6 B ．-1 C ． D ．0
8 ．边长分别为 m 和2m 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为( )
A ．4m2 B ．3m2 C ．2m2 D ．m2
9 ．216 - 1能分解成 n 个质因数的乘积，n 的值是( )
A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
10 ．有两类正方形A ，B ，其边长分别为 a ，b ．现将B 放在A 的内部得图 1，将 A ，B 并 列放置后构造新的正方形得图 2．若图 1 和图 2 中阴影部分的面积分别为 1 和 12，则正方形
A ，B 的面积之和为( )
A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
二、填空题
11 ．已知am = 8 ，an = 5 ，则 am+n = ．
12 ．计算：(-2a2 )3 =
13 ．已知3x = 2 ，3y = 5，则 9x+y = ．
14 ．计算：（1）(2x)3 = ；（2）(-5a2b)(-3a) = ；（3）(ab)5 ÷ (ab)2 = ．
15 ．若关于 x 的多项式(2x +4)(x - k) 展开后不含有 x 一次项，则实数 k 的值为 ．
16 ．如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为(3a + b)， 宽为(a + 3b) 的大长方形，则需要 C 类卡片张数为 ．
17 ．若有（x -3）0=1 成立，则 x 应满足条件 ．
18 ．化简(x + y + z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3 - (x + y - z)3 ，结果为 ．
19．若一个四位数 M 的个位数字与十位数字的平方差恰好是 M 去掉个位数字与十位数字后 得到的两位数，则这个四位数 M 为“平方差数”．一个“平方差数”M 的千位数字为 a，百位数 字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记 且 当G 均 是整数时，当满足条件的 M 取得最大值时，c + d = ，最大值为 ．
20 ．已知 求 ．
三、解答题
21 ．计算：
(2) 2(x2 )3 . x3 - (3x3 )3 + (5x )2 . x7
22 ．阅读理解：规定两数a ，b 之间的一种运算，若ac = b ，记作(a, b) = c ．例如：因为
23 = 8 ，所以(2,8) = 3 ．
(1)根据上述规定，填空：
①若(3, x) = 3 ，则 x = _______；
②若(y, 4) = 2 ，则 y = ______．
(2)若(2,5) = a ，(2,3) = b ，(4,15) = c ，请推理 a ，b ，c 三个量的数量关系．
23 ．若(x2+mx-8) (x2-3x+n)的展开式中不含 x2 和 x3 项，求 m 和 n 的值
24 ．（阅读理解问题）认真阅读下面材料，回答问题： 例如：已知3n = 59049 ，求 3n-2 的值．
解：Q 3n = 59049 ，:3n-2 = 3n ÷ 32 = 59049 ÷ 9 = 6561． 回答问题：
(1)若9n = 729，求 32n-2 的值；
(2)如果3x = 27，求 32x+3 的值
25 ．已知正整数 x，y 满足 22x - 32y = 55，求 x 的最大值．
26 ．（1）若x + = 2 ，求 的值；
（2）若 2m = 3 ，2n = 6 ，求 2m+n ，23m-2n .
27 ．如图1，将长为2a ，宽为2b 的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图 中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2 所示的图形．
(1)通过两种不同的方法表示图2 中阴影部分的面积，可得到关于a ，b 的等量关系为
(2)根据(1) 中的等量关系，解决下列问题：
① 若m + n = 6 ，mn = 3 ，则 (m - n)2 的值为________；
② 将边长分别为x ，y 的正方形ABCD ，正方形CEFG 按图 3 摆放，若xy = 12 ，BG = 1， 求图3 中阴影部分面积的和．
1 ．C
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵2x ＝5，
: 2x+3 = 2x . 23 = 5 × 8 = 40 故选 C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
2 ．D
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的 关键．利用 是整数，得出只需25 . 2n = 25+n 和 同时是整数即 可，得出整数n 需满足：-5 ≤ n ≤ 3 ，即可求解．
解 是整数，且2 和 5 互质，
故只需25 . 2n = 25+n 和 = 53-n 同时是整数即可， ∵ 25 . 2n = 25+n 是整数，需满足整数n ≥ -5 ，
是整数，需满足整数n ≤ 3 ，
:整数n 需满足：-5 ≤ n ≤ 3 ， : n = 3, 2,1, 0, -1, -2, -3, -4, -5 ,
: n 共有 9 个取值， 故选：D．
3 ．C
【分析】根据同底数幂的乘法10a .100b = 103 ，可求 a + 2b = 3 再整体代入即可． 【详解】解: ∵ 10a = 20 ，100b = 50 ，
: 10a .100b = 10a+2b = 20 × 50 = 1000 = 103 ， : a + 2b = 3 ，
故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方， 同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数 幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．
4 ．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的 关键．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则化简计算即可得出结果．
【详解】解：∵ 3x = 4 ，9y = (32 )y = 32y = 7 ， : 3x+2y = 3x .32y = 4 × 7 = 28 ．
故选：A．
5 ．C
【分析】用 ab2 - a2b 除以a 即可求出另一边长．
【详解】解：矩形的面积为 ab2 - a2b ，一边长为a ，则它的另一边长为 (ab2 - a2b) ÷ a = b2 - ab ；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法，解题关键是熟练运用整式除法法则进行准确计算．
6 ．B
【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A. a4、a2 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B. a5 . a2 = a7 ，符合题意；
C. (ab5 )2 = a2b10 ，不符合题意；
D. a10 ÷ a2 = a8 ，不符合题意； 故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项和幂的运算，掌握相关法则是解题关键．
7 ．D
【详解】试题分析： 单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算 法则进行计算得出答案．原式= -6x5 - 6ax4 - 6x3 ，根据题意可得：-6a=0 ，解得：a=0，故选 D．
8 ．D
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用， 根据阴影部分的面积= 两个正方形的面积之和
- 两个三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得：
图中阴影部分的面积为
m2 + (2m)2 - m + 2m)×2m - 2m - m)×2m = m2 + 4m2 - 3m2 - m2 = m2 ， 故选：D．
9 ．C
【分析】此题考查了分解质因数的问题与平方差公式分解因式的知识．题目难度适中，首先 利用平方差公式对216 - 1进行因式分解，然后判断每个因数是否为质数，即可确定其质因数 的个数．
【详解】解：216 - 1
(( 1(28 - 1)
= (28 +1)(24 +1)(24 -1)
= (28 +1)(24 +1)(22 +1)(22 -1)
= (28 +1)(24 +1)(22 +1)(2 +1)(2 -1)
= 257 × 17 × 5 × 3 × 1，
其中，3, 5,17, 257 是质数，
故216 - 1能分解成 4 个质因数的乘积，即n = 4 ， 故选：C．
10 ．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图 形得出数量关系是解题的关键．根据图 1 的阴影部分面积求出(a - b)2 的值，根据图 2 阴影 部分的面积求出2ab 的值，再根据完全平方公式求出a2 + b2 的值即可得到答案．
【详解】解：由图 1 得：(a - b)2 = 1，即 a2 + b2 - 2ab = 1， 由图 2 得：(a + b)2 - a2 - b2 = 12 ，整理得 2ab = 12 ，
: a2 + b2 -12 = 1 ，
: a2 + b2 = 13 ．
即正方形 A 、B 的面积之和为 13． 故选 C．
11 ．40
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用的知识点． 根据同底数幂的乘法法则求解即可．
【详解】解：am+n = am . an = 8 × 5 = 40 ， 故答案为：40 ．
12 ．-8a6
【分析】本题考查整式的运算，先用积的乘方将原式化为 (-2)3 × (a2 )3 ，然后根据有理数的 乘方及幂的乘方进行计算即可．解题的关键是掌握：积的乘方、幂的乘方．
【详解】解：(-2a2 )3 = (-2)3 × (a2 )3 = -8a6
故答案为：-8a6 ．
13 ．100
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算将式子化为
9x+y = 9x . 9y = (32 )x . (32 )y = (3x)2 . (3y )2 ，再代入 3x = 2 ，3y = 5，进行计算即可得到答案． 【详解】解：Q 3x = 2 ，3y = 5 ，
:9x+y = 9x . 9y = (32 )x . (32 )y = (3x)2 . (3y )2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 ， 故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算， 熟练掌握同底数幂 的乘法的运算法则以及幂的乘方的运算法则是解题的关键．
14 ． 8x3 15a3b a3b3
【分析】（1）利用积的乘方法则计算可得；
（2）利用单项式乘单项式的乘法法则计算可得；
（3）利用幂的除法法则计算可得． 【详解】（1）(2x)3 = 8x3 ；
（2）(-5a2b)(-3a) = 15a3b ；
（3）(ab)5 ÷ (ab)2 = (ab)3 = a3b3 ．
【点睛】本题考查幂的运算的理解与运用能力，单项式与单项式的乘法．幂的乘法法则：
am . an = a(m+n) ；幂的除法法则：am ÷ an = a(m-n) （ a ≠ 0 ，m ，n 均为正整数，并且m > n ）．幂
的乘方法则：(am )n = amn （n 为正整数）．熟练掌握幂的运算法则是解本题的关键．
15 ．2
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求 出(2x +4)(x - k) 的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为 0 进行求解即 可．
【详解】解：(2x + 4)(x - k)
= 2x2 - 2kx + 4x - 4k
= 2x2 - (2k - 4)x - 4k ，
∵关于 x 的多项式(2x +4)(x - k) 展开后不含有 x 一次项， : 2k - 4 = 0 ，
: k = 2 ，
故答案为：2．
16 ．10
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用， 单项式除以单项式等知识．熟练掌握多项式乘 多项式的应用，单项式除以单项式是解题的关键．
由题意知，大长方形的面积为(3a + b)(a + 3b) = 3a2 +10ab + 3b2 ，根据大长方形的面积为 A、
B 、C 类卡片面积的和求解作答即可．
【详解】解：由题意知，大长方形的面积为 (3a + b)(a + 3b) = 3a2 +10ab + 3b2 ， ∵ 10ab ÷ ab = 10 ，
:需要 C 类卡片张数为10 张， 故答案为：10 ．
17．x≠3
【分析】a0 = 1(a ≠ 0) 便可推导.
【详解】解：根据题意得：x -3≠0，解得：x≠3． 故答案是：x≠3．
【点睛】本题考查“除 0 以外的任何数的 0 次方都是 1”知识点，掌握 0 次幂为 1 成立的条件 为本题的关键.
18 ．24xyz
【分析】本题主要考查多项式的因式分解能力 ．特别是对复杂三次多项式的处理技巧． 发现表达式的对称性，并通过巧妙的展开或变量替换简化计算．
【详解】解：当 x = 0 时，(x + y + z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3 - (x + y - z)3
= (y + z)3 - (y + z)3 - (z - y)3 - (y - z)3 = 0 ， :原多项式含有因式(x - 0)，即含有因式 x ， 同理，原多项式含有因式y 和z ，
又:原式是三次对称式，
:化简后结果不超过三次，
:设(x + y + z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3 - (x + y - z)3 = kxyz ， 令x = 1 ，y = 1 ，z = -1，
: (1+ 1 - 1)3 - (1 - 1 - 1)3 - (-1 + 1 - 1)3 - (1+ 1 + 1)3 = -k ， 解得k = 24 ．
:结果为24xyz ．
故答案为：24xyz ．
19 ． 9 6318
【分析】根据M 为“平方差数”可得(d + c)(d - c) = 10a + b ，则
M = 1000a +100b +10c + d = 100 (d + c )(d - c )+10c + d ，P (M ) = 100 (d - c)+1+ ，进而 得到 是整数，设d = kc ，（k 为整数且k ≠ 0 ），因此 得到k = 2 或 8，当k = 2 时，对c ，d 进行取值，并求出此时M ；当k= 8 时，对c ，d 进行取值，并求出 此时M ，即可求解．
解 且 Q 四位数M为“平方差数”，
: (d + c)(d - c) = 10a + b ，
: M = 1000a +100b +10c + d
= 100 (10a + b) +10c + d
= 100 (d + c )(d - c ) +10c + d ，
100 (d + c)(d - c) +10c + d
=
c + d
Q P(M ) 是整数，
: 是整数，
由 为整数可知，d ≥ c ， 设 为整数且k ≠ 0 ）， : d = kc ，
: k = 2 或 8， 当 k = 2 时，
①若c =1，则 d = 2 ，此时(d + c )(d - c ) < 10 ，不符合题意；
②若c = 2 ，则 d = 4 ，此时(d + c )(d - c ) = 12 ，M = 1224 ；
③若c = 3，则 d = 6 ，此时(d + c )(d - c ) = 27 ，M = 2736 ；
④若c = 4 ，则 d = 8 ，此时(d + c )(d - c ) = 48 ，M = 4848 ；
⑤若c =5 ，则 d = 10 ，不符合题意； 当 k = 8 时，
①若c = 1，则 d = 8 ，此时(d + c )(d - c ) = 63 ，M = 6318 ；
②若c =2 ，则 d = 16 ，不符合题意．
综上，符合条件的M 有 1224 ，2736 ，4848 ，6318，其中最大值为 6318，此时 c + d = 9 ． 故答案为：①9；②6318．
【点睛】本题考查因式分解的应用， 涉及整除、新定义等知识， 理解新定义，并用含c ，d 的代数式表示出M是解题关键．
20 ．7
【分析】本题考查了分式的运算，对已知式子进行平方运算可得 然后可得
答案．
【详解】解：∵ x + = 3 ， : (çè x + 2 = x2 + + 2 = 9 ，
故答案为：7 ．
(2)0
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
（1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：(çè - x2y2 3 + 3ç x3y3 ö,÷2
（2）解：2 (x2 )3 . x3 - (3x3 )3 + (5x )2 . x7
= 2x6 . x3 - 27x9 + 25x2 . x7
= 2x9 - 27x9 + 25x9
= 0 ．
22 ．(1)①27 ，② ±2
(2) a + b = 2c
【分析】本题考查定义新运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用：
（1）根据新运算，得到 x = 33 , y2 = 4 ，进行求解即可；
（2）根据新运算，2a = 5, 2b = 3, 4c = 15 ，根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用进行判断 即可．
【详解】（1）解：① x =33 = 27 ；
故答案为：27
②: 22 = 4, (-2)2 = 4 ， : y = ±2
故答案为： ±2 ；
（2）:(2,5) = a ，(2,3) = b ，(4,15) = c ， : 2a = 5, 2b = 3, 4c = 15 ，
: 22c = 15 ， : 3 × 5 = 15 ，
: 2a . 2b = 2a+b = 22c ， : a + b = 2c ．
【分析】首先根据多项式的乘法法则将多项式进行展开， 然后进行合并同类项．根据不含哪 一项，则哪一项的系数为零列出方程组，从而得出答案．
【详解】原式=x4+（m-3）x3+（n-3m-8）x2+（mn+24）x-8n， 根据展开式中不含 x2 和 x3 项得
解得：
【点睛】本题主要考查多项式的乘法计算法则， 属于中等难度的题型．能够进行合并同类项 是解决这个问题的关键．
24 ．(1)81；
(2)19683
【分析】（1）由 9n = 729可得32n = 729 ，再仿照阅读材料解答即可求解；
2
本（和、23，(掌) ，；的关键．
【详解】（1）解：: 9n = 729 ，
: 32n = 729 ，
: 32n-2 = 32n ÷ 32 = 729 ÷ 9 = 81 ；
（2）解：∵ 3x = 27 ，
2
2:2x = (3x) × 33 = 272 × 27 = 19683 ．
【分析】本题考查因式分解的应用， 解题的关键是利用平方差公式将等式变形，再结合正整 数的条件分析因数分解的情况求解．
先利用平方差公式将22x - 32y 变形为(2x - 3y )(2x + 3y ) ，再根据 x ，y 是正整数，对 55 进行 正整数因数分解，分情况列方程组求解，进而确定x 的最大值．
【详解】解：∵ 22x - 32y = 55 ， : (2x )2 - (3y )2 = 55 ，
(2x - 3y )(2x + 3y ) = 55 ． ∵ x ，y 是正整数，
: 2x ，3y 都是正整数，且2x + 3y > 2x - 3y > 0 ． ∵55 的正整数因数分解有55 = 1 × 55 = 5 × 11 ， :分以下两种情况讨论：
情况一
将这两个方程相加，可得：
(2x - 3y ) + (2x + 3y ) = 1+ 55 2 × 2x = 56
2x = 28
∵ 24 = 16 ，25 = 32 ，
:不存在正整数x 使得2x = 28 ， :此情况无解．
情况二
将这两个方程相加，可得：
(2x - 3y ) + (2x + 3y ) = 5 +11 2 × 2x = 16
2x = 8
∵ 23 = 8 ， : x = 3 ．
把x =3 代入2x - 3y = 5 ，可得：
8 - 3y = 5
3y = 3
y = 1
x = 3 ，y = 1均为正整数，符合条件． 综上，x 的最大值为3 ．
x4+ =2；（2）18 ；0.75.
【分析】（1）因为 x 与两个数互为倒数， 它们的积是 1，所以我们可先计算出这两个数的 和的平方，再移项计算出它们的平方和，相同的办法，利用两个数的平方和，两边平方，计 算出这两个数的 4 次方的和．
（2）根据同底数幂的除法和乘法进行运算即可.
【详解】（1）因为 x+ =2，
所以 即
所以
因为
所以 即 所以
（2）2m ×2n = 2m+n =3×6=18， (2m )3 =23m ，(2n)2 = 22n ，
23m-2n = 23m ÷ 22n =33÷62=0.75.
【点睛】此题考查分式的加减， 幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解题关键在于掌握
运算法则.
27 ．(1) (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab ；
(2) ① 24 ； ②3.5 ．
【分析】本题主要考查了全平方公式的几何意义，解决本题的关键是根据图形的面积关系得 到两个完全平方公式之间的关系(a + b)2 - 4ab = (a - b)2 ，再利用这个关系解决问题．
(1) 根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为(a + b)2 - 4ab ， 也可根据小长方形的摆放位置用代数式b - a 表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积 公式直接表示出阴影的面积为(a - b)2 ，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可 得(a + b)2 - 4ab = (a - b)2 ；
(2) ① 由(1) 可知(m - n)2 = (m + n)2 - 4mn ，把 m + n = 6 和mn = 3 代入计算即可求出(m - n)2 的值；
(2) ② 从图中两个正方形的位置可以得出S阴影 从而可得
S阴影 ，根据 (1) 中得到的公式可知(x + y)2 = (x -y )2 + 4xy = 49 ，两边同时开方求 出x + y 的值，即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为 a - b ，
: 阴影的面积为：(a - b)2 ，
阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为2a 、宽为 2b 的长方形的面积， : 阴影的面积也可以表示为：(a + b)2 - 2a·2b = (a + b)2 - 4ab ，
:可得到关于a ，b 的等量关系为(a + b)2 - 4ab = (a - b)2 ， 故答案为：(a + b)2 - 4ab = (a - b)2 ；
（2） ① 解：由(1) 可知(m - n)2 = (m + n)2 - 4mn ， 当m + n = 6 ，mn = 3 时，
(m - n)2 = (m + n)2 - 4mn = 62 - 4× 3 = 36 -12 = 24 ， 故答案为：24 ；
② 解：如下图所示，
Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 为正方形，且边长分别为x 和y ，
: AB = BC = CD = DA = x ，EC = CG = EF = FG = y ，
:DE = MF = AM = GB = x - y = 1 ，
由(1) 可知(x + y)2 = (x -y )2 + 4xy = 12 + 4× 12 = 49 ， :x + y = 7 或x + y = -7 (舍去)，