人教版（2024）八年级上册整式的乘法单元测试同步测试题

这是一份人教版（2024）八年级上册整式的乘法单元测试同步测试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十六章
整式的乘法
一、单选题
1 ．若a ≠ 0 ， 则下列运算正确的是( )
A ．a3 - a2 = a B ．a3a2 = a6 C ．a3 + a2 = a5 D ． a3 ÷ a2 = a
2 ．下列运算中，正确的是( )
A ．a2 . a4 = a8 B ．a10 ÷ a5 = a2 C ．(a5 )2 = a10 D ．(2a)4 = 8a4
3 ．计算(-2b)3 的结果是( )
A ．-8b3 B ．8b3 C ．-6b3 D ．6b3
4 ．下列各式，计算正确的是( )
A ．a4 . a2 = a8 B ．(a4 )2 = a6 C ． a4 ÷ a2 = a2 D ．a4 + a2 = 2a6
5 ．3 (22 +1)(24 +1)(28 +1) ··· (232 +1)+1 的个位数是( )
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 8
6 ．下列运算正确的是( )
A ．a . a2 = a2 B ．(ab)3 = ab3 C ．(a3 )2 = a6 D ．a10 ÷ a2 = a5
7 ．若 M=（x-2）（x-7），N=（x-6）（x-3），则 M 与 N 的关系为( )
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．M 与 N 的大小由 x 的取值而定
8 ．如图，有两个正方形 A，B ．现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A，B 并列放置后，构造新 的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 12，若三个正方形 A和两 个正方形 B 如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为( )
A ．28 B ．29 C ．30 D ．31
9 ．已知a, b 为实数，且满足ab >0, a + b - 2 = 0 ，当 a - b 为整数时，ab 的值为( )
A ． 或 B ． 或 1 C ． 或 1 D ． 或
10 ．现有若干个长为a ，宽为b 的小长方形（如图 1）．将其中 2 个小长方形摆放在边长为a 的正方形内（如图 2），右下角阴影部分的面积为 9；再将其中 3 个小长方形摆放在边长为 (a + b) 的正方形内（如图 3），记右上角的阴影部分面积为S1 ，右下角的阴影部分面积为
S2 ．若 则S2 - S1 的值为 ( )
A ．10 B ． C ．11 D ．
11．如图，有 A、B、C 三种不同型号的卡片，每种各 10 张．A 型卡片是边长为 a 的正方形， B 型卡片是相邻两边长分别为 a 、b 的长方形，C 型卡片是边长为 b 的正方形．从中取出若 干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方 形的个数是( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
12 ．若(x + m)(x -1) 的计算结果中不含 x 的一次项，则 m 的值是( )
A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2．
二、填空题
13 ．若（2a+b）2 ＝11 ，ab ＝1，则（2a -b）2 的值是 ．
14 ．我们规定：a Ä b = 10a × 10b ，例如 3 Ä 4 = 103 × 104 = 107 ，那么 7 Ä 8 等于 ．
15 ．我国南宋时期数学家杨辉于 1261 年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了 (a + b)n展开式的系数规律．
当代数式x3 - 9x2 + 27x - 27 的值为 8 时，则x 的值为 ．
16 ．在(x + 7)(x - m) 的展开式中，x 的一次项系数是 3，则 m 的值是 ．
17 ．已知(x + y)2 = 25 ，(x - y)2 = 9 ，则 xy= ，x2 + y2 = ．
18 ．若 x - y = 7，xy = -2 ，则代数式 x2 + y2 + 4xy - 3 = ；
19．如图，将两张长为a ，宽为b 的长方形纸片分别按图 1，图 2 两种方式放置在正方形ABCD 内．记图 1 和图 2 中两张长方形纸片重叠部分面积分别为M和N ，图 1 和图 2 中阴影部分 的面积分别记为S1 和S2．有如下四个条件：① a2 - b2 = 1；②M - N = 1；③ a + b = 7 ，ab = 12 ；
④ ab - M = 8 ．其中能确定S1 - S2 值的条件是 ．（填序号）
20 ．如图，长方形ABCD 中放入一个边长为 8 的大正方形ALMN 和两个边长为 6 的小正方 形DEFG 及正方形HIJK ．
（1）若阴影部分S2 与S3 为正方形，且S2 的面积为 4，则 S3 = ．
（2）若 3 个阴影部分的面积满足2S3 + S1 - S2 = 42 ，则长方形 ABCD 的面积为 ．
21 ．算式(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) 的计算结果的个位数字是 ．
22 ．两个边长分别为a ，b(a < b) 的正方形按如图两种方式放置，图 1 中阴影部分的面积为 m ，图 2 中阴影部分的面积为n ，则大正方形 ABCD 的面积为 （用 m ，n 的代数式 表示）．
三、解答题
23 ．已知x2 - 5x + 3 = 0 ，求 (x -1)(2x -1) - (x +1)2 +1 的值
24 ．先化简，再求值：(2 + x)(2 - x) + (x -1)(x + 5)，其中 .
25 ．设a + b + c = 6 ，a2 + b2 + c2 = 14 ，a3 + b3 + c3 = 36，求：（1）abc 的值．（2）a 4 + b 4 + c 4 的值．
26．某小区有一块长为(3a + 2b) 米，宽为(2a + b) 米的长方形地块，建筑区域是长为(a + 2b) 米，宽为(a + b) 米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)求该小区绿化的总面积S；
(2)若a = 10, b = 2 ，绿化成本为 50 元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？
27 ．如图，某市有一块长为(3a + b) 米，宽为(2a + b) 米的长方形地块，规划部门计划将阴影 部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为米的道路．（a >0, b > 0 ）．
（1）试用含 a ，b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a =30, b = 20 ，请求出绿化面积．
28 ．（1）下图中的①是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小 长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部 分的面积．
方法 1 ： ．方法 2 ： ．
（2）观察上图②,请你写出 (a + b)2 ，(a - b)2 ，ab 之间的等量关系： ．
（3）利用（2）中的等量关系解决下面的问题：
①a - b = 5, ab = -6 ，求(a + b)2 和a2 + b2 的值；
②已知 求 的值．
29 ．1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表， 人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为C1 = 1+1 = 2 ，第二个
展开式 中各项系数的和为C2 = 1+ 2 +1 = 4 ，第三个展开式中各项系数的和为
C3 = 1+ 3 + 3 +1 = 8 ，第四个展开式中各项系数的和为C4 = 1+ 4 + 6 + 4 +1 = 16 ， … 第 n 个展
开式中各项系数的和为Cn ，根据图中各式的规律．
(1) (a - b)5 = ；
(2)求： 的值．
30 ．如图 1 是长为4a ，宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后 用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图 2，请你写出 (a + b)2 、(a - b)2 、ab 之间的等量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，若 求 2 的值；
(3)请求解下面实际问题：
如图 3，已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且AE = 1, CF = 3 ， 长方形EMFD 的面积是48 ，分别以 MF 、DF 为边长作正方形MFRN 和正方形GFDH ，求 阴影部分的面积．
1 ．D
【分析】根据整式的运算性质分别进行分析即可得出结论．
【详解】a3 与a2 不是同类项，不能合并，故 A 错误； a a a a322+3 5== ，故 B 错误；
a3 与a2 不是同类项，不能合并，故 C 错误； a3 ÷ a2 = a3-2 =a ，故 D 正确．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的运算性质，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的 关键．
2 ．C
【分析】根据同底数幂乘法运算法则、同底数幂除法运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘 方运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A 、 a a a a2424 6. ，此选项错误；
B 、a10 ÷ a5 = a10-5 = a5 ，此选项错误；
C 、(a5 )2 = a5×2 = a10 ，此选项正确；
D 、(2a )4 = 24 . a4 = 16a4 ，此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算、积的乘方运算， 熟练掌 握运算法则是解答的关键．
3 ．A
【分析】本题考查了积的乘方，注意负数的奇次幂是负数．
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得到答案． 【详解】解：原式 = (-2)3 b3
= -8b3 ，
故选：A．
4 ．C
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并 同类项法则逐一选项判断即可．
【详解】解：A 、a4•a2 ＝a6，故本选项不合题意；
B、（a4 ）2 ＝a8，故本选项不合题意； C、a4 ÷a2 ＝a2，故本选项符合题意；
D 、a4 与 a2 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方， 熟记相关运算法则 是解答本题的关键．
5 ．C
【分析】原式中的 3 变形为 22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：3（22+1）（24+1）（28+1） …（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1） …（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2 ，22=4 ，23=8 ，24=16 ，25=32 ， … ,
:个位上数字以 2 ，4 ，8 ，6 为循环节循环， ∵64÷4=16，
:264 个位上数字为 6，即原式个位上数字为 6．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6 ．C
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，逐项判断即可求解． 【详解】解：A 、a . a2 = a3 ，故本选项错误，不符合题意；
B 、(ab)3 = a3b3 ，故本选项错误，不符合题意；
C 、(a3 )2 = a6 ，故本选项正确，符合题意；
D 、a10 ÷ a2 = a8 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘， 积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相 关运算法则是解题的关键．
7 ．C
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案． 【详解】解：M=（x-2）（x-7）=x2-9x+14，
N=（x-6）（x-3）=x2-9x+18，
M-N=（x2-9x+14）-（x2-9x+18）=-4， ∵-4＜0，
:M-N＜0， :M＜N．
故选：C．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
8 ．B
【分析】首先设两个正方形的边长为 a ，b，由图甲求出 a - b ，再根据图乙求出 2ab ，进而 求出a + b ，然后表示出图丙的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，由图甲，得 (a - b)2 = 1 ， 解得a - b = 1或a - b = -1（舍）；
由图乙，得( a + b)2 - ( a2 + b2 ) = 12， 解得2ab = 12 ．
( a + b)2 = ( a - b)2 + 4ab = 25 ， 所以a + b = 5 或a + b = -5 （舍）． 则图丙阴影部分得面积为
( 2a + b)2 - ( 3a2 + 2b2 ) = 4a2 + 4ab + b2 - 3a2 - 2b2 = a2 - b2 + 4ab
= ( a + b) ( a - b) + 2 × 2ab = 5 × 1 + 2 × 12 = 29 ． 故选：B．
【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
9 ．C
【分析】根据 a + b - 2 = 0 得到a + b = 2 ，进而得到 (a + b)2 = 4 ，设
(a -b)2 = a2 - 2ab + b2 = t ，可得到 ，根据 a - b 为整数，ab > 0 ，即可确定 t 为 0 或 1，问题得解．
【详解】解：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 4 ；设(a -b)2 = a2 - 2ab + b2 = t ，则 4ab = 4 - t ，
∵ a - b 为整数，ab > 0 ， :t 为 0 或 1，
当t = 0 时，ab = 1 ；
当t = 1 时， ；
: ab 的值为 1 或 ．
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式并根据题意确定相应字母 的取值范围是解题关键．
10 ．B
【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图 2 可得a - b = 3 ，结合 得 出a + b = 6 ，再用含 a ，b 的式子表示出S2 - S1 ，代入求值即可．
【详解】解：Q 图 2 右下角阴影部分的面积为 9，
: (a - b)2 = 9 ，
: a - b = 3 （负值舍去）， ,
: a + b = 6 （负值舍去），
由图可得，S2 = (a + b - b)(a + b - 2b) = a2 - ab ，S1 = b (a + b - a ) = b2 ， : S2 - S1 = a2 - ab - b2 = (a + b)(a - b) - ab = 6 × 3 - = ，
故选 B．
11 ．C
【分析】每一种卡片 10 张，并且每种卡片至少取 1 张，根据完全平方公式的特点可确定拼 成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情 况．
【详解】解：∵每一种卡片 10 张，并且每种卡片至少取 1 张拼成正方形，
:正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况； （注意每一种卡片至少用 1 张，至多用 10 张）
即：（a+b）2 ＝a2+2ab+b2，需要 A 卡片 1 张，B 卡片 2 张，C 卡片 1 张；
（a+2b）2 ＝a2+4ab+4b2，需要 A 卡片 1 张，B 卡片 4 张，C 卡片 4 张；
（a+3b）2 ＝a2+6ab+9b2，需要 A 卡片 1 张，B 卡片 6 张，C 卡片 9 张；
（2a+b）2 ＝4a2+4ab+b2，需要 A 卡片 4 张，B 卡片 4 张，C 卡片 1 张；
（2a+2b）2 ＝4a2+8ab+4b2，需要 A 卡片 4 张，B 卡片 8 张，C 卡片 4 张；
（3a+b）2 ＝9a2+6ab+b2，需要 A 卡片 9 张，B 卡片 6 张，C 卡片 1 张；
故选：C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是解题的关键．
12 ．A
【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果． 【详解】(x + m)(x -1) =x2+(m-1)x-m，
∵计算结果不含 x 项， :m-1=0，解得 m=1 ． 故选：A
【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题．
13 ．3
【分析】利用完全平方公式找出（2a+b）的平方与（2a -b）的平方的关系，即可求出所求 式子的值．
【详解】解：∵（2a+b）2 ＝4a2+4ab+b2 ＝11 ，ab ＝1， :4a2+b2 ＝7，
:（2a -b）2 ＝4a2 -4ab+b2 ＝7 -4 ＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算，掌握公式结构（a±b）2 ＝a2±2ab+b2 正确变形计算 是解题关键．
14 ．1015
【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法，正确理解新定义是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：由题意得，7 Ä 8 = 107 × 108 = 1015 ， 故答案为：1015 ．
15 ．5
【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题．观察题中的图表，表示出(a + b)3 ，根据已知 代数式的值为 8，确定出x 的值即可．
【详解】解：根据题意得：(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ，
:x3 - 9x2 + 27x - 27
= x3 + 3x2 . (-3) + 3x . (-3)2 + (-3)3
= (x - 3)3 ，
: (x - 3)3 = 8 ，
开立方得：x - 3 = 2 ，
解得：x = 5 ．
故答案为：5．
16 ．4
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则， 多项式的定义，先根据多项式乘以多项式的 法则去掉括号，合并同类项后，根据 x 的一次项系数是 3 即可解答．
【详解】解：∵ (x + 7)(x - m) = x2 + 7x - mx - 7m = x2 + (7 - m)x - 7m ， 又∵x 的一次项系数是 3，
: 7 - m = 3 ， : m = 4 ．
故答案为：4．
17 ． 4 17
【分析】根据完全平分公式可得：a2＋b2 ＝(a＋b)2−2ab ，(a＋b)2−(a−b)2 ＝4ab，即可解答．
x2＋y2 ＝(x＋y)2−2xy ＝25−8 ＝17， 故答案为：4；17．
【点睛】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
18 ．34
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式整理代数式，再把已知的代数 式的值代入，求出代数式的值．
【详解】解：∵ x -y = 7，xy = -2 ， : x2 + y2 + 4xy - 3
= (x - y )2 + 2xy + 4xy - 3
= 72 + 6× (-2) - 3
= 34 ，
故答案为：34．
19 ．②③
【分析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用 ．设正方形ABCD 的边长为 x ，分别求出 S1 - S2 、M 和N 的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．
【详解】解：如图，设正方形 ABCD 的边长为x ，
则S1 = (x - a )2 + (x - b)2 ，S2 = 2 (x - a )(x - b) ，
: S1 - S2 = (x - a )2 + (x - b)2 - 2(x - a )(x - b) = (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab ，
当选择③ a + b = 7 ，ab = 12 时，S1 - S2 = (a + b)2 - 4ab = 49 - 48 = 1 ，符合题意； 当选择① a2 - b2 = 1时，不能求出S1 - S2 ，不符合题意；
图中M 的面积为(a + b - x )2 = (a + b)2 - 2x (a + b) + x2 = (a + b)2 - 2ax - 2bx + x2 ， N 的面积为(2a - x)(2b - x) = 4ab - 2ax - 2bx + x2 ，
: M 和N 的面积差为(a + b)2 - 2ax - 2bx + x2 - (4ab - 2ax - 2bx + x2 ) = (a + b)2 - 4ab ， 当选择②M - N = 1 时，
: S1 - S2 = (a + b)2 - 4ab = 1，符合题意；
∵长方形纸片和M 的面积差为ab - (a + b)2 + 2ax + 2bx - x2 ，
:当选择④ab - M = 8 ，不能求出 S1 - S2 ，不符合题意；
综上，②③能确定S1 - S2 的值， 故答案为：②③.
20 ． 16 130
【分析】（1）根据正方形的面积公式可得S2 的边长，根据S3 的边长求得其面积；
（2）设长方形的长AD= a ，宽AB = b ，分别用 a 和 b 表示出三个阴影面积，代入关系式计 算即可求得ab 的值，即为所求．
【详解】（1）解：∵S2 = 4 ，S2 为正方形，
:S2 的边长为 2， ∵ FG = 6 ，
: S3 的边长为 4 ， : S3 的面积为 16；
故答案为：16 ；
（2）设长方形的长 AD= a ，宽 AB = b ，
则S3 的面积为(a - 8)(b - 6) ，S1 面积为2(b - 8) ，S2 的面积为 (8 + 6 - a )(6 + 6 - b) = (12 - b)(14 - a )，
∵ 2S3 + S1 - S2 = 42 ，
即2(a - 8)(b - 6) + 2(b - 8) - (12 - b)(14 - a ) = 42 ， 化简可得，ab = 130 ．
故答案为：130．
【点睛】本题考查了根据正方形的性质求线段长， 根据正方形的性质求面积，多项式乘多项 式与图形面积，解题关键是掌握上述知识点．
21 ．5
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 数字类规律探索，将原式变形，再利用平方差 公式依次计算，求得结果为232 - 1，然后总结得出2n （n 为从 1 开始的自然数）的个位数字 以2 ，4 ，8 ，6 为一个循环组依次循环，进而可得答案，熟练掌握(a + b)(a - b) = a2 - b2 是
解题的关键．
【详解】解：(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)
= (2 -1)(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) ， = (22 -1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) ，
= (24 -1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)，
= (28 -1)(28 +1)(216 +1)， = (216 -1)(216 +1)，
= 232 -1 ，
由21 = 2 ，22 = 4 ，23 = 8 ，24 = 16 ，25 = 32 ， : 2n 的个位数字是2 ，4 ，8 ，6 为一组，
: 32 ÷ 4 = 8 ，即有 232 的个位数字为6 ，
: 232 - 1个位数字为5 ， 故答案为：5 ．
22 ．2m + n
【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意，用含a ，b 的代数式表示出m 和n ，进一步 用m 和n 表示出b2 即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所以2m = a2 + b2 - ab ，
则2m + n = a2 + b2 - ab + ab - a2 = b2 ，
即大正方形ABCD 的面积为2m + n ． 故答案为：2m + n ．
23 ．-2
【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将 x2 - 5x = -3整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】解：(x -1)(2x -1) - (x +1)2 +1
= 2x2 - 2x - x +1- x2 - 2x -1+1
= x2 - 5x +1，
∵ x2 - 5x + 3 = 0 ， : x2 - 5x = -3 ，
:原式= -3 + 1 = -2
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算， 将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答 是解题的关键．
24 ．4x - 1 ，5.
【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简 后的式子即可解答本题．
【详解】(2 + x)(2 - x) + (x -1)(x + 5)
= 4 - x2 + x2 + 4x - 5 = 4x - 1，
当 时，原式
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
25 ．（1）6；（2）98
【分析】（1）根据(a + b + c)2求出ab + bc + ac 的值，再化简计算(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) 求出 abc 的值．
（2）根据 (ab + bc + ac)2 求出a2b2 + b2c2 + b2c2 的值，再化简计算(a2 + b2 + c2 )2 从而得出 a 4 + b 4 + c 4 的值．
【详解】（1）(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= (a + b)2 +2 (a+b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
将a + b + c = 6 ，a2 + b2 + c2 = 14 代入原式中 原式= 14 + 2ab + 2ac + 2bc = 36
解得：ab + bc + ac = 11．
Q (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
= a3 + ab2 + ac2 - a2b - abc - a2c + a2b + b3 + bc2 - ab2 - b2c - abc + a2c + b2c + c3 - abc - bc2 - ac2
= a3 + b3 + c3 - 3abc
将a + b + c = 6 ，a2 + b2 + c2 = 14 ，a3 + b3 + c3 = 36 ，ab + bc + ac = 11 代入原式
36 - 3abc = 6 × (14 -11)
:abc = 6 ．
（2）Q (ab + bc + ac)2
= (ab+bc )2 + 2ac(ab+bc ) + a2c2
= a2b2 + 2ab2c + b2c2 + 2a2bc + 2abc2 + a2c2
= a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2(a2bc + ab2c +abc2 )
= a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b +c) : 112 =a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2× 6 × 6
: a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 ．
2
2 2 2
(( 2 2 2)c2 (a2 + b2 )+ c4
= a4 +2a2b2 + b4 + 2a2c2 + 2b2c2 + c4
= a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
: a4 + b4 + c4
= (a2 + b2 + c2 )2 - (2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 )
= 142 - 2× 49 = 98
【点睛】本题考查了等式的运算问题， 难点在于如何根据已知条件列出符合题意的整式，从 而代入化简求得目标整式的值．
26 ．(1)S = (5a2 + 4ab)平方米；
(2)29000 元
【分析】本题考查整式的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．
（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积即为绿化面积列代数式即可；
（2）将a = 10, b = 2 代入（1）中代数式求得绿化面积，再乘以每平方米成本即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积 S = (3a + 2b)(2a + b) - (a + 2b)(a + b)
= 6a2 + 3ab + 4ab + 2b2 - (a2 + ab + 2ab + 2b2 )
= (5a2 + 4ab)平方米；
（2）解：当a = 10, b = 2 时，
S = 5 × 102 + 4× 10 × 2 = 580 （平方米）， ∴ 580× 50 = 29000 （元），
∴完成绿化共需要 29000 元．
27 ．（1）（3a2+3ab）平方米；（2）4500 平方米
【分析】（1）根据图形可得长方形的面积减去中间正方形的面积减去两个小长方形的面积即 可得结果；
（2）把 a=30 ，b=20 代入（1）所得整式，即可得结果． 【详解】解：（1）由题意可得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-a（3a+b-a-b）
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2-2a2 =（3a2+3ab）平方米；
答：绿化的面积是（3a2+3ab）平方米；
（2）当 a=30 ，b=20，
绿化面积是 3a2+3ab=3×900+3×30×20=4500 平方米．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
28 ．（1）方法 1 ：(m - n)2 ．方法 2 ：(m + n)2 - 4mn
（2）(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
（3）①1 ，13 ②119
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义，两个公式之间的联系的灵活应用，
（1）面积差计算，计算正方形的边长后计算面积．
（2）根据图形的几何意义计算即可．
（3）①利用公式变形计算即可；②利用公式变形计算即可．
【详解】（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，
∵小正方形的边长为m - n ， :面积为(m - n)2 ；
∵大正方形的边长为m + n ， :阴影面积为(m + n)2 - 4mn ；
故答案为：(m - n)2 ；(m + n)2 - 4mn ．
（2）根据图形的几何意义，得 (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab ， 故答案为：(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab ．
（3）①∵a - b = 5, ab = -6 ，
: (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 25 - 24 = 1；
∵ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ；
: a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab = 25 -12 = 13 ；
,

29 ．(1) a5 - 5a4b +10a3b2 -10a2b3 + 5ab4 - b5 (2)2
【分析】本题考查多项式的乘法运算， 以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数 中的规律．
（1）利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系展开即可解题；
（2）根据规律得Cn = 2n ，即可求出C2024 和C2023 ，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知各项系数为1, -5，10，-10，5, -1，
即(a - b)5 = a5 - 5a4b +10a3b2 -10a2b3 + 5ab4 - b5 ， 故答案为：a5 - 5a4b +10a3b2 -10a2b3 + 5ab4 - b5 ；
（2）解：根据前几项得规律：Cn = 2n ，则 C2024 = 22024 ，C2023 = 22023 ，
30 ．(1) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(2)16 (3) 28
【分析】（1）根据图形的面积可得到(a + b)2 ，(a - b)2 ，ab 之间数量关系；
（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设 a = x - 3 ，b = x -1，即
ab = 48 ，阴影部分面积= NR2 - DF2 = b2 - a2 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即 可求解．
【详解】（1）解：:如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形， :图1的长方形面积为： 4ab ，
:图2 的边长为(a + b) ，图 2 阴影部分的面积为：(b - a ) ， : (a + b)2 - (b - a )2 = 4ab ，
即(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ，
故答案为：(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ．
（2）解：: x + y = 5, xy = ， : (x - y )2 = (x + y)2 - 4xy
= 52 - 9
= 16
（3）解：:正方形ABCD 的边长为x ，正方形MFRN 和正方形GFDH ，AE = 1, CF = 3 ， : EM = HG = DF = x - 3 ，MG = EH = x -1- (x - 3) = 2 ，NR = ED = x -1，
:长方形EMFD 的面积是48 ，
:(x - 3)(x -1) = 48 ，
设a = x - 3 ，b = x -1，即 ab = 48 ，则 b - a = 2 ， :阴影部分面积= NR2 - DF2
= b2 - a2
= (b + a )(b - a )
= 2 (b + a ) ，
: (b + a )2 = (b - a )2 + 4ba = 22 + 4× 48 = 196 ，
: b + a = 14 （负值舍去）， : 2 (b + a ) = 2 × 14 = 28 ， 即阴影部分面积为28 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景， 图形面积，平方差公式，理解完全平方公式 的几何意义是解题的关键．