福建省厦门市2025届高三下第三次质量检测数学试题（含答案解析）

这是一份福建省厦门市2025届高三下第三次质量检测数学试题（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知全集为，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
2. 若，则（ ）
3. 已知随机变量，若，则（ ）
4. 设，则（ ）
5. 已知菱形的边长为为的中点，则（ ）
6. 在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（ ）
7. 已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（ ）
8. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在两点，使得，则的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
10. 过点的直线交圆于点，交圆于点，其中顺次排列.若，则（ ）
11. 已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知，则______.
13. 已知椭圆的焦点为为上的一点，若的周长为18，则的离心率为__________.
14. 6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，若，且，求的面积.
16. 如图，在长方体中，与交于点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)设，其中，若二面角的大小为，求.
17. 已知函数.
(1)当时，求的极小值；
(2)若存在唯一极值点，证明：.
18. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点（在第一象限），当垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)过且与垂直的直线交于两点（在第一象限），直线与直线和分别交于两点.
（i）当的斜率为时，求；
（ii）是否存在以为直径的圆与轴相切.若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.
19. 将区间中的全体有理数按一定顺序排列得到数列，规则如下：
①，其中正整数与互质，如，；
②，当且仅当时，.
(1)写出的前5项；
(2)若，，求；
(3)记的前项和为，证明：.
福建省厦门市2025届高三第三次质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何、数列、平面解析几何、等式与不等式、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．2
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．0
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
A．
B．
C．
D．
A．的最小正周期为
B．
C．
D．的图象关于点对称
A．
B．
C．
D．
A．的面积为定值
B．
C．四棱锥表面积的最小值为
D．若四棱锥存在内切球，则该球半径为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
6
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；对数的运算
2
0.85
求复数的模
3
0.85
二项分布的均值；利用二项分布求分布列
4
0.85
二项展开式各项的系数和
5
0.85
平面向量的混合运算；数量积的运算律
6
0.65
证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；空间中的点（线）共面问题；异面直线的判定
7
0.65
判断命题的充分不必要条件；等比数列的单调性
8
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；两条直线的到（夹）角公式；基本不等式求和的最小值
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的最小正周期；利用正弦函数的对称性求参数；简单复合函数的导数；根据极值点求参数
10
0.65
数量积的运算律；由标准方程确定圆心和半径；正弦定理解三角形；向量的线性运算的几何应用
11
0.4
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直
三、填空题
12
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值
13
0.85
椭圆中焦点三角形的周长问题；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
14
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；分步乘法计数原理及简单应用
四、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用
16
0.85
证明线面垂直；面面角的向量求法
17
0.4
求已知函数的极值；利用导数证明不等式
18
0.4
根据抛物线上的点求标准方程；直线与抛物线交点相关问题；由圆心（或半径）求圆的方程
19
0.15
数列新定义；由递推数列研究数列的有关性质；数列不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
函数与导数
1,8,9,17
3
复数
2
4
计数原理与概率统计
3,4,14
5
平面向量
5,10
6
空间向量与立体几何
6,11,16
7
数列
7,19
8
平面解析几何
8,10,13,18
9
等式与不等式
8
10
三角函数与解三角形
9,10,12,15