安徽省涡阳县第二中学2025-2026学年高一上学期开学（分班）测试数学试题含解析卷

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数学（A卷）
本试卷6页，22小题，满分100分，考试用时120分钟
测试范围：初中数学 命题人：
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2、答选择题时，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案涂黑；如有改动需擦净后，再选涂其他答案．
3、非选择题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答卷无效．
4、考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、单项填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1. 若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 8或10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，再分等腰△ABC的底边长为2和等腰△ABC的底边长为4两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以且，
所以，
当等腰△ABC的底边长为2时，
则三边长分别为，
所以△ABC的周长是，
当等腰△ABC的底边长为4时，
则三边长分别为，
因为，所以为三边长不能构成三角形，
综上所述△ABC的周长是.
故选：C.
2. 函数中自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】考虑二次根式有意义的条件以及分式有意义即可得到自变量的取值范围.
【详解】要使函数有意义，则且，
解得且.
故选：D
3. 不等式的解为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】将不等式等价变形为，求解即可．
【详解】1x+2−3≤0⇔−3x+5x+2≤0⇔3x+5x+2≥0⇔(3x+5)(x+2)≥0x+2≠0，
解得：或．
故选：D．
4. 下列命题成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】对ACD，举反例说明；对B，作差，因式分解判断.
【详解】对于A，若，满足，但是，故A错误；
对于B，由，则不同时为0，
所以，
所以，即，故B正确；
对于C，取，满足，但是，即，故C错误；
对于D，取，满足，而，故D错误.
故选：B.
5. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. 1C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，可得为方程的两个不相等的根，结合韦达定理和降幂代还，可得答案.
【详解】由，，可得为方程的两个不相等的根，
则，，，，
.
故选：B.
6. 若关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出方程的解，即可得到不等式，解得即可.
【详解】由，则，解得，
依题意可得，解得，即字母的取值范围为.
故选：C
7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数过点可得，再根据一元一次不等式的解法即可得解.
【详解】解：因为一次函数的图象过点，
所以，即，
则不等式，即为，
又，
所以，所以.
故选：C.
8. 若不等式对一切实数都成立，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，，
故选：C.
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. +1B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用已知所给的类比方法，结合勾股定理、正切的定义进行求解即可.
【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设，则由勾股定理可知：
，因此，
因此在直角三角形中，，
故选：B
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数的图象与性质求得正确答案.
【详解】根据图象可知，（1）错误.
图象与轴有两个交点，，（2）正确.
当时，，（3）正确.
当时，；当时，.
两式相加得，而，所以，（4）正确.
所以正确的有个.
故选：B
11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A. B. 8C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，利用勾股定理求出点的坐标，再根据，求得，再利用，求得，再根据，求得，即可得点的坐标，从而可得出答案.
【详解】解：设，因为，
所以，解得，即，
设与轴交于点，作轴，垂足点，作轴，垂足点，
则，，
因为，
所以，
所以为的中点，所以，，
在和中，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
在和中
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
又因为反比例函数的图象经过点B，
所以，所以.
故选：D.
12. 当时，函数有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出的图象，对函数进行配方可得，继而得到最小值为2和时的值，根据图象即可得到答案
【详解】解：作出函数的图象，如图
，
当时，最小，最小值为，当或时，，
因为函数有最大值3，最小值2，则的取值范围是，
故选：C
第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据“同大取大”结合不等式组的解集求解即可.
【详解】解不等式得，
因为且不等式组的解集为，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数与的图象相交于两点，则两点间的距离为______．
【答案】5
【解析】
【分析】由的几何意义确定的横坐标，进而求点坐标，应用两点距离公式求距离.
【详解】由题设，令，则，
等价于数轴上与的距离之和为4，则或，
因为两点是函数与的图象的交点，
则，，
所以.
故答案为：5
15. 如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合图形面积之间的关系进行求解即可.
【详解】由正方形的性质可知：，
所以故答案为：24
【点睛】关键点睛：利用图形面积之间和差关系是解题的关键.
16. 如图，在菱形中，，，是对角线上一动点，，分别是线段和上的动点，则的最小值是__．
【答案】
【解析】
【分析】在上取点，使得，则点与点关于直线对称，则，则，然后求的最小值即可得解．
【详解】在上取点，使得，则点与点关于直线对称，
则，
则，
又，
则与的距离为，
则的最小值为，
即的最小值是，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的圆B经过原点O，且与x，y轴分交于点A、C，点C的坐标为，的延长线与的切线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为__．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求得直线和的方程，再联立方程组求得点坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
【详解】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
圆的半径为，
，，
，
，，
，
是圆的切线，
，
，
，
，
，
，
直线的方程为，
设直线的方程为，
则，解得，
直线的方程为，
联立方程，解得，即，
设经过点的反比例函数的解析式为，
把点代入得:，
解得，
反比例函数的解析式为，
故答案：．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
18. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据幂的定义、零次幂的性质、特殊角的正弦值、绝对值的性质进行求解即可；
（2）运用因式分解法和分式的运算法则进行求解即可.
【详解】（1）
（2）
19. 观察以下等式：
第1个等式：（）＝，
第2个等式：（）＝，
第3个等式：（）＝，
第4个等式：（）＝．
第5个等式：（）＝．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）（）＝；
（2）（为正整数），证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）（2）根据等式中每个分数中分子和分母的特征进行求解即可.
【小问1详解】
根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：
第6个等式为：（）＝；
【小问2详解】
根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：
第n个等式：（为正整数），证明过程如下：
.
20. 已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围：
（1）方程的两根都大于0；
（2）方程的一根大于3，另一根小于3．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围；
（2）根据f(x)=x2−x+a−4开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围.
【小问1详解】
令f(x)=x2−x+a−4，其对称轴为，
若一元二次方程的两根都大于0，
则Δ≥0f(0)>0，−12−4a−4≥0a−4>0，解得，
实数的取值范围是；
【小问2详解】
若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3，
则f3=32−3+a−4