福建省福州市、厦门市2025年高考数学第三次质检试卷（含解析）

这是一份福建省福州市、厦门市2025年高考数学第三次质检试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集为R，A={1,2,3}，B={x|lg2x∈Z}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. {1}
B. {2}
C. {1,2}
D. {0,1,2,4}
2.若z2=−2i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
3.已知随机变量X∼B(n,12)，若E(X)=2，则P(X=2)=( )
A. 14B. 38C. 12D. 58
4.设(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
5.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=( )
A. 5B. 3C. 2 5D. 5
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，l为平面A1MC1与平面ABCD的交线，则( )
A. l//AC1B. l⊥AC1C. l//BD1D. l⊥BD1
7.已知数列{an}是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：{an}为递增数列：乙：存在正整数N0，当n>N0时，an>1，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.设O为坐标原点，若曲线y=x2+1和曲线y=alnx(a>0)上分别存在A，B两点，使得∠AOB=45°，则a的取值范围为( )
A. [e2,+∞)B. [2e,+∞)C. [e3,+∞)D. [3e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线x=π3为函数f(x)=sin2x+acs2x图象的一条对称轴，则( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. a=− 33
C. f(x)≤2 33D. f(x)的图象关于点(−π12,0)对称
10.过点T(−3,0)的直线交圆C1：(x−1)2+y2=1于点P，Q，交圆C2：(x−5)2+y2=4于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若|TP|=3|PQ|，则( )
A. C1P//C2MB. |MN|=2|PQ|C. TP⋅TQ=14D. |QM|= 5
11.已知四棱锥P−ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，则( )
A. △PAD的面积为定值
B. ∠APD=∠BPC
C. 四棱锥P−ABCD表面积的最小值为3 5+4
D. 若四棱锥P−ABCD存在内切球，则该球半径为 5−12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tan(α+π4)=−3，则tanα−1tanα+1= ______．
13.已知椭圆C：x29+y2m=1(m>0)的焦点为F1，F2，P为C上的一点，若△PF1F2的周长为18，则C的离心率为______．
14.6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC−ccsA=c+b．
(1)求A；
(2)D为边BC上一点，若∠BAD=90°，且BD=4DC=4，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1，AC与BD交于点M，N为棱A1B1的中点．
(1)证明：MN⊥平面MC1D1；
(2)设NQ=λNC1，其中01，
而an=a1qn−1，必存在正整数N0，当n>N0时，an>1，充分性成立，
反之，当a1=8，q=12时，数列{an}为递减数列，必要性不成立，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
根据题意，由等比数列的通项公式分析必要性，举出反例可得必要性不成立，综合可得答案．
本题考查等比数列的性质和应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设A(x1,x12+1)(x1>0)，
则kOA=x12+1x1=x1+1x1≥2，当且仅当x1=2时取等号；
设B(x2,alnx2)，x2>0，
则kOB=alnx2x2，
令f(x)=lnxx，
则f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)=0，解得x=e，
所以x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(e,+∞)时，f′(x)0)的焦点为F1，F2，P为C上的一点，若△PF1F2的周长为18，当椭圆的焦点坐标在x轴时，
可得6+2c=18，解得c=6，不满足题意，当椭圆的焦点坐标在y轴时，2 m+2 m−9=18，解得m=25，
此时a=5，b=3，c=4，
所以椭圆的离心率为e=ca=45．
故答案为：45．
利用焦点三角形的周长，求解m，然后求解离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，焦点三角形的应用，是中档题．
14.【答案】815
【解析】解：左右两边的6个绳头各自随机分为3组，共有2C62C42C22A33⋅C62C42C22A33=225种，
先选定左边第一条绳子的绳头，然后从左边剩下的5个绳头里任取一个打结，
然后哦按照从右边4个绳头里任取一个，从左边3个绳头里任取一个，从右边2个绳头里任取一个的顺序打结，共A55=120种，
所以6根绳子恰能围成一个大圈的概率为120225=815．
故答案为：815．
根据平均分组列式结合组合数及排列数计算再结合古典概型知识可解．
本题考查排列组合以及古典概型相关知识，属于中档题．
15.【答案】A=120°；
2514 3．
【解析】解：(1)由正弦定理得，sinAcsC−sinCcsA=sinC+sinB，
因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，所以2sinCcsA+sinC=0，
由于0°0，yD>0，
易知抛物线C的焦点F(p2,0)，
当AB⊥x轴时，
直线AB的方程为x=p2，
令x=p2，
解得yA=p，yB=−p，
所以|AB|=2p=4，
解得p=2，
则抛物线C的方程为y2=4x；
(2)(i)易知直线AB的方程为y=43(x−1)，
即x=34y+1，
联立y2=4xx=34y+1，消去x并整理得y2−3y−4=0，
解得yA=4，yB=−1，
即A(4,4)，B(14,−1)，
直线DE的方程为y=−34(x−1)，
即x=−43y+1，
联立y2=4xx=−43y+1，消去x并整理得y2+163y−4=0，
解得yD=23，yE=−6，
即D(19,23)，E(9,−6)．
所以直线AD的方程为y−4=67(x−4)，
令x=1，
解得y=107，
即P(1,107)，
直线BE的方程为y+6=−47(x−9)，
令x=1，
解得y=−107
即Q(1,−107)，
所以|PQ|=207；
(ii)设直线AB的方程为x=my+1，m>0，
联立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y2−4my−4=0，
由韦达定理得yAyB=−4，
同理得yDyE=−4，
直线AD的方程为y−yA=yA−yDxA−xD(x−xA)，
即y=4yA+yD(x−yA24)+yA，
令x=1，
解得yP=4+yAyDyA+yD，
因为yA=−4yB，yD=−4yE，
所以yQ=−yAyD+4yA+yD=−yp，
所以PQ的中点恒为F，
以PQ为直径的圆与y轴相切等价于yP=1，
若yP=1，
此时yAyD+4=yA+yD，
因为AB⊥DE，
所以4yA+yB⋅4yD+yE=−1，
即(yA−4yA)(yD−4yD)=−16，
所以(yAyD)2−4(yA2+yD2)+16=−16yAyD，
所以(yAyD+4)2=4(yA−yD)2，
解得yA=3yD，
此时3yD2−4yD+4=0，
又Δ=−32