2022-2023学年安徽省亳州市涡阳第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省亳州市涡阳第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可.

【详解】抛物线的准线方程为，

由，点在物线上，

所以，

故选：B

2．中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）

A．450种 B．72种 C．90种 D．360种

【答案】A

【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.

【详解】由题知，6名航天员安排三舱，

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为的三组，共有种；

第二种：分人数为的三组，共有种；

所以不同的安排方法共有种.

故选：A.

3．已知函数（且）的图像恒过定点，设抛物线上任意一点到准线的距离为，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出定点，由抛物线的定义得，因为两点之间线段最短，所以最小值为.

【详解】解：因为，所以函数的图像恒过定点

又因为点M在抛物线上，抛物线焦点，

所以点到准线的距离为

所以

由两点之间线段最短，所以最小值为

故选C.

【点睛】本题考查了指数函数的定点，抛物线的定义，属于中档题.

4．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】将点到平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系求解.

【详解】如图所示，因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，

所以平面，点到平面的距离即为点或到平面的距离.

设到平面的距离为，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

设平面的法向量为，则有，得，

可求得平面的法向量为，，

所以.

故选：D.

5．直角坐标平面内，与点的距离为2，且与点的距离为3的直线的条数为 （    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【分析】将问题转化为求以点为圆心，以2为半径的圆和以点为圆心，以3为半径的圆的公切线的条数求解.，

【详解】到点距离为2的直线可看作以A为圆心2为半径的圆的切线， 

同理到点距离为3的直线可看作以B为圆心3为半径的圆的切线， 

故所求直线为两圆的公切线， 

又，

故两圆外切，

所以公切线有3条， 

故选：C.

6．在展开式中，下列说法错误的是（    ）

A．常数项为 B．第项的系数最大

C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为

【答案】B

【分析】由二项式定理可得展开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由展开式共有项可知C正确；令即可得到D正确.

【详解】展开式的通项为：；

对于A，令，解得：，常数项为，A正确；

对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，

则，，，，

展开式第项的系数最大，B错误；

对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；

对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.

故选：B.

7．已知，下列命题中，不正确的是（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数的和为

B．展开式中所有偶数项系数的和为

C．展开式中所有奇数项系数的和为

D．

【答案】B

【分析】根据二项式系数的和即可判断A；分别令，即可判断BC；令即可判断D.

【详解】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确；

对于B，令，，

令，则，

两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为，B不正确；

对于C，由选项B知，两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，C正确；

对于D，令，则，

令，则，

所以，D正确.

故选：B.

8．在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．

【详解】解：如图所示：

三棱锥中，平面，

M是线段上一动点，线段长度最小值为，

则：当时，线段达到最小值，

由于：平面，

所以：，

解得：，

所以：，

则：，

由于：，

所以：

则：为等腰三角形．

所以：，

在中，设外接圆的直径为，

则：，

所以：外接球的半径，

则：，

故选C．

【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）

A．两平行线间的距离为2

B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条

C．直线的方向向量可以是

D．直线与直线平行，则或2

【答案】AB

【分析】计算平行直线的距离得到A正确，截距相等的直线有和，B正确，直线的一个方向向量是，C错误，当时，两直线重合，D错误，得到答案.

【详解】两平行线间的距离为，A正确；

过点且在两坐标轴上截距相等的直线有和，B正确；

直线的一个方向向量是，C错误；

当时，两直线重合，D错误.

故选：AB.

10．已知过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ）

A．的最大值为4

B．的最小值为2

C．点到直线的距离的最大值为

D．的面积为

【答案】AC

【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.

【详解】解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

又由点在圆内部，

因为过点的直线与圆交于两点，

所以的最大值为，所以A正确；

因为，

当直线与垂直时，此时弦取得最小值，

最小值为，所以B错误；

当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，

且最大值为，所以C正确；

由，可得，即，

所以的面积为，所以D错误.

故选：AC.

11．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．以AB为直径的圆与相离；

B．当，；

C．最小值为8；

D．的坐标可为

【答案】BCD

【分析】由题意可得，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD，由抛物线的通径可判断C

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，

所以，

所以抛物线，抛物线的准线方程为，焦点为，

设，

对于A：由抛物线的定义易知：，

所以以AB为直径的圆与相切，故A错误；

对于B：由得，

则，

如图，过点分别作准线得垂线，垂足分别为,过作,垂足为，

由得，则，

，

所以，

所以，故B正确；

对于C：当为抛物线的通径时，，故C正确；

对于D：令，解得，

所以当时，，

，

当时，则有，即，故D正确，

故选：BCD

12．设，是双曲线C：的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（    ）

A．点到直线l的距离为a B．双曲线C的标准方程为

C．双曲线C的离心率为 D．的面积为18

【答案】BCD

【分析】取渐近线为，则到渐近线的距离为b，作于点G，易得；联立与即可求出双曲线C的标准方程与离心率；再利用即可求出的面积.

【详解】根据题意，设，，取双曲线C的一条渐近线为，

则到渐近线的距离为b，

∴，，

作于点G，如图所示，

∵，O为线段的中点，

∴，H为线段的中点，

∴到直线l的距离为2a，故A错误；

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，即，

则，解得a＝2或（舍去），

∴b＝3，，

则双曲线C的标准方程为，

离心率，故B，C正确；

∵，，

∴，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．

【答案】11

【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.

【详解】解析：因为点P在平面ABC内，

所以存在实数k1，k2，使 ，

即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，

所以，解得.

故答案为：11．

14．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.

【答案】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解．

【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：

则设，

则，设直线与所成角为

所以，即，

解得或（舍去），所以，

故答案为：．

15．已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线经过点，且与圆相交所得弦长为，则直线的方程为______.

【答案】或

【分析】由已知求出圆的标准方程，利用直线与圆的位置关系结合勾股定理，可得圆的圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点线距公式列方程求出直线的斜率，可得直线的方程．

【详解】设圆的圆心坐标为，

依题意，有，

解得，所以，

所以圆的标准方程为.

设圆的圆心到直线的距离为，则，解得

①若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.

②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得.

此时直线的方程为

故答案为：或

16．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为__________.

【答案】13.

【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.

【详解】由，得，所以双曲线的焦点坐标为，

由圆的方程知：圆圆心的坐标为，半径，

圆的圆心坐标为，半径，

分别为两圆切线，

，，

，

为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，，

又（当为双曲线右顶点时取等号），

，

即最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.

四、解答题

17．三个女生和五个男生排成一排，

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

【答案】（1）4320（2）14400（3）14400

【分析】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列；

（2）先排五个男生，再将三个女生插进去；

（3）两端先排女生，其余位置随便排.

【详解】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列，故有种；

（2）先排五个男生，再将三个女生插进去，故有种；

（3）两端先排女生，其余位置随便排，故有种.

【点睛】本题考查了捆绑法、插空法，考查了有限制条件的排列，属于基础题.

18．在平面直角坐标系中，已知点，直线，设圆的半径为，且圆心在直线上．

(1)若圆心的坐标为，过点A作圆的切线，求切线的方程．

(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）根据圆心与半径得到圆的方程，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离1，解出的值即可得切线方程；

（2）由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆，易知圆与圆相交或相切，由此得到关于圆心距的不等关系式，求其解集，即可得到的范围.

【详解】（1）因为圆心的坐标，半径为，圆的方程：，

由题意易知切线斜率存在，设切线的方程为，即，

∴切线到圆心的距离，∴，

∴，∴，∴，

∴或，

∴切线为或，即切线的方程为或．

（2）因为圆心在直线上，故，设点，

由，得，化简得：，

∴点的轨迹方程以为圆心，半径为的圆，记为圆，

∵点在圆上，∴圆与圆的关系为相切或相交，

∴，即，解得，

故.

19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）根据，可证平面，进一步可证；

（2）取的中点，连结、，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 在中可求得结果.

【详解】（1）因为是的中点，，所以，

因为平面，所以，从而平面.

因为平面，所以.

（2）取的中点，连结、，则，如图：

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.

因为平面，所以是与平面所成的角.

在中，.

故与平面所成的角正弦值是.

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了求直线与平面所成的角，属于基础题.

20．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得CE//BF，进而线面平行得判定定理即可得出结论；

（2）法一：取AD的中点O连接PO，CO，证得为直线与平面所成角，解三角形求出，作于，连接证得为二面角的平面角，求出 的余弦值即可.

法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．

【详解】（1）证明：取的中点，连结是的中点，，

四边形是平行四边形，

平面平面，

直线//平面.

（2）法一：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.取的中点在底面上的射影在上，设，则，

直线与底面所成角为，可得：，

可得：，，作于，连接，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：

法二：

由已知得,以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

则，，，，

,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即

又在棱上,设

由①，②得（舍去）或

所以，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为.

21．已知椭圆的焦距为2，离心率.

(1)求的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于A，B两点，若，求的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据焦距得到，根据离心率得到，计算得到，得到椭圆方程.

（2）设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，根据向量运算得到，解方程组得到答案.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，焦距为2，得，，

离心率，，解得，，

C的方程为.

（2）设，，显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为.

由，得，

，，，，

即，，解得，

故，解得，

直线的方程为，

即直线的方程为或.

22．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点，分别为椭圆的上顶点和右焦点，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线不经过点且与椭圆交于M，N两点，当直线，的斜率之和为时，求证：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求出即可；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设的方程为：，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据斜率公式及已知求出直接的关系，即可得出结论.

【详解】（1）由题意，，

解得，，

所以椭圆方程为；

（2）显然，设，，

①当直线的斜率不存在时，，，

∴，

从而与椭圆只有一个交点，不合题意；

②当直线的斜率存在时，不妨设的方程为：，

联立直线与椭圆的方程得，

由根与系数的关系得，，，

∴，

即，

整理得，

所以直线的方程为，

故直线过定点，

综上，直线过定点.