河南省鹤壁市淇滨区2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（解析版）

这是一份河南省鹤壁市淇滨区2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分）
1. 下列运算结果是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，故A不是无理数，不符合题意；
B、，故B是无理数，符合题意；
C、，故C不是无理数，不符合题意；
D、，故D不是无理数，不符合题意；
故选：B．
2. 下列各事件中，是随机事件的是（ ）
A. 若a是实数， 则
B. 从装有2个白球、 3个红球的箱子里取出3个白球
C. 某运动员跳高的最好成绩是米
D. 从车间刚生产的产品中任意抽一个，恰好是次品
【答案】D
【解析】A、若是实数， 则，是必然事件，不符合题意；
B、从装有2个白球、 3个红球的箱子里取出3个白球，是不可能事件，
不符合题意；
C、某运动员跳高的最好成绩是，是不可能事件，不符合题意；
D、从车间刚生产的产品中任意抽一个，恰好是次品，是随机事件，符合题意；
故选：D．
3. 如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
故选项B正确，符合题意；
∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
∵
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4. 对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
∵，
∴抛物线的开口向下，故正确；
对称轴为直线，故错误；
顶点坐标为，故正确；
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，故错误；
综上可知正确，共个，
故选：．
5. 抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是．
故选：D
6. 如图，在中，，，，点是边上动点，则的长不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据垂线段最短，可知的长不可小于；
在中，，，，
，
的长不能大于．
故选：D．
7. 如图，中，垂直平分交的延长线于点．若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵AB的垂直平分线DE，，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，
即AD＝BD＝，
∵∠B＝∠B，∠EDB＝∠ACB，
∴△ACB∽△EDB，
∴，
∴，
BE＝16.9，
∴CE＝16.9-5=，
故选：B．
8. 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，

∵，抛物线的对称轴为轴，
∴点，
设抛物线为．
∵抛物线过点，
，
，
∴抛物线解析式为，
设水面下降，
，
，
∵点在抛物线上，
，
解得：．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正三角形的中心与原点O重合，轴，交 y 轴于点 P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵边长为的正三角形的中心与原点O重合，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，，，，
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴每4次旋转一周，
∵，
∴第次旋转结束时，点A的坐标与第1次旋转后坐标相同，
如图，

由旋转可得：，，，
∴，
即第次旋转结束时，点A的坐标为．
故选：C
10. 如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
∴，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（共15 分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】 由题意得 ，即且
故答案为且．
12. 已知，，是二次函数上的点， 则，，从小到大用“”排列是___________．
【答案】
【解析】∵，
抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小，
，，是二次函数上的点，
点是点关于对称轴的对称点，且，
∴，
故答案为：．
13. 若方程的两个根分别是与，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∵方程的两个根分别是与，
∴，
解得，
∴，，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与，
∴，∴．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．

【答案】
【解析】把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点在同一直线上，且，图2是小床支撑脚折叠的示意图，在折叠过程中，变形为四边形，最后折叠形成一条线段“”．某家装厂设计的折叠床是，，
①此时应该是多长___________；
②折叠时，当时，___________．
【答案】①. ②. ##
【解析】①∵，共线，
由图形可得：，
∴，
故答案为：；
②设，则，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，，
根据题意作出示意图如下，连接，过点A作于M，
∵，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共75 分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2），
，
∴或，
∴，．
17. 近年来，手机微信红包很流行．大年初一，小米的爷爷也用微信发红包，他分别将18元、99元的两个红包发到只有爷爷、爸爸和小米的微信群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发不抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）．
（1）求小米抢到99元红包的概率；
（2）如果小米的妈妈也加入“抢红包”的微信群，他们三个人中将有一个人抢不到红包，那么这种情况下，求小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和不少于99元的概率．
解：（1）小米抢到99元红包的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和不少于99元的有4种结果，
所以小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和不少于99元的概率为．
18. 如图，在矩形中，，，点是的中点．
（1）在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求的长．
（1）解：过作于，即为所求；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
边的中点，，
，
又，，
，
，
．
19. 为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
根据以上内容，解决问题：
学校要求测温区域的宽度为，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（参考数据，，，，）
解：∵，，，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得：．
答：该设备的安装高度约为．
20. 某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，部分数据如表：
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？
解：（1）设与之间的函数表达式为，
根据题意，得，解得：，
∴与的函数表达式为；
（2）
设每周可获得利润元，
由题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1800，
∴当每件售价为70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
（3）由（2）可知，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，即：，
解得：，，
则要使得利润不低于1600元，售价范围应该是．
21. 已知关于x的一元二次方程 其中p为常数．
（1）判断方程实数根的情况，并说明理由；
（2）试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由．
（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵，
原方程整理，得，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解：0，2，，理由如下：
原方程解为.
∵一元二次方程有整数解，
∴为大于1的奇数，即3或5或7或，
当时，；
当时，；
当时，，
∴p的值可以为0，2，，原方程有整数解．
22. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线G上的点的纵坐标y与其横坐标x的差 称为点P的“坐标差”，而抛物线G上所有点的“坐标差”中的最大值称为抛物线G的“特征值”
（1）抛物线 的“特征值”为 ；
（2）若抛物线 的“特征值”为，点与点C分别是该抛物线与x轴和y轴的交点，且点 B与点 C的“坐标差”相等．求
① （用含 c的代数式表示）； ② 该抛物线对应的函数表达式．
（1）解：抛物线 “特征值”为，
∵，
∴的最大值为，
∴抛物线的“特征值”为7．
（2）解：①∵点与点C是与轴，轴的交点坐标，
∴，，
∵点 B与点 C的“坐标差”相等，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵抛物线 的“特征值”为，
∴，
此时最大值为，
∴，
解得：，
∴抛物线为 ．
23. 如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接（点A、在的两侧）．
【问题发现】
（1）如图所示，若时，、的数量关系为_____，直线、的夹角等于 ；
【类比探究】
（2）如图所示，若，求线段、的数量关系， 及直线、 的夹角；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
解：（1），，
是等腰直角三角形，
，，
同理：，，
，
，
即，
，
，，
；
（2），，理由如下：
，，
，
又，
，
，
，
又，
，
即，
，
，，
∴，
在中，，
，
；
（3），，
，，
分两种情况：
如图，当时，

同（2）可知，，
，
；
如图，当时，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
同（2）可知，，
，
即，
解得：；
综上所述，的长为或．
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
探测最大角：
探测最小角：
安装要求
本设备需安装在垂直于水平地面的支架上
售价（元/件）
55
65
80
85
周销售量（件）
90
70
40
30